Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

Экзаменационная программа

По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116.

1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rⁿ. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rⁿ.

2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, об­ратная функция.

3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах.

5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах.

7. Теорема о пределе сложной функции.

8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функ­ции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.

10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.

11. Теорема о непрерывности сложной функции.

12. Теорема о непрерывности обратной функции.

13. Непрерывность элементарных функций.

14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда

15. Свойства сходящихся рядов.

16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

17. Признаки Даламбера и Коши.

18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и

. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

20. Ряды с комплексными членами.

21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производ­ной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции.

23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функ­циями.

24. Производная сложной функции.

25. Производная обратной функции.

26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.

27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

28. Параметрическое дифференцирование.

29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.

30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.

31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.

32. Теорема Коши.

33. Правило Лопиталя.

34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.

36. Признак монотонности функции.

37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.

38. Выпуклость и точки перегиба.

39. Асимптоты.

40. Первообразная и ее свойства.

41. Неопределенный интеграл и его свойства.

42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.

44. Интегрирование иррациональностей.

45. Интегрирование тригонометрических выражений.

46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции

47. Свойства определенного интеграла,

48. Теорема о среднем.

49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

50. Формула Ньютона - Лейбница

51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

52. Площадь плоской фигуры.

53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.

54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предель­ный признак сравнения.

55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.

#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rⁿ.{Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX   >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции  опред на множ Х и удовл след св-вам 1 (x,y)=0  x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x)  x,yX; 3) p(x,y)0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/ при n>ne /xnyn/=/xn/yn lim_(n®Ґ)(xnyn)=0 чтд {Т} Если n₀:n>n₀ a_Nb_Nc_N и Lim a_N=a, Lim c_N=c, причем a=c, то Lim b_N=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда  n’: n>n’ => c_Nn” => (a-E)max{n₀,n’,n”} (a-E)b_N(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim x_N=x, Lim y_N=y, n₀: n>n₀ х_Ny_N, тогда xy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела  n₀’: n>n₀’ |х_N-х|max{n₀’, n₀”} х_N>y_N - противоречие с условием.

#5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при xa если E>0  =(E)>0 : x 00 : x |x|> вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb xa+0(-0) называется число А / >0 =()>0 при x a(-)0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)u’(x)/u(x); y’=u^v(v’lnu+vu’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const y=c-c=0lim_x0y/x(C)’=0 ; 2) y=sinx y’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (a^x)’=a^xlna 5)(arcsinx)’=1/1-x 6)(arccosx)’=-1/(1-x) 7) (arctgx)’=1/(1+x) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (x^)’=x^-1

#27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f^(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dⁿf(x)=d(d^n-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной dy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx; dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ;f⁽ⁿ⁾=dⁿy/dxⁿ ) uv⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + C_n¹u^(n-1)v' +C_n²u^(n-2)v'' + … +C¹_nu^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ =_k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k),(формула Лейбница), Где C_n^k=n!/k!(n-k)! , 0! = 1, v⁽⁰⁾ = v. (u + v)⁽ⁿ⁾ = _k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.

#28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’_t(t0)/x’_t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’_t(t0)t’_x(x0); t’_x(x0)=1/x’_t(t0) Ф(э(х0)=y’_t(t0)/x’_t(t0) x’(t0)0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’_x|x=0=(y’t/x’)’ _x|_x=x0=(y’_t/x’_t|_t|_t=t0t’_x|_x=x0=y’’_tt(t0)x’_t(t0)-y’_t(t0)x_tt’’(t0)/(x’_t(t0))

#29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=lim_x(f(c+x)-f(c))/x ;Так как у нас f(c)>=f (x) xU(с), то для достаточно малых x> 0 ;(f(c+x)-f(c))/x откуда в пределе при x0 получим, что f’(с)=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.

#30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c(a, b) производная f'(c)=0.

Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1 [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех х(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х.

#31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а0,a для x(x0-,x0) f’(x)0 для x(x0,x0+) f”(x)x0  x-x0>0 x00 Гл. зн. несоб.  наз v.p. _aт^bf(x)dx=lim_E0 (_aт^C-Ef(x)dx +_C+Eт^bf(x)dx)

#56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+) Тогда (n=1,+)f(n) и ₁^+f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+) то она интегрируема на люблм отрезке [1,][1,+)  т.к. ф-ция не возрастает на [1,+) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k=_k^k+1f(x)dx>=f(k+1)  (k=1,n)f(k){=Sn}>=(k=1,n){= ₁ⁿ⁺¹f(x)dx}_k^k+1f(x)dx>=(k=1,n)f(k+1){=S_n+1-f(1); Sn>= ₁ⁿ⁺¹f(x)dx>=S_n+1-f(1) ; Если ₁^+f(x)dx сх  M>0 | [1;+) ₁^f(x)dx