Экзаменационные билеты по математике

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 1

Уравнение плоскости в пространстве. Геометрический смысл его коэффициентов. Привести пример.

Что такое Пуассоновский поток событий? Привести пример его применения.

Магазин продал в первый день 60% товара, а во второй – 50% остатка. Сколько процентов товара продано за 2 дня?

Найти длину вектора 3 – 2, если дано: {2, -1, 7}, {-1, 1, 4}.

Найти интервалы монотонности функции ƒ(х) = 2х³ + 3х² –36х -2.

Для независимых нормальных случайных величин X~N(3,4) и Y~N(5,3). найти
М(x+y), М(x-y) и D(x+y), D(x-y).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 2

Дать определение арифметической прогрессии. Написать формулы для
п-го члена прогрессии и суммы первых п членов. Привести пример применения этих формул.

Определение первообразной и неопределенного интеграла функции. Привести пример.

В первую сессию торгов акции компании подорожали на 40%, во вторую подешевели на 30% к первой. На сколько процентов изменилась цена акции за 2 сессии?

Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат и горизонтальной директрисой, причем парабола проходит через точку (1, -5).

Найти производную функции ƒ(х) = .

Случайная величина Х задана рядом распределения:

Найти D(X+3).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 3

Общее уравнение прямой на плоскости. Как выглядит общее уравнение вертикальной и горизонтальной прямой?

Что такое дискретная случайная величина? Какими данными она задается? Привести пример.

Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить истинность высказывания (с )  .

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, -4, 0) перпендикулярно прямой = = .

Найти точки экстремума функции ƒ(х) = х⁴ – 8х² - 2.

Случайная величина X задана рядом распределения:

найти Р₁ и D(X+3).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 4

Угол между векторами. Формула для косинуса угла в координатах. Условие ортогональности векторов.

Что такое схема Бернулли? Записать асимптотическую формулу Пуассона и объяснить, при каких условиях она применяется.

Числовая последовательность определяется следующим условием: . Найти _, если .

Найти координаты вершин и фокусов эллипса 4х² + 25у² = 100.

Вычислить неопределенный интеграл .

К компьютерной сети подключены 100 пользователей, каждый из которых в данный момент времени работает в сети с вероятностью 0,02. Найти вероятность того, что в данный момент хотя бы один пользователь работает в сети.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 5

Дать определение разности множеств, показав его на диаграммах Венна. Привести пример разности числовых множеств.

Как вводятся числовые характеристики непрерывной случайной величины - математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение? Какой смысл имеют эти характеристики?

Числовая последовательность определяется следующим условием: . Найти _, если .

Найти координаты вершин и фокусов эллипса 25х² + 9у² = 225.

Найти производную функции ƒ(х) = ln ().

В урне 3 белых и 6 черных шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 6

Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Геометрический смысл его коэффициентов. Привести пример.

Определение точки локального минимума функции. Необходимое условие минимума. Достаточное условие минимума. Привести пример применения достаточного условия.

Числовая последовательность определяется следующим условием: . Найти _, если .

Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно:
А (1, -3), В (0, 3), С (-4, 1).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

В колоде 36 карт. Наугад вынимают три карты. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся два туза и одна дама.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 7

Дать определение объединения множеств, показав его на диаграммах Венна. Привести пример объединения числовых множеств.

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Точки разрыва первого и второго родов. Привести пример точки разрыва функции.

Найти сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии: 6, 2, , , …

Написать уравнение плоскости, походящей через точку А(3,1,4) параллельно плоскости 2x – 4y + 3z + 5 = 0.

Вычислить неопределенный интеграл .

Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретая 5 облигаций, выиграет хотя бы по одной из них?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 8

Угол между прямыми в пространстве. Формула косинуса угла. Привести пример применения этой формулы.

Что такое непрерывная случайная величина? Какими данными она задается? Привести пример.

Найти сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии: 4, 2, 1, 0.5, …

Дано уравнение кривой в декартовых координатах: х²- у² = 5х. Написать это уравнение в полярных координатах.

Вычислить неопределенный интеграл .

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков окажется меньше 5, больше 5.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 9

Формула угла между прямыми на плоскости, заданными своими угловыми уравнениями. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Что такое стохастический (случайный) эксперимент, событие, элементарные события? Привести пример случайного эксперимента и описать в нем элементарные события.

Определить, какие из точек К (0, -4), L (-1,1), M (6, -9) принадлежат множеству
А = {(x,y) : x² + 1 ≥ y ≥ -x -3}.

Найти длину вектора – 3, если дано: {2, -4, -1}, {-1, -3, 1}.

Найти интервалы монотонности функции ƒ(х) = х⁴ – 2х² –3.

Случайная величина X задана рядом распределения:

найти Р₃ и DX.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 10

Дать определение области определения и области значений числовой функции. Описать области определения и значений функции y = .

Что такое схема Бернулли? Записать асимптотические формулы Муавра-Лапласа и объяснить, при каких условиях они применяются.

Даны числовые множества: А = {3х | x целое}, В = {х² | х целое}, С= (-2, 12). Найти
(А С) \ В.

Найти общее уравнение высоты треугольника АВС из точки А, если известно:
А (-1, 4), В (-1, 0), С (2, 1).

Найти производную функции f(x) =.

Вероятность того, что денежная купюра фальшивая равна 0.001. Найти вероятность того, что среди 500 полученных Вами купюр имеется фальшивая.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 11

Каноническое уравнение гиперболы. Геометрический смысл его параметров. Формулы координат фокусов. Привести пример.

