Задачи с двумя кругами

2. Задачи с двумя кругами

Цель работы над задачами с двумя кругами - развить умение классифицировать предметы по двум свойствам, понимать и применять логическую операцию конъюнкции, выражаемую союзом и.

У учащихся в руках тот же раздаточный материал, но теперь они уже будут работать с двумя кругами или обручами разных цветов с пересекающимися областями.

синий

красный

Перед решением задач необходимо выполнить ряд упражнений для выявления замкнутых областей, ограниченных проведенными окружностями. Лучше всего такие упражнения проводить на групповых занятиях с использованием обручей.

Учитель:

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри синего, но вне красного круга.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри красного, но вне синего круга.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри синего и внутри красного кругов.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне синего и вне красного кругов.

Ученики по очереди выполняют задания, наблюдая друг за другом. При выполнении этих упражнений в первый раз ошибки встречаются довольно часто. В случае ошибок важно добиться правильного объяснения от других учеников и понимания этого объяснения всеми учениками.

Учитель:

- Обведите границу области внутри синего, но вне красного круга.

- Обведите границу области внутри красного, но вне синего круга.

- Обведите границу области внутри синего и внутри красного кругов.

- Обведите границу области вне синего и вне красного кругов.

После успешного выполнения подготовительных упражнений можно приступить к решению задач.

1. В красный круг поместите все красные фигуры, а в синий круг поместите все треугольные фигуры.

Так же как и при решении задач с одним кругом, ученики случайным образом выбирают по одной геометрической фигуре из своего набора и по очереди помещают их в одну из областей. Все дети наблюдают за действиями одноклассников, а в случае ошибки поднимают руку и говорят: "Стоп". Ошибка обсуждается со всей группой. Если в процессе выполнения задачи кто-то из учеников совершил ошибку, которая осталась незамеченной, то учитель может оставить ее до последнего обсуждения, но при решении первых задач учителю лучше участвовать в игре вместе со всеми и самому произнести: "Стоп". При первом решении задачи полезно также просить каждого ученика объяснить, почему он кладет фигуру именно на это место.

Ученик:

- Красный круг должен лежать внутри красного круга, потому что он красный, но вне синего круга, потому что он нетреугольный.

- Синий квадрат должен лежать вне обоих кругов (вне красного - потому что он некрасный, вне синего - потому что нетреугольный).

- Красный треугольник должен лежать внутри обоих кругов (внутри красного - потому что он красный, внутри синего - потому что треугольный).

Если дети в процессе первой игры не догадываются, как им поступить, или не могут объяснить свои действия, то учитель должен помочь им. В дальнейшем они уже не должны испытывать затруднений.

После задачи с расположением фигур ученики отвечают на четыре вопроса:

Какие фигуры лежат:

- внутри обоих кругов;

- внутри синего, но вне красного круга;

- внутри красного, но вне синего круга;

- вне обоих кругов?

Фигуры надо называть, опираясь на два свойства - цвет и форму.

Учитель:

- Какие фигуры лежат внутри обоих кругов?

Ученик:

- Внутри обоих кругов лежат все красные треугольные фигуры.

Учитель:

- Какие фигуры лежат внутри синего, но вне красного круга?

Ученик:

- Внутри синего, но вне красного круга лежат все треугольные некрасные фигуры.

Учитель:

- Какие фигуры лежат внутри красного, но вне синего круга?

Ученик:

- Внутри красного, но вне синего круга лежат все красные нетреугольные фигуры.

Учитель:

- Какие фигуры лежат вне обоих кругов?

Ученик:

- Вне обоих кругов лежат все некрасные и нетреугольные фигуры.

Второй и третий вопросы, как показывает опыт, в самом начале проведения игр с двумя кругами вызывают наибольшие затруднения. Можно помочь ребятам посредством наводящих вопросов.

Учитель:

- Какие фигуры лежат внутри красного круга?

Ученик:

- Красные.

Учитель:

- Какие фигуры лежат вне синего круга?

Ученик:

- Нетреугольные.

Учитель:

- Значит, внутри красного круга, но вне синего круга лежат все красные нетреугольные фигуры.

При работе с детьми первого класса, особенно по программе 1-4, наряду с логическими задачами можно ставить и задачи подсчета фигур.

Сколько фигур лежит:

- внутри обоих кругов;

- внутри синего, но вне красного круга;

- внутри красного, но вне синего круга;

- вне обоих кругов?

Можно усложнить вопрос, добавив к подсчету фигур их признак:

Сколько зеленых фигур лежит вне обоих кругов?

Далее приводится несколько задач без разбора их решений и вариантов диалога с учениками. Перед каждой задачей определяется набор геометрических фигур, букв или чисел, с которыми предстоит работать.

1. В красный круг положите все квадратные фигуры, а в синий круг положите все зеленые фигуры.

2. В красный круг положите все желтые фигуры, а в синий круг положите все зеленые фигуры.

3. В красный круг положите все маленькие фигуры, а в синий круг положите все круглые фигуры.

4. В красный круг положите все круглые фигуры, а в синий круг положите все квадратные фигуры.

В этой задаче область пересечения обоих кругов также остается пустой, так как нет фигур одновременно круглых и квадратных.

5. В красный круг положите все большие фигуры, а в синий круг положите все прямоугольные фигуры.

6. В красный круг положите все числа, делящиеся на 3, а в синий круг положите все четные числа.

7. В красный круг положите все числа больше 5, а в синий круг положите все числа, меньше 10.

Для рассмотренного класса задач, как и для задач с одним кругом, полезно в процесс обучения включить обратные задачи. В этом случае геометрические фигуры, буквы или числа сначала раскладываются на столе или закрепляются на монтажной панели, а затем ученикам дается задание обьединить с помощью двух веревочек разного цвета все фигуры, соответствующие одному признаку, заключив их внутри замкнутых фигур.

Например:

Учитель:

- Красной веревочкой объедините все треугольные фигуры, а синей веревочкой объедините все красные фигуры.

Вопросы для обсуждения с учащимися аналогичны приведенным выше для прямых задач с двумя кругами. Обратные задачи также развивают способность классифицировать предметы по двум свойствам, правильно использовать логическую операцию конъюнкции, выражаемую союзом и. Эти задачи требуют большей внимательности.

Выше были приведены только некоторые задачи, затрагивающие интуитивное понимание