Методика изучения дробных чисел

2.3 Методика изучения дробных чисел

В практике преподавания основным методом изучения дробных чисел являются поясняющие описания, которые опираются на жизненный опыт и знания учащихся. Поясняющие описания не заменяют определений, понятий, а лишь показывают целесообразность их введения.

Введение дробных чисел в школьном курсе связывается с необходимостью более точного измерения величин, с делением чисел. В связи с этим целесообразно познакомить учащихся с возникновением дробных чисел в процессе практической деятельности человека, а именно в процессе измерения. Краткая историческая справка поможет учащимся лучше овладеть данным материалом. Содержание её может быть примерно следующим.

Измерение, так же как и счет, имело место у всех народов с самых древних времён; измерение было непосредственно связано со счетом. Потребность в более точном измерении явилась причиной того, что единицы мер стали раздроблять на две, на три и более частей. Этим более мелким мерам давали особые наименования, и в дальнейшем величины измерялись уже этими более мелкими единицами, однородными с ними. Так возникли первые конкретные дроби. Отвлеченных дробей в это время еще не знали.

Длинен был путь перенесения названия какой-либо части одной меры на такую же часть другой меры, это был путь создания абстрактного понятия дроби.

Так, например, в России была земельная мера четверть и более мелкая – получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину. Дроби первоначально в русских рукописях назывались долями, затем ломаными числами. При записи числа использовалась горизонтальная черта.

Довольно долгим был путь и к введению десятичных дробей. В древности некоторые народы пользовались шестидесятеричной системой счисления и дроби записывались в шестидесятеричной системе так же, как в настоящее время записывают наши десятичные дроби. Римляне пользовались двенадцатеричными дробями.

В 16 – 17 вв. в связи с развитием общества, с развитием науки и техники возникла необходимость облегчить громоздкие вычисления. Внимание математиков было обращено к десятичным дробям, к десятичной системе мер. В России учение о десятичных дробях впервые было изложено в «Арифметике» Магницкого, где были приведены и десятичные меры длины и площади. В этой же работе излагается и учение о шестидесятеричных дробях (отголосок вавилонской шестидесятеричной системы счисления).

Учащимся нужно также показать, что дроби применяются не только в математике, но и, например, в музыке.

Все знают, что Пифагор был учёным и, в частности, автором знаменитой теоремы. А то, что он был еще и блестящим музыкантом, известно не так широко. Сочетание этих дарований позволило ему первым догадаться о существовании природного звукоряда. Надо было ещё доказать это. Пифагор построил для своих экспериментов полуинструмент-полуприбор — «монохорд». Это был продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной, на верхней крышке ящика, Пифагор расчертил шкалу, чтобы удобнее было зрительно делить струну на части. Множество опытов проделал Пифагор с монохордом и, в конце концов, описал математически поведение звучащей струны. Работы Пифагора легли в основу науки, которую мы называем сейчас музыкальной акустикой.

Оказывается, для музыки семь звуков внутри октавы такая же естественная вещь, как десять пальцев на руках в арифметике. Уже тетива самого первого лука, колеблясь после выстрела, давала готовым тот набор музыкальных звуков, которыми мы почти без изменения пользуемся до сих пор.

С точки зрения физики тетива и струна — одно и то же. Да и сделал человек струну, обратив внимание на свойства тетивы. Звучащая струна колеблется не только целиком, но одновременно и половинками, третями, четвертями и т.д. Подойдём теперь к этому явлению с арифметической стороны. Половинки колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети — втрое, четверти — вчетверо. Словом, во сколько раз меньше колеблющаяся часть струны, во столько же раз больше частота её колебаний. Допустим, вся струна колеблется с частотой 24 герца. Высчитывая колебания долей вплоть до шестнадцатых, мы получим ряд чисел, показанных в таблице. Эта последовательность частот так и называется — натуральный, т.е. природный, звукоряд.

1
24	48	72	96	120	144	168	192	216	240	264	288	321	336	360	384

Согласно программе и учебнику по математике формирование понятий дроби начинается с умения получать доли при делении какой-либо величины на несколько равных частей.

Учащимся предлагается разделить на равные части знакомые предметы, такие, как арбуз, дыня, пирог и др., и выделить одну из частей, одну из долей. Такие же по характеру упражнения выполняют учащиеся с использованием геометрического материала: деление отрезка, круга, квадрата на равные части, на равные доли и взятие одной такой части, одной доли. От выделения одной части и взятию нескольких таких частей.