Дать определение независимых событий. Записать формулу вероятности произведения независимых событий и привести пример ее применения.

Найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, если первый член равен 3, а четвертый -24.

Написать уравнение плоскости, походящей через точку А(1,0,-1) параллельно плоскости 4x + 2y - 5z - 4 = 0.

Вычислить неопределенный интеграл .

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего равна: для первого станка 0,9, для второго 0,8, для третьего - 0,85. Какова вероятность того , что в течение некоторого часа, по крайней мере, один станок потребует внимания?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 12

Полярная система координат на плоскости. Связь координат точки в полярной и прямоугольной системах координат.

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций. Привести пример.

Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить истинность высказывания (a )  c.

Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно:
А (-1, 2), В (2, 5), С (-6, 1).

Вычислить определенный интеграл .

В магазин поступают шариковые ручки с трех фабрик, причем из каждых десяти ручек 3 произведены первой фабрикой, 4 - второй, 3 - третьей. Доля непишущих ручек равна 0.2 в продукции первой фабрики, 0.03 - второй, 0.05 - третьей. Какова вероятность покупки непишущей ручки в магазине?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 13

Дать определение графика числовой функции. Начертить графики функций y= tg (x) и y= arctg (x).

Определение и достаточный признак возрастания функции на интервале. Привести пример.

Определить, какие из точек К (1, -1), L (2, -5), M (-4, -3) принадлежат множеству
А = {(x,y) : x + 1 ≥ y ≥ -x²}.

Найти координаты вершин и фокусов гиперболы -9х² + 16у² = 144.

Н
айти наклонную асимптоту графика ƒ(х) = .

Человеку, достигшему 60-ти лет, вероятность умереть на 61-ом году жизни равна 0,09. Какова вероятность того, что из 4-х человек в возрасте 60-ти лет трое будут живы через год?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 14

Дать определение графика числовой функции. Начертить графики функций и .

Дать определение условной вероятности. Когда условная вероятность равна нулю?

Найти область определения функции ƒ(х) = .

Даны две плоскости 2x - 3y - z + 3 = 0 и -4x + 6y + 2z - 4 = 0.
Будут ли они перпендикулярны или параллельны и почему?

Вычислить определенный интеграл .

Интервалы между поездами метро 5 минут. Какова вероятность того, что, спустившись в метро в случайный момент времени, придется ждать поезда не меньше 1 минуты и не больше 3 минут? Больше 3 минут?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 15

Дать геометрическое определение эллипса. Что такое фокусы, вершины, центр? Нарисовать чертеж эллипса и показать на нем вышеупомянутые точки.

Определение и достаточный признак убывания функции на интервале. Привести пример.

В результате опроса 100 жителей г. Москвы выяснилось, что 57 человек имеют автомобиль, 48 – дачу, 23- ни того, ни другого. Сколько человек имеют и машину и дачу?

Найти длину вектора – 2, если дано: {-2, 5, 3}, {-5, 7, 7}.

Вычислить определенный интеграл .

Интервалы между поездами метро 5 минут. Какова вероятность того, что, спустившись в метро в случайный момент времени, придется ждать поезда больше 3 минут? Меньше 2 минут?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 16

Дать определение высказывания и неопределенного высказывания. Привести пример неопределенного высказывания и найти его область истинности.

Что такое схема Бернулли? Записать формулу Бернулли и объяснить, при каких условиях она применяется.

Определить, какие из точек К (0,1), L (-1,1), M (-4, 1) принадлежат множеству
А = {(x,y) : x² + 1 ≥ y ≥ -x}.

Найти косинус угла между векторами и , если известно:
{1, -2, 2}, А (4, -1, 2), В (3, 0, 1).

Вычислить неопределенный интеграл .

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 12, меньше 12.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 17

Дать определение области определения и области значений числовой функции. Описать области определения и значений функции y = sin(x).

Сформулировать первый и второй замечательный пределы.

Построить диаграмму Венна и проверить истинность следующего рассуждения: некоторые а являются b и все b являются с, следовательно, некоторые а являются с.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (4, 2, 1) перпендикулярно прямой = = .

Найти наклонную асимптоту графика ƒ(х) = .

В кучу сложены яблоки с трех яблонь. Урожай первой яблони составляет 50 кг, второй - 40 кг, третьей - 30 кг. Доля червивых яблок составляет 0.3 для первой яблони, 0.2 - для второй, 0.4 - для третьей. Найти вероятность того, что случайным образом взятое яблоко из кучи окажется червивым.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 18

Каноническое уравнение параболы. Геометрический смысл его параметра. Формула координат фокуса и уравнения директрисы. Привести пример.

В чем заключается правило «трех сигм»? Как оно может применяться на практике?

Найти область определения функции ƒ(х) = +.

Найти координаты вершин и фокусов эллипса 16х² + 9у² = 144.

Найти наклонную асимптоту графика ƒ(х) = .

Для нормальной величины X~N(2,4). Найти М(-2x+1), D(-2x+1).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 19

Дать определение взаимно-однозначного соответствия множеств А и В. Привести пример взаимно-однозначного соответствия и пример отображения, которое не является взаимно-однозначным соответствием.

Дать определение суммы двух событий. Записать формулу вероятности суммы двух событий и привести пример ее применения.

Построить диаграмму Венна и проверить истинность следующего рассуждения: некоторые а являются b и некоторые b являются с, следовательно, некоторые а являются с.

