Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)

Осн. понятия

Числовые последовательности

Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»

Экспонента или число е

Ф-ции одной переменной

Обратные ф-ции

Предел ф-ции в точке

Свойства предела ф-ции в точке

Предел ф-ции в т-ке

Предел и непрерывность функции

Предел. Односторонний предел.

Пределы ф-ции на бесконечности

Два замечательных предела

Б/м ф-ции и их сравнения

Непрерывные ф-ции. Непрерывность.

Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал.

Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а –люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.

Некоторые числовые множества.

Мн-ва – первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.

Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х вып-ся усл S(x)}.

Подмн-ва – если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АВ. А=В- мн-ва совпадают.

Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В.

А В={ххА и хВ} пересечение мн-в А и В.

А\ В={ххА, но хВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.

Связь сходящихся посл-тей и б/м.

Дает сл. теорему

Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+n, где посл-ть {n}0, т.е. является б/м.

Док-во

а) Допустим, что xna и укажем посл-ть n удовл. равенству xn=a+n. Для этого просто положим n=xn-a, тогда при nxn-a равно растоянию от xn до а  0 => n б/м и из равенства преобразования определяю n получаем xn=a+n.

Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.

Т-ма о св-вах б/м

а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м

1) их сумма, разность и произведение являются б/м

2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м

!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.

Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N xn>c.

!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во (от противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Пусть посл-ть {xn}а  >о N:n>Nxn-a поэтому в правой части стоит сумма числа аb+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xnyn сводится к ab

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1xn+1>…; невозр., если x1x2…xnxn+1…

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.

Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е2,7128…

Док-ть сходимость посл-ти (1)

Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1,1/2,1/3,…,1/n,… значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1).

Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр. посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lg x явл-ся монотонно возр., но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые св-ва, т.е. 00 (4). Возьмем любую лин. ф-цию вида y=kx которая превосходит lg(1+x) при всех x>0.

tg1=(lg(1+x1))/x1 1>2=>tg1>tg2

tg2=(lg(1+x2))/x2

Поскольку 1>2, то tg1>tg2, а это равносильно равенству (3). Поскольку y>lg(1+x) x>0 => kx>

>lg(1+x) x>0

Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению. Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации.

Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению.

Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т.е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n)P(1+r/m)^mn=Pe^rn

Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx.

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…

Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:

1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1][an,bn], n=1,2,…;

2) Длины отрезков 0 с ростом n, т.е. lim(n)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.

Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.

{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n)an и с2=lim(n)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n)(bn-an)= lim(n)(bn)- lim(n)(an) в силу условия 2) o= lim(n)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с

Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку n ancbn. Теперь докажем что она одна.

Допустим что  другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь «хвост» посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му.

Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку свсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются.

Док-во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е.  числа c1=lim(n)an и c2=lim(n)bn.

Докажем что с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n)(bn-an)= lim(n)bn lim(n)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для  n ancbn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь «хвост» {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т.к. an и bn c и c‘ одновр. Противореч. док-ет т-му.

Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.

Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y- зав. пер.

X=Df=D(f) y={y;y=f(x),xX} x1X1, y1=f(x1)

1) аналит. способ; 2)Табличный способ;

3) Графический способ;

4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е.  m,M: mf(x)M xX

mf(x) xX => огр. сн.; f(x)M, xX=> огр. св.

Обратные ф-ции

Если задано правило по которому каждому значению yY ставится в соответствие  ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y).

Предел ф-ции в точке

y=f(x) X

опр.  {xn} X, xnx0

f(xn)A,=> f(x) в т. x0 (при , xnx0) предел = А

А=lim(xx0)f(x) или f(x)A при xx0

Т-ка x0 может  и  мн-ву Х.

1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный

2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(xx0)f(x)=A

lim(xx0)g(x)B=> то тогда в этой т-ке  предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.

а) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB

б) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB

в) lim(xx0)(f(x):g(x))=A/B

г) lim(xx0)C=C

д) lim(xx0)Cf(x)=CA

Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(xx0+o)f(x) где запись xx0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.

Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)

Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=

f(x0-)=lim(xx0)f(x)=A

а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x) А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или при х0 t из предела (2) => lim(x) (1+1/x)^x=e (3)

1)x+ n x:n=[x] => nx 1/(n+1) (х)(х)0 при хх0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м (х)/(х)0 при хх0 то говорят что б/м  имеет более высокий порядок малости чем .