Учащимся сообщается, что для выражения одной или нескольких долей предмета нужны новые числа, а именно дроби. Далее приводятся примеры обыкновенных дробей и даётся форма записи обыкновенной дроби, проводится обучение чтению. Учащиеся должны помнить: числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.).

Например,  — одна пятая;  — две шестых;  — семь десятых;

 — восемьдесят три сто пятьдесят вторых. В процессе работы над закреплением понятия дроби необходимо познакомить учащихся с происхождением слова «дробь», ввести термины «числитель», «знаменатель». Это можно сделать следующим образом.

В начале урока учащимся можно предложить три ребуса:

— Дробь

— Числитель

— Знаменатель

После их разгадывания можно сообщить им следующие исторические сведения.

С древних времён людям приходилось не только считать предметы, но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары.

Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби.

В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в VII веке) дроби так и назывались — «ломаные числа». У других народов название дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».

Современное обозначение дробей берет свое начало в Дровней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII-XIV веках оно было заимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта; например, числа ,  записывались так: , . Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около трехсот лет назад. Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо Пизанский). В 1202 г. он ввел слово «дробь». Названия «числитель» и «знаменатель» ввел в XIII веке Максим Плануд — греческий монах, ученый-математик.

Десятичные дроби вводятся в связи с рассмотрением позиционной системы. Десятичная дробь появляется как частный случай обыкновенной дроби, как способ записи дробей со знаменателем 10ⁿ (1/10, 3/1000 и др.), второе условие относится к форме записи (0,1; 0,003 и др.).

Мотивацию их введения можно связать с тем, что в науке и промышленности, в сельском хозяйстве при расчетах десятичные дроби используются гораздо чаще, чем обыкновенные.

Это связано с простотой правил вычислений с десятичными дробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами. Правила вычислений с десятичными дробями описал знаменитый ученый средневековья Аль-Каши Джемшид ибн Масуд, работавший в городе Самарканде в обсерватории Улугбека в начале XV века.

Записывал Аль-Каши десятичные дроби так же, как принято сейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой.

Но об этом в Европе в то время не узнали, и только через 150 лет десятичные дроби были заново изобретены фламандским инженером и ученым Симоном Стевином. Стевин записывал десятичные дроби довольно сложно.

Например, число 24,56 выглядело так 2456 или  — вместо запятой нуль в кружке (или 0 над целой частью), цифрами 1, 2, 3,…, помечалось положение остальных знаков.

Запятая или точка для отделения целой части стали использоваться с XVII века.

В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году в первом учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная».

При изучении действий с дробями огромный гуманитарный потенциал кроется в содержании упражнений, которые можно использовать на уроках:

- связанные с литературой:

Задача 1. Три неразлучных друга Винни-Пух, Кролик и Пятачок решили узнать свой вес. Но шкала весов до 20 килограммов была повреждена и показания по ней прочитать не представлялось возможным. Поэтому Винни-Пух взвесился сначала с Кроликом: получилось 22,4 кг; затем с Пятачком, получилось 23,5 кг; а затем они взвесились все вместе получилось 26,7 кг. Какова масса каждого из них в отдельности?

Древнеиндийская задача.

Есть кадамба-цветок.

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди,

Её трижды сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла

Себе места нигде,

Все летала то взад, то вперёд и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Ответ: 15 пчёл

Задание 3. Отгадай пословицу

Выполните действия:

1-й ряд

1,4+0,6

2-1,7

2-й ряд

2,6+0,4

3-2,8

0,3∙1,2

0,36+0,04

0,4+0,96

1,36-0,2

1,16∙0,5

0,58∙50

29-27,84

1,16-0,86

 

0,2∙1,8

0,36-0,33

0,03+0,97

1-0,1

0,9∙0,5

0,45+0,9

1,35-0,99

0,36∙50

 

Ключ

1-й ряд

0,4	1,36	2	1,16	0,3	29	0,36	0,58
ч	и	к	л	о	е	н	д

 

2-й ряд

 

0,2	3	1	0,03	0,45	0,9	1,35	0,36	18
у	г	и	я	м	с	е	л	о

- связанных с русским языком:

Задание. Известно, какое значение имеет запятая в руссом языке. От неправильной расстановки запятых смысл предложения может резко измениться. Например, «Казнить, нельзя помиловать», «Казнить нельзя, помиловать». В математике от положения запятой зависит верность или неверность равенства. Расставьте в следующих забавных равенствах запятые:

32+18=5

736-336=4

14∙5=7

63-27=603

3+108=408

12∙50=60

- связанные с биологией:

Задание. Расшифруйте название многолетнего растения, встречающегося, в Мексике, которое цветет один раз в жизни (примерно на 40-60 год своего существования), после чего сразу же отмирает. Для этого сократите дроби. В кружках впишите буквы, соответствующие найденным ответам.