Найти косинус угла между векторами и , если известно:
{2, -1, 0}, А (-1, 3, 5), В ( -3, 3, 4).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Продавец реализует в среднем 3 автомобиля в день и считает день удачным, если продаст не менее пяти машин. Найти вероятность того, что день окажется неудачным.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 20

Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл его параметров. Формулы для координат вершин и эксцентриситета. Привести пример.

Как определяется и какими свойствами обладает функция распределения случайной величины? Нарисовать график какой-нибудь функции распределения.

Построить диаграмму Венна и проверить истинность следующего рассуждения: все а являются b и некоторые b являются с, следовательно, некоторые а являются с.

Найти координаты вершин и фокусов эллипса 9х² + 36у² = 324.

Вычислить неопределенный интеграл .

При передаче закодированного сообщения вероятность ошибки одного знака равна 0,02. Найти вероятность того, что сообщение из 150 знаков содержит ошибку.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 21

Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл его параметров. Формулы координат фокусов. Привести пример.

Алгоритм нахождения интервалов возрастания и убывания функции. Привести пример.

Найти область определения функции ƒ(х) = .

Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат и горизонтальной директрисой, причем парабола проходит через точку (-2, 36).

Найти производную функции f(x) =.

Для независимых нормальных случайных величин X~N(2,1) и Y~N(4,3). найти
М(x+y), М(x-y) и D(x+y), D(x-y).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 22

Дать определение области определения и области значений числовой функции. Описать области определения и значений функции y = x² .

Алгоритм нахождения точек перегиба, участков выпуклости и вогнутости графика функции.

В первую сессию торгов акции компании подешевели на 30%, во вторую подешевели на 10% к первой. На сколько процентов изменилась цена акции за 2 сессии?

Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно:
А (3, -1), В (-3, 1), С (-1, 1).

Найти производную функции f(x) =.

Из трех орудий произведен залп по мишени. Вероятность попадания из первого орудия 0,8, из второго - 0,6, из третьего - 0,5. Какова вероятность поражения цели?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 23

Какие множества называются счетными? Привести пример счетного множества, и проверить, что оно счетно, исходя из определения.

Записать формулу полной вероятности и привести пример ее применения.

Разность арифметической прогрессии равна –1, а сумма первых 7 равна 0. Найти сумму первых 8 членов.

Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат и горизонтальной директрисой, причем парабола проходит через точку (3, -54).

Вычислить определенный интеграл .

Для независимых нормальных случайных величин X~N(4,3) и Y~N(5,4). найти
М(x+y), М(x-y) и D(x+y), D(x-y).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 24

Дать геометрическое определение параболы. Что такое вершина, директриса, фокус? Нарисовать чертеж параболы и показать на нем вышеупомянутые точки и прямую.

Правило интегрирования по частям неопределенного интеграла. Привести пример.

Магазин продал в первый день 50% товара, а во второй – 40% остатка. Сколько процентов товара осталось непроданным?

Дано уравнение кривой в декартовых координатах: 5х²+ 5у² = -3х. Написать это уравнение в полярных координатах.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

В магазин приходит в среднем 300 клиентов в час. Найти вероятность того, что в данную минуту зайдет ровно 1 клиент.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 25

Угол между плоскостями в пространстве. Формула косинуса угла. Привести пример применения этой формулы.

Как формулируется геометрическое определение вероятности?

Опрос 100 выпускников школ показал, что 41 из них руководствуются мнением родителей, 58 – мнением сверстников, а 21 – обоими. Сколько выпускников руководствуется лишь собственным мнением?

Найти координаты вершин и фокусов гиперболы 4х² - 16у² = 64.

Вычислить неопределенный интеграл .

Плотность распределения случайной величины Y такова: f(x)=0 при х 6, f(x)) = при х∈ [1,6]. Найти вероятность того, что случайная величина Y больше 4.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 26

Дать определение импликации высказываний. Построить две возможные импликации высказываний «целое число х делится на 3» и «целое число х делится на 6». Являются ли импликации истинными?

Алгоритм нахождения максимума и минимума функции на отрезке.

В первую сессию торгов акции компании подешевели на 10%, во вторую подорожали на 20% к первой. На сколько процентов изменилась цена акции за 2 сессии?

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0,-1, 4) перпендикулярно прямой = = .

Найти интервалы монотонности функции ƒ(х) = х³ – 9х² + 15х +1.

На предприятии работает 183 сотрудника. Найти вероятность того, что ровно у двух из них день рождения 31 декабря.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 27

Дать определение дизъюнкции высказываний. Построить дизъюнкцию высказываний «целое число х делится на 6» и «целое число х имеет остаток 3 от деления на 6». Истинна ли дизъюнкция при х = 9?

Как формулируется классическое определение вероятности?

Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить истинность высказывания (a )  .

Найти общее уравнение высоты треугольника АВС из точки А, если известно:
А (-3, 0), В (-3, 5), С (5, 3).

Найти производную функции f(x) =.

Плотность распределения случайной величины Y такова:
f(x)=0 при х 6, f(x) = при х∈ [1,6].
Найти MY.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 28

Дать определение геометрической прогрессии. Написать формулы для
п-го члена прогрессии и суммы первых п членов. Привести пример применения этих формул.

Основные правила вычисления пределов. Что такое неопределенность типа []?

Первый член арифметической прогрессии равен 2, а сумма первых 5 равна 0. Найти сумму первых 6 членов.

Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно:
А (2, -5), В (4, 6), С (-2, 0).

Вычислить неопределенный интеграл .

АТС обслуживает 420 звонков в среднем за час. Найти вероятность того, что за данную минуту будет обслужено ровно 5 звонков.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 29

Дать определение графика числовой функции. Начертить графики функций и .