2) Если (х)/(х)A0 при хх0 (A-число), то (х) и (х) наз-ся б/м одного порядка.

3) если (х)/(х)1 , то (х) и (х) наз-ся эквивалентными б/м ((х)~(х)), при хх0.

4) Если (х)/^n(х)А0, то (х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно (х).

Аналогичные определения для случаев: хх0-, хх0+, х-, х+ и х.

14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.

Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(xx0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через у приращение ф-ции, т.е. у=f(x0+x)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). «» - символ приращения.

Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(x0)y=0~ у0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции 0 приращение аргумента.

f(x) непрерывна в т-ке х0 y0 при х0.

Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.

Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(xx0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.

Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(xx0, xf(0)=0 и очевидно f(0+)  и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (Q0 при k0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва

Классификация т-ки разрыва

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА

Дифференцирование ф-ций

Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема Коши Правило Лопиталя

Выпуклые и вогнутые ф-ции

Т-ки перегиба

Выпуклость и вогнутость.

Гладкая ф-ция

Эластичность ф-ций

Т-ма Ферма Т-ма Коши

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано-Коши

Теорема Вейерштрасса

15. Классификация т-ки разрыва

Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.

а) если в т-ке х0  оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но  f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.

б) если в т-ке х0  оба 1-стороних предела f(x0), которые не равны между собой f(x0+)f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не  или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания:

1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния.

2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр.

3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва:

график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.

I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во локал. огранич-ти)

Док-во использует опр-ние на языке  и . Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое >0 можно найти >0 f(x)-f(x0) f непр. на [a,b] и f(x)f(b)=0 (f(x)f(b)>0 в окр-ти х0) =>  с(a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны.

Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е.  с>0:f(x)c x(a,b).

Т-ма 2( о  экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е.  т-ка max X*:f(x*)f(x) x[a,b], т-ка min X_:f(x_)f(x) x[a,b].

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки

Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0;1]  f – неогр. на (0;1] хотя и непрерывны.

Контрпример 2. f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(x(0;1))x=0, но т-ки x_(0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(x(0;1))x=1

Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр.

Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.

Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при х[a,b])=M(-). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е.  х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не  и сл-но f(x)0

!0 1c(M-f(x)) => f(x) M-1/c x[a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C”

Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и min f на отрезке.

16. Дифференцирование ф-ций

Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная  то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что  б/м ф-ция (х) такая что f(x0)/x=f‘(x0)+(x) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на x.

Примеры.

1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const x, тогда y‘=0 для х. В этом случае y/x числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.

2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1)  kN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем  т-ку х и дадим приращение х составим разностное отношение у/х=(х+х)^2-x^2/x=2х+ х => lim(x0)y/x=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к.

3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае y/x=(e^x+x-e^x)/x=e^x(e^x-1)/ x. Одеако предел дробного сомножителя = 1.

4)y=f(x)=x=(x, x>0;-x,x0 y‘=-1 при x0 y/x=x/x=1=>lim(x0,x>0)y/x=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не . В данном случае  одностор. пр-ная.

Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что х0+(х0-).

Из связи вытекает утвержд., если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также  и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для  пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад.

17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка.

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.

Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0  пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.

2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда  т-ка с(a,b), в которой f‘(c)=0.

3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда  т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).

4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)0. Тогда  т-ка с(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).

Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x), то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x), когда предел  конечный или бесконечный.

Раскрытие /. Второе правило.

Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x)=, то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x,x-,x+,xa-,xa+.

Неопред-ти вида 0, -, 0^0, 1^, ^0.

Неопр. 0, - сводятся к 0/0 и / путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^, ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

Выпуклые и вогнутые ф-ции

Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой.

Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0,a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (,a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а – это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f‘(x)>0 x0, но на интервале от 0 до а (0;а) f‘(x) возр. в то время как (0;) f‘ убыв., а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0;а) f‘‘(x)0 (f-выпукла), а на (a;) f‘‘(x)0 (f-вогнута).

Опр. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a,b), тогда:

1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a,b), если 2-я пр-ная не отриц, т.е. f‘‘(x)0 (f‘‘(x)0) на (a,b)

2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a,b)

Т-ки перегиба

Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.

Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.

Выпуклость и вогнутость.

Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.

y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)f(x0)+ f‘(x0)(x-x0)  x,x0(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.