3/5	2/3	4/5	6/9	4/7
а	г	в	у	т

9/15 =

12/18 =

24/40 =

28/35 =

21/35 =

-              связанные с географией:

Задание. Расшифруйте название высочайшей горной вершины мира.

Для этого представьте в виде десятичных дробей заданные числа и впишите в таблицу буквы, соответствующие найденным ответам.

У =

О =

Г =

Н =

М =

А =

Ж =

Л =

Д =

0,14	0,15	0,5	0,4	0,5	0,16	0,2	0,75	0,25	0,4	0,125

Знаете ли вы другое название этой вершины?

Вычислите её высоту (в метрах):

100²-0,5∙2308=

Ответ:_______________________________________________________.

- упражнения направленные на развитие творчества и логического мышления учащихся:

Задание 1. Восстановить запись:

 

 

Решение. Так как сумма дробей равна целому числу, то А=5, так как сумма — пятизначное число, а целые части — четырехзначные, то Б=1, а С=7. У и К — цифры, большие 5, перебором находим решение.

Задание 2. В пустые клетки квадрата вписать дроби так, чтобы по любой горизонтали, вертикали и диагонали сумма чисел была равна 3.

1,3	0,6	1,1
0,8	1
0,9

Задание 3. Решите примеры. Используя ответы, прочитайте текст «Математические термины». Для этого запишите в таблицы буквы, соответствующие найденным ответам.

Ш 2,1 · 1/3 = О  2/3 : 1 1/3 =

Н 3,5 · 2/7 = Я  0,5/0,3 =

Й 4.8 · 3/8 = Ц  7/25 : 2 =

Т 2,04 : 1/5 = Р 0,5 : 5/6 =

И 4 3/11 : 9 - 4 3/11 · 1/9 = П (0,8 + 0,2) : 5/6 =

Е 3/4 : 3 – 0,2 =

Известно, что результат при делении называется ____________. Однако, нередко для обозначения этого результата используется слово

1/2	10 1/5	1	1/2	0,7	0,05	1	0	0,05

В математике, при решении некоторых задач приходится иметь дело с равенствами, составленными из двух

0,5	10,2	1	0,5	0,7	1/20	1	0	1 4/5

Такие равенства называют

1 1/5	0,6	1/2	1,2	1/2	3/5	0,14	0	1 2/3

Задание 4

а) Один велосипедист за 0,3 часа проезжает 5,4 км, а другой за 0,4 часа проезжает 6,6 км. Кто движется быстрее?

б) Одна швея за 3 часа шьет 4 фартука, а вторая — за 5часов 7 фартуков. У кого из них выше производительность?

Гуманитаризация школьного математического образования предполагает также использование различных видов уроков: от классического до нестандартного.

При проведении традиционных уроков в их содержание можно включать задания приведенные выше, а также оригинальное начало, литературное вступление в стихах и т.д.

Например, вступительное слово учителя при решении практических заданий: «Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно «Если вы хотите плавать, смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их», — советовал учащимся известный американский математик Джорж Пойа в книге «Как решить задачу». Решение любой достаточно трудной задачи требует напряженного труда, воспитывает волю, упорство, развивает любознательность, смекалку. Это очень нужные качества в жизни человека, ведь даже в пословице говорится: «Ум без догадки гроша не стоит».

Или же вступление в стихах:

Дикобраз в подарок сыну

Сделал счетную машину.

К сожалению, она

Недостаточно точна.

Результаты перед вами,

Быстро все исправьте сами.

Далее следует серия неверно решенных примеров на арифметические действия с дробями.

Нестандартные уроки — это уроки проводимые в игровой форме: занятия с элементами игры, соревнования, содержащие игровые ситуации.

Игры и игровые формы должны включаться не для того, чтобы развлечь учащихся, а удачно соединить игровые и учебные мотивы и постепенно сделать переход от игровых мотивов к учебным, познавательным.