Формула Ньютона – Лейбница. Привести пример применения формулы.

Даны числовые множества: А = {3х | х целое}, В = {2х | х целое},С=(-9,10). Найти
(А С) \ В.

Найти косинус угла между векторами и , если известно:
{-2, 3, 1}, А (1, 5, 3), В (-2, 7, 4).

Найти производную функции ƒ(х) = .

На склад поступает продукция 3-х фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46%, третьей - 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй - 2%, для третьей - 1%. Чему равна вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на третьей фабрике, если оно оказалось нестандартным?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 30

Дать определение графика числовой функции. Начертить графики функций y = e^x и
y = ln x.

Правило дифференцирования сложной функции. Привести пример.

Найти область определения функции ƒ(х) = + .

Найти косинус угла между векторами и , если известно:
{3, -1, 2}, А (-1, -3, 0), В (2, -2, 2).

Найти производную функции f(x) =.

Случайная величина X задана рядом распределения:

найти Р₃ и DX.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 31

Дать определение пересечения множеств, показав его на диаграммах Венна. Привести пример пересечения числовых множеств.

Правило замены переменной под знаком интеграла. Привести пример.

Даны числовые множества: А = {4х | х целое}, В = {х² | х целое}, С=(-4,19). Найти
(А С) \ В.

Найти координаты вершин и фокусов гиперболы 25х² - 9у² = 225.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Плотность распределения случайной величины Y такова:
f(x)=0 при х < -1 и х > 3, f(x) = при х∈ [-1,3].
Найти вероятность того, что случайная величина Y больше 2.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 32

Дать определение области определения и области значений числовой функции. Описать области определения и значений функции y = .

Как определяется нормальное распределение? В чем смысл центральной предельной теоремы?

В группе, состоящей из 42 человек, 23 студентов интересуются юриспруденцией, 15 – экономикой, 5 – и тем и другим. Сколько студентов не интересуются этими дисциплинами?

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (-2, 1, -5) перпендикулярно прямой = = .

Найти точки экстремума функции ƒ(х) = х³ – 9х² +15х + 3.

Чему равна вероятность того, что при 4-х подбрасываниях игральной кости выпадет 3? Выпадет 3 ровно 1 раз?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 33

Дать определение суммы векторов. Свойства операции сложения. Сумма векторов, заданных своими координатами. Привести пример.

Определение вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Алгоритм нахождения наклонной асимптоты.

Даны числовые множества: А = {х³ | х целое}, В = {2х | х целое},С=(-27, 9). Найти
(А С) \ В.

Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат и горизонтальной директрисой, причем парабола проходит через точку (-3, -27).

Вычислить неопределенный интеграл .

Для разрушения моста достаточно одного попадания. На мост сбросили 4 бомбы, вероятность попадания которых равна 0.3, 0.4, 0.6 и 0.7 соответственно. Какова вероятность того, что мост будет разрушен?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 34

Объясните понятия: необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условие. Привести примеры для каждого из них.

Определение точки локального максимума функции. Необходимое условие максимума. Достаточное условие максимума. Привести пример применения достаточного условия.

В трудовом коллективе из 35 человек каждый является или начальником или подчиненным. Начальников 13, а подчиненных 34. Сколько сотрудников являются и начальниками, и подчиненными?

Найти длину вектора 2 – 3, если дано: {3, 1, -2}, {1, -1, -3}.

Найти производную функции ƒ(х) = sin ().

Шифр замка состоит из 4 цифр. Какова вероятность открыть замок с первого раза, набрав правильную комбинацию? Какова вероятность открыть замок с первого раза, набрав правильную комбинацию цифр, если последняя цифра нечетная?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ И МЕНЕДЖЕРОВ)

Билет № 35

Дать геометрическое определение гиперболы. Что такое фокусы, вершины, центр? Нарисовать чертеж гиперболы и показать на нем вышеупомянутые точки.

Как вводятся числовые характеристики дискретной случайной величины - математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение? Какой смысл имеют эти характеристики?

Определить, какие из точек К (0, -4), L (-2, -1), M (-4, 1) принадлежат множеству
А = {(x,y) : 1 - х ≥ y ≥ x² -4}.

Найти координаты вершин и фокусов гиперболы -4х² + 25у² = 100.

Найти точки перегиба функции ƒ(х) = х⁴ - 2х³ +х - 2.

На диспетчерский пункт аварийной службы поступает в среднем 5 заявок в минуту. Найти верояность того, что в данную минуту поступит не больше трех заявок.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

5

примерный перечень экзаменационных вопросов
Математика. Базовый курс (Для экономистов и менеджеров)

Пересечение множеств. Объединение множеств. Разности множеств. Диаграммы Венна.

Взаимно-однозначного соответствия множеств А и В.

Область определения и область значений числовой функции. Описать области определения и значений функций: y = x⁴ , y = cos(x).

График числовой функции. Построить графики функций у = ctg(x), y=ln(x),

Счетные множества. Привести пример счетного множества, и проверить, что оно счетно, исходя из определения.

Определение арифметической прогрессии. Формулы для п-го члена прогрессии и суммы первых п членов.

Дать определение геометрической прогрессии. Формулы для п-го члена прогрессии и суммы первых п членов.

Дать определение высказывания и неопределенного высказывания.

Дать определение коньюнкции высказываний. Построить коньюнкцию высказываний "целое число х делится на 3" и "целое число х делится на 5". Истинна ли коньюнкция при х = 5?

Дать определение дизъюнкции высказываний. Построить дизъюнкцию высказываний "целое число х делится на 7" и "целое число х имеет остаток 3 от деления на 7". Истинна ли дизъюнкция при х = 10?

19. Дать определение импликации высказываний. Построить две возможные импликации высказываний "целое число х делится на 3" и "целое число х делится на 6".

Объясните понятия: необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условие.

Определение суммы векторов. Свойства операции сложения. Сумма векторов, заданных своими координатами.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Формула скалярного произведения в координатах.

Угол между векторами. Формула для косинуса угла в координатах. Условие ортогональности векторов.

Полярная система координат на плоскости. Связь координат точки в полярной и прямоугольной системах координат.

Угловое уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов.

Общее уравнение прямой на плоскости.

Формула угла между прямыми на плоскости, заданными своими угловыми уравнениями. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Формула для уравнения прямой, проходящей через 2 данные точки.

Геометрическое определение эллипса. Фокусы, вершины, центр эллипса.

Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл его параметров. Формулы координат фокусов. Формулы для координат вершин и эксцентриситета. Привести пример.

Геометрическое определение гиперболы. Фокусы, вершины, центр гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы. Геометрический смысл его параметров. Формулы координат фокусов. Формулы координат вершин и уравнения асимптот. Привести пример.

Геометрическое определение параболы. Вершина, директриса, фокус параболы.

Каноническое уравнение параболы. Геометрический смысл его параметра. Формула координат фокуса и уравнения директрисы. Привести пример.

Уравнение плоскости в пространстве. Геометрический смысл его коэффициентов.

Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Геометрический смысл его коэффициентов.

Угол между плоскостями в пространстве. Формула косинуса угла.

Угол между прямыми в пространстве. Формула косинуса угла.

Основные правила вычисления пределов. Неопределенность типа [].

Сформулировать первый и второй замечательный пределы.

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Точки разрыва первого и второго родов. Привести пример точки разрыва функции.

Дать определение производной. Геометрический смысл производной.

Определение и достаточный признак возрастания функции на интервале.

Определение и достаточный признак убывания функции на интервале..

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Правило дифференцирования сложной функции.

Определение точки локального минимума функции. Необходимое условие минимума. Достаточное условие минимума.

Определение точки локального максимума функции. Необходимое условие максимума. Достаточное условие максимума.

Алгоритм нахождения интервалов возрастания и убывания функции.

Алгоритм нахождения максимума и минимума функции на отрезке.

Нарисовав чертежи, дать определения участков выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба.

Алгоритм нахождения точек перегиба, участков выпуклости и вогнутости графика функции.

Определение вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Алгоритм нахождения наклонной асимптоты.

Определение первообразной и неопределенного интеграла функции.

Правило замены переменной под знаком интеграла.

Правило интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Определение определенного интеграла функции на отрезке. Геометрический смысл определенного интеграла.

Формула Ньютона – Лейбница.

Стохастический (случайный) эксперимент, событие, элементарные события.

Определение суммы и произведения двух событий, события противоположного к данному.

Классическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности.

Определение суммы двух событий. Формула вероятности суммы двух событий и привести пример ее применения.

Определение условной вероятности.

Определение независимых событий. Формула вероятности произведения независимых событий.

Формула полной вероятности.

Дискретная случайная величина. Привести пример.

Непрерывная случайная величина. Привести пример.

Определение и свойства функции распределения случайной величины.

Определение и свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Числовые характеристики дискретной случайной величины - математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины - математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

Схема Бернулли. Формула Бернулли и условия ее применения.

Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применения.

Асимптотические формулы Муавра-Лапласа и условия ее применения.

Нормальное распределение. Смысл центральной предельной теоремы. Правило «трех сигм»? Как оно может применяться на практике?

Является ли истинным высказывание «Для любых множеств А, В, С выполняется А (В С) = (А В) (А С)»? Обосновать ответ с помощью диаграмм Венна.

Показать на числовой прямой множества А = [-5, 1] и В = (-∞, -1). Найти и показать штриховкой А В.

Для множеств А = {-4, -1, 4, 9}, В = {-1, 4, 6, 9} найти А В и А В.

Проверить, исходя из определения, является ли взаимно-однозначным соответствие, сопоставляющее каждому автомобилю его номер.

Проверить, исходя из определения, какие из функций являются четными, какие нечетными: y = cos (x), y = e^х, y = x ⁵ .

В результате опроса 100 жителей г. Москвы выяснилось, что 58 человек имеют автомобиль, 42 – дачу, 21- ни того, ни другого. Сколько человек имеют и машину и дачу?

Определить, какие из точек К (0, -4), L (-1,1), M (6, -9) принадлежат множеству А = {(x,y) : x² + 1 ≥ y ≥ -x -3}.

Даны числовые множества: А = {3х | x целое}, В = {х² | х целое}, С= (-2, 12). Найти (А С) \ В.

Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить истинность высказывания (a )  c.

Построить диаграмму Венна и проверить истинность следующего рассуждения: все а являются b и ни одно b не является с, следовательно, ни одно с не является а.

Найти область определения функции .

В первую сессию торгов акции компании подешевели на 25%, во вторую подорожали на 20% по отношению к первой. На сколько процентов изменилась цена акции за 2 сессии?

Найти сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии: 8, 2, 0.5, … .

Найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а четвертый -32.

Числовая последовательность определяется следующим условием: . Найти _, если .

Разность арифметической прогрессии равна 2, а сумма первых 3 равна 0. Найти сумму первых 5 членов.

Найти длину вектора 2 – , если дано: {1, -3, 4}, {6, -7, 4}.