Посл-ть {xn} наз-ся б/б, если для  пол-ного числа А  номер N такой, что при n>N вып-ся нер-во xn>A

Возьмем любое число А>0. Из неравенства xn=n>A получаем n>A. Если взять NА, то  n>N вып-ся xn>A, т.е. посл-ть {xn} б/б.

Замечание. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич. Посл-ть может и не быть б/б. Например 1,2,1,3,1,…,1,n… не явл. б/б поскольку при А>0 нер-во xn>A не имеет места  xn с нечет. номерами.

Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т.е. f‘  и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F‘(x)=f‘((x))‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной. Правая часть это скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при t=R. Темп ростаприросту.

Пр-р y=e^x. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=e^x/e^x=. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста.

Опр. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысл лог. пр-ная. Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной.

Ef(x)=xf‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘ (6). Выясним эк. смысл этого показателя для этого заменим в (6) пр-ную ее разностным отношением f(x0)/x и будем иметь Ef(x)x(f(x)/x)/f(x)=(f(x)/f(x))/(x/x). В числителе стоит относит. Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность – пок-ль реакции 1-й переменной на изменение другой.

Пр-р. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть D=f(p)=-aP+b – линейная ф-ция спроса, где а>0. Найдем эластичность спроса по цене. Ed(P)=PD‘/D=P(-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность линейной ф-ции не постоянна

Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного отношения, а также на сл-щей т-ме.

Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a,b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т.е. f‘(x0)=0 (8). Это необходимое усл. локал. экстр., но недостаточное.

Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит. т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит. т-ки.

Т-ма Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g‘(x)0, тогда  т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c)

Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a,b), тогда справедливы сл. утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a,b) тогда, когда f‘(x)0 на интервале (a,b) и f‘(x)>0 (f‘(x) x=a x+x=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.

(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)

Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)  (x-a)

Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) g(a)=g(b)=0

Все усл. Ролля соблюдены, поэтому  т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b)  т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.

Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0  x  (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. с(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.

Т-ма Тейлора. «О приближении гладкой ф-ци к полиномам»

Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, ха. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка  такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1!(x+a)+ f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)()/(n+1)!(x-a)^(n+1).

Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x).

g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1. По т-ме Роляя  т-ка с из (a,b), такая что g(c)=0 =f^(n+1)(c)

Правило Лопиталя.

Пусть ф-ция f(x) и g(x) имеет в окр. т-ки х0 пр-ные f‘ и g‘ исключая возможность саму эту т-ку х0. Пусть lim(хх )=lim(xx)g(x)=0 так что f(x)/g(x) при xx0 дает 0/0. lim(xx0)f‘(x)/g‘(x)  (4), когда он совпадает с пределом отношения ф-ции lim(xx0)f(x)/g(x)= lim(xx0)f‘(x)/g‘(x) (5)

Док-во.

Возьмем  т-ку х>х0 и рассмотрим на [x0;x] вспом ф-цию арг. t

h(t)=f(t)-Ag(t), если t[x0;x], т.к. удовл. этому св-ву в окр-ти т-ки х0, а т-ку х мы считаем достаточно близкой к х0. Ф-ция h непрерывна на [x0;x], поскольку lim(tx0)h(t)=lim(tx0)[f(t)-Ag(t)]=lim(tx0)-A lim(tx0)g(t)=0=h(0)=> непр. t=x0 По т-ме Логранджа (x0,x) c:h‘‘(c)=0

Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.

Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)0.

Пусть у0 – приращение независимой переменной у и х – соответствующее приращение обратной ф-ции x=(y). Напишем тождество: x/y=1:y/x (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при у0 и учитывая, что при этом также х0, получим: lim(y0)x/y=1:lim(x0)y/x => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.

Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.

Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)0.

Пусть у0 – приращение независимой переменной у и х – соответствующее приращение обратной ф-ции x=(y). Напишем тождество: x/y=1:y/x (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при у0 и учитывая, что при этом также х0, получим: lim(y0)x/y=1:lim(x0)y/x => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.

Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть.

Док-во

1. Поскольку посл-ть ограничена, то  m и M, такое что  mxnM,  n.

1=[m,M] – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти.

2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. 2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - 3. Делим отрезок 3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках,  единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам 1, какую-либо т-ку n1. В отрезке 2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке 3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkk.

Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда  т-ка с  (a,b) в которой ф-ция обращается в 0.

Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a,b], где f(x)