В качестве таких уроков можно использовать уроки приведенные в приложениях 1 и 2.

 

 

Заключение

В работе были рассмотрены основные положения и принципы технологии гуманитаризации, приведены некоторые рекомендации по её применению. Был рассмотрен гуманитарный потенциал некоторых основных учебников по математике, среди которых в этом отношении особо выделяется учебник Дорофеева.

Внедрение элементов технологии гуманитаризации может проводить каждый учитель, обладающий творческим потенциалом, любящий свой предмет и относящийся к ученикам как субъектам обучения. Но чтобы правильно строить процесс обучения, учителя всегда должны помнить, что человеческое мышление изначально двустороннее: логическая и эмоционально-образная стороны существуют как равноправные части.

По мнению психологов, для того, чтобы системность работы двух полушарий человеческого мозга была обеспечена, т.е. чтобы мы имели всесторонне-развитую личность, нужен баланс между знаково-цифровой (математика, физика и т.п.) и образной (литература, музыка, живопись и т.п.) информацией.

В наше время, когда рост знаковой функции идет «семимильными шагами», баланс может нарушаться. В результате угнетенности эмоционально-образной сферы и происходят перекосы в нашем обществе. А это опасно, так как наши чувства определяют первые «движения души»; желания формируют действия; логика уже «постфактум» пытается теоретически оправдать наши действия.

Чтобы потом не сокрушаться о невосполнимом, нужно пытаться, по возможности, решать задачи в стихах, включать стихи в правила (возможно, для многих учеников это лучший способ его запомнить), ставить инсценировки, создавать проблемную ситуацию на уроке, находить места, где уместен музыкальный фон.

Для более полноценного внедрения технологии гуманитаризации в практику школы, необходимы соответствующая учебно-методическая литература с достаточным гуманитарным потенциалом.

Практическое применение элементов технологии гуманитаризации показало, что у учащихся повышается интерес к предмету и обучению как виду деятельности вообще. Исследования проведенные в данной работе могут послужить практическим приложением для учителей математики, побудить к поиску новых эффективных путей внедрения элементов технологии гуманитаризации и гуманитаризации предмета вцелом.

Библиографический список

Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии М., Педагогика, 1989г.

Виленкин Н. Я. уч-к «Математика» 5-6 кл.- М.: «Сайтком » 2000 г.

Виленкин Н. Я., Депман И. Я. «За страницами учебника математики» - М.: «Просвещение», 1989 г.

Лихачев Б. Т. «Педагогика» - М.: «Прометей»,1993 г.

Мацеевский В. А. «Очерк истории письменности и просвещение славянских народов до 14 века» - М.: «Просвещение»,1946 г.

«Оценка качества занятий по математике» - М: «Дрофа»,2000 г.

«Программно методические материалы по математике. Тематическое планирование 5 – 6 класс» - М.: «Дрофа», 1999 г.

Полякова Т. С. «История отечественного школьного математического образования» - Издательство РГПУ,1997 г.

Полякова Т. С., Кондрашова З. И., Герасимова О. С. «Гуманитаризация школьного образования использование литературы в обучении математике», - издательство РГПУ , 1997 г.

Саввина О. А. ст-я «Эстетический потенциал истории математики» ж-л «Математика» №3 2001 г.

Савин А. П. «Я познаю мир. Математика», - М.: АСТ 1998 г.

Саранцев Г. И. ст-я «Методика обучения математике на рубеже веков» ж-л «Математика» №7 2000 г.

Симонов Р. А. «Математическая мысль Древней Руси» - М., «Наука», 1977 г.

Симонов Р. А. «Русская средневековая система больших чисел» - М., 1970 г.

Симонов Р. А. «О связи древнерусского обозначения больших чисел с вычислительной практикой» - М., «Наука», 1975 г.

Тонких А. Б. «Логические игры и задачи на уроках математики» - Ярославль: «Академия развития», 1997 г.

Финько З. ст-я «Игровые уроки» - ж-л «Математика» №23 2001 г.

Халилова Т. ст-я «Современные идеи гуманитаризации образования на уроках математики» - ж-л «Математика» №48 2000 г.

Приложение 1

«Гуси-лебеди и обыкновенные дроби» Урок-игра

Цель: 1. Закрепить навыки сравнения дробей, умения складывать и вычитать дроби с одинаковыми и различными знаменателями, находить дробь от числа.