Найти косинус угла между векторами и , если известно:
{3, 0, 1}, А (2, 1, 2), В (3, 1, -1).

Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно:
А (0, 3), В (3, 6), С (-5, 2).

Найти общее уравнение высоты треугольника АВС из точки А, если известно:
А (3, 2), В (3, 1), С (0, 2).

Найти координаты вершин и фокусов эллипса 4х² + 9у² = 36.

Найти координаты вершин и фокусов эллипса 25х² + 4у² = 100.

Найти координаты вершин и фокусов гиперболы 4х² - 9у² = 36.

Найти координаты вершин и фокусов гиперболы -4х² + 36у² = 144.

Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат и горизонтальной директрисой, причем парабола проходит через точку (3, 27).

Дано уравнение кривой в декартовых координатах: (х² + у²)² = 4хy. Написать это уравнение в полярных координатах.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (3, -1, 2) перпендикулярно прямой = = .

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (3, -1, 2) параллельно плоскости
2x + 3y – 5z + 4 = 0.

Будут ли данные плоскости 2x - 3y – z + 4 = 0 и -4x + 6y + 2z + 1 = 0 параллельны?

Будут ли данные плоскости 3x + 4y – 5z + 3 = 0 и x + 3y + 3z - 2 = 0 перпендикулярны??

Даны плоскость 2x - 3y + 4z + 3 = 0 и прямая .
Будут ли они перпендикулярны или параллельны и почему?

Найти производную f(x) =.

Найти производную f(x) =.

Найти производную f(x) =.

Найти наклонную асимптоту графика f(x) =.

Вычислить определенный интеграл .

Вычислить определенный интеграл .

Вычислить неопределенный интеграл .

Вычислить неопределенный интеграл .

Вычислить неопределенный интеграл .

Вычислить неопределенный интеграл .

Вычислить неопределенный интеграл .

Вычислить неопределенный интеграл .

Найти производную: f(x) =.

Найти производную: f(x) =.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y =.

Найти интервалы монотонности функции ƒ(х) = 2х³ + 3х² –36х -2.

Найти точки экстремума функции ƒ(х) = 2х³ + 3х² –36х -1.

Найти точки перегиба функции ƒ(х) = х⁴ + 2х³ +х + 5.

На фабрику, где шьют костюмы, поступают материал, подкладка и нитки. Вероятность брака у каждого комплектующего соответственно: 0.05, 0.1, 0.2.
какова вероятность того, что костюм будет бракованным?

На фабрику, где шьют костюмы, поступают материал, подкладка и нитки. Вероятность брака у каждого комплектующего соответственно: 0.05, 0.1, 0.2.
какова вероятность того, что костюм будет качественным?

На фабрику, где шьют костюмы, поступают материал, подкладка и нитки. Вероятность брака у каждого комплектующего соответственно: 0.05, 0.1, 0.2.
какова вероятность того, что качественной окажется хотя бы одна из комплектующих?

На фабрику, где шьют костюмы, поступают материал, подкладка и нитки. Вероятность брака у каждого комплектующего соответственно: 0.05, 0.1, 0.2.
какова вероятность того, что бракованным костюм окажется из-за поступивших ниток?

В ресторан приходит 60 клиентов в час. Какова вероятность того, что в данную минуту зайдет 3 клиента?

В книге 300 страниц. Вероятность появления ошибки на каждой странице 0.01. Какова вероятность того, что на трех страницах будут ошибки?

Фирма продает в среднем 4 квартиры в день и считает день удачным, если продаст не менее 5 квартир. Какова вероятность того, что 1) день окажется удачным; 2) день окажется неудачным?

На фабрике работает 500 человек. Вероятность опоздания на работу сотрудника равна 0.01. Какова вероятность того, что в понедельник опоздает не более 3 человек?

В магизин поступают лампочки 3-х заводов, причем, продукция первого завода составляет 30%, второго ― 45%, третьего ― 25%. Известно также, что средний процент бракованных лампочек для первого завода равен 2%, для второго ― 3%, для третьего ― 4%. Чему равна вероятность того, что купленная в магазине лампочка произведена на втором заводе, если она оказалась бракованной?

Плотность рапределения случайной величины Y такова: f(x) = 0 при x ‹ 2 и x › 5,
f(x) = при x∈[2, 5]. Найти MY и вероятность того, что случайная величина Y больше 3.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 20.

В урне 4 белых и 7 черных шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

В колоде 36 карт. Наугад вынимают две карты. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся две дамы.

Шифр замка состоит из 3 цифр. Какова вероятность открыть замок с первого раза, набрав правильную комбинацию?

Случайная величина Х задана рядом распределения:

Найти MX, М (1-Х), DX, D(1-x).

В колоде 36 карт. Наугад вынимают три карты. Какова вероятность того, что вынутыми окажутся 2 короля и 1 туз?

В урне 4 красных и 6 черных шаров. Наугад вынули 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета?

Интервалы между поездами метро 6 минут. Какова вероятность того, что спустившись в метро в случайный момент времени придется ждать поезда меньше 3 минут? Не меньше 2 минут и не больше 5 минут?

Чему равна вероятность того, что при 3-х подбрасываниях игральной кости 2 раза выпадет 6?

Стрелок поражает мишень в среднем в 8-ми выстрелах из 10-ти. Какова вероятность того, что из 4-х выстрелов 2 попадут по мишени?

Для нормальной величины X ~ N(5, 4). Найти M(3x+ 2) и D(3x + 2).

Вероятности успешной сдачи экзаменов по четырем предметам у данного студента соответственно равны: 0.6, 0.7, 0.8, 0.7. Какова вероятность того, что он успешно сдаст: 1) все экзамены; 2) хотя бы один экзамен?

Воспользовавшись правилом «трех сигм» построить 99% интервал для N(2, 3).

Случайная величина задана рядом распределений:

Найти P₃ и M(2 – 3x).

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 1

Сформулировать теорему существования и единственности для дифференциального уравнения первого порядка.

Какая оценка параметра называется точечной? Приведите примеры точечных оценок.

Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найти общее решение .

Чему равны размах и медиана выборки: 0.666, 0.414, -0.011, -0.410, -1.077, -1.132?

Какую систему уравнений называют однородной, неоднородной? Что называется решением системы уравнений?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 2

Что называется полным дифференциалом функции?

Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда надо проверить гипотезу о равенстве средних 2-х генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, если эти дисперсии неизвестны? Какое распределение она имеет? Если n>20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке, равно 2.5, а уровень значимости равен 0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная _x=_y или альтернативная ей?

Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найти общее решение .

Средняя прибыль палатки составляет 1тыс. рублей в день. Какова средняя прибыль 12-ти палаток?

В чем заключается прямой и обратный ход метода Гаусса (на примере)?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 3

Дать определение двойного интеграла.

По какой формуле вычисляется эмпирический коэффициент корреляции r_xy?

Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найти общее решение .

Имеются 2 независимые случайные величины  и . D()=2, D()=5. Чему равна дисперсия величины (+)/2?

Найти ранг матрицы и вычислить ее определитель.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 4

Что называется функцией двух переменных?

Как определяется математическое ожидание случайной величины? Какими свойствами обладает математическое ожидание случайной величины?

Найти полный дифференциал функции в точке (1, 1).

Найти общее решение .

По выборке объема n=41 найдена выборочная дисперсия S²=3. Найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Дать определение некоммутативных матриц. Привести пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 5

Что называется линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

Дать определение случайной величины хи-квадрат с n степенями свободы (χ²_n).

Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найти общее решение .

Случайная величина  – стандартная нормальная величина. Чему для нее равна вероятность попасть в интервал [-2; 2]?

Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса (на примере).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 6

Что называется градиентом функции?

По какой формуле считается l-ый начальный эмпирический момент? По какой формуле считается l-ый центральный эмпирический момент?

Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найти общее решение .

Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [-1,3]?

Убедиться, что система имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса.
, , .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 7

Какова структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами?

Какое распределение имеет эмпирическая дисперсия S², если выборка произведена из совокупности, имеющей распределение N(a, )?

Найти область определения функции .

Найти решение задачи Коши

Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы оказалась равной 1000ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения ламп всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы =40ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

Дать определение прямоугольной матрицы, транспонированной, симметричной, единичной.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 8

Что называется дифференциальным уравнением?

Какова формула углового коэффициента и свободного члена () МНК прямой? Есть ли связь между МНК прямой и центром тяжести исходной системы точек?

Вычислить где область D - треугольник с вершинами O( 0,0), A(1,1), B(0,1).

Найти общее решение .

Величина  имеет распределение N(a, ). Чему равны математическое ожидание и дисперсия величины ? Какое распределение имеет случайная величина ?

Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений. Критерий совместности неоднородных уравнений системы уравнений.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 9

Что характеризует производная по направлению?

Из какого условия в методе наименьших квадратов ищется по точкам (x_i, y_i) прямая y=ax+b?

Найти градиент функции в точке

Найти общее решение .

Постройте таблицу статистического распределения выборки:
-3, 0, 1, 4, -3, 4, -3, 0, 4, 1. Найдите выборочное среднее.

Какое решение системы называют общим, а какое частным? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 10

Что называется частным решением дифференциального уравнения второго порядка ?

Что такое реализации и вариационный ряд? Что такое относительная (эмпирическая) частота значения х_i из вариационного ряда?

Найти полный дифференциал функции в точке (0, 1).

Найти общее решение .

Найдите сумму квадратов отклонений S от точек (1,1), (1,3) (3,2), (3,4) до прямой y=x/2+1,5.

Найти матрицу , обратную к матрице А и с ее помощью решить систему , где
, , .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 11

Что называется разностным уравнением?

Какая оценка параметра называется несмещенной? Какая оценка параметра называется состоятельной?

Найти производную по направлению функции в точке в направлении, составляющем с осью Ox угол в

Найти общее решение .

Постройте кумулятивную кривую по сгруппированным данным, n=20

Найти матрицу А^-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А =, где , = , = .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 12

Что называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами?

По какой формуле считается эмпирическое среднее в случае, если в выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается эмпирическое среднее в случае, если задана таблица статистического распределения выборки?

Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции .

Найти общее решение .

Величина  имеет распределение N(a, ). Чему равна вероятность p{20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке, равно 4, а уровень значимости равен 0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная =₀ или альтернативная ей?

Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину .

Найти частное решение .

По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние, дисперсии и вычислено значение статистики . Проходит ли на уровне значимости 0,05 гипотеза о равенстве генеральных средних при альтернативной гипотезе M_x≠M_y? (Указание. При n>20 распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением)

Действия над матрицами: сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 14

Что называется областью на плоскости?

Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестного математического ожидания?

Найти градиент функции в точке

Найти общее решение .

Величина  имеет распределение N(a, ). Чему равна вероятность p{>a+2}?

Сколько решений может иметь система уравнений: ?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 15

Дать определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка.

Как исправить эмпирическую дисперсию S², чтобы получить несмещенную точечную оценку s² для неизвестной дисперсии?

Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину .

Найти общее решение .

Найти выборочное среднее по данному распределению выборки

При решении однородной системы какие переменные называют свободными, а какие – несвободными? Чему равно число свободных переменных?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 16

Каков общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка?

Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? Что такое объем выборки? Какая выборка называется репрезентативной?

Найти градиент функции в точке (1, 1).

Найти общее решение .

Величина  имеет распределение N(a, ). Чему равна вероятность ?

Найти матрицу А^-1, обратную к матрице .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 17

Сформулировать достаточное условие наличия экстремума функции двух переменных.

Как по таблице статистического распределения выборки строится полигон для дискретных вариационных рядов?

Вычислить где область D ограничена линиями .

Найти общее решение .

X~N(2,3); Y~N(1,4). Какое распределение имеет их сумма Z=X+Y?

Вычислить определитель матрицы А=методом Гаусса.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 18

Что называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка?

По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего значения  нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое отклонение распределения  известно? По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего значения нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое отклонение распределения неизвестно?

Вычислить приближенно , используя полный дифференциал.

Найти общее решение .

Данные о прибыли, полученной в течение месяца, за последние 5 месяцев оказались следующими:

С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая. Какое значение даст эта прямая для прибыли в марте? (Указание. Для получения этого значения строить прямую не надо).

Дать определение системы из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Матричная векторная форма записи системы линейных уравнений.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 19

Какова структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения?

Чему равно математическое ожидание равномерного распределения на отрезке [a,b], нормального распределения N(a, )? Чему равна дисперсия величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], величины, распределенной нормально – N(a, )?

Найти производную по направлению функции в точке (1, 2) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в .

Найти общее решение .

Чему равны медианы выборок: -1, 3, 2, 0, +1, -1.0 (n = 7) и -1, 3, 2, 0, 1, 2,0, 3 (n = 8)?

Понятие определителя применительно к матрице третьего порядка. Какую величину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 20

Что называется функцией трех переменных?

Какое распределение имеет эмпирическое среднее , если выборка произведена из совокупности, имеющей распределение N(, )?

Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции .

Найти общее решение .

Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей плотность распределения ?

Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 21

Что называется дифференциальным уравнением второго порядка?

Что такое таблица статистического распределения выборки?

Найти производную по направлению функции в точке (1, 1) в направлении прямой .

Найти общее решение .

Как изменятся средняя прибыль и среднеквадратическое отклонение прибыли палатки при росте всех цен в 2 раза, если объем продаж сохранится? А если объем продаж при этом в 2 раза уменьшится?

Какие однородные системы имеют единственное решение? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 22

Что называется точкой максимума функции двух переменных?

Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестной дисперсии?

Найти производную по направлению функции в точке (1, 1) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в .

Найти общее решение .

Постройте кумуляту по таблице:

Найдите медиану.

Основные свойства определителя.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 23

Дать определение общего решения дифференциального уравнения второго порядка.

Дать определение случайной величины t_n, подчиняющейся закону Стьюдента с n степенями свободы. Каким законом можно пользоваться вместо распределения Стьюдента при большом числе степеней свободы?

Найти область определения функции .

Найти общее решение .

В половине наблюдений случайная величина равнялась 1, а в другой половине она равнялась 3. Найдите выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Дать определение ранга матрицы.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 24

Каков геометрический смысл полного дифференциала?

Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае одинаковых интервалов?

Найти градиент функции в точке.

Найти общее решение .

Как следует изменить объем выборки n, чтобы доверительный интервал для математического ожидания сузился вдвое?

Даны матрицы и . Найти АВ-ВА.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 25

Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции двух переменных.

Как определяется дисперсия случайной величины? Какими свойствами обладает дисперсия случайной величины?

Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найти общее решение .

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

Совместна ли система уравнений: ?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 26

Что называется стационарной точкой функции двух переменных?

Какая связь между величинами называется линейной статистической связью?

Исследовать на максимум и минимум функцию .

Найти общее решение .

Найдите эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом 5-ти учащихся по выборке:

Сколько линейно независимых решений имеет система: ?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 27

Что называется точкой минимума функции двух переменных?

Если f(x) – плотность распределения вероятностей, то чему равен ? Чему равна вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [x₁, x₂)?

Найти полный дифференциал функции в точке

Найти общее решение .

X~N(2,1). Какое распределение имеет величина Y=2X+1?

Дать определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 28

Что называется производной по направлению?

Что такое среднеквадратическое отклонение? Каковы его свойства? Чему равно среднеквадратическое отклонение величины, распределенной нормально – N(a, )?

Вычислить где область D ограничена линиями

Найти общее решение .

По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние, дисперсии и вычислено значение статистики . Можно ли считать, что на уровне значимости 0,05 проходит не основная гипотеза о равенстве генеральных средних, а альтернативная ей гипотеза о том, что М(Х)>M(Y)? (Указание. При n>20 распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением)

В каком случае неоднородная система уравнений имеет единственное решение? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 29

Что называется граничной точкой области?

Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае неодинаковых интервалов?

Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции .

Найти общее решение .

Проверьте с =0.05 гипотезу Н₀: =100 против ≠100, если по выборке объема 225 найдено эмпирическое среднее, равное 101, и S²=4.

Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие определителя применительно к матрице второго порядка. Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 30

Дать определение точки разрыва функции.

Как строится полигон по гистограмме интервального вариационного ряда?

Найти полный дифференциал функции в точке .

Найти решение задачи Коши

Для нормальной случайной величины Х~N(2,1) найдите вероятность того, что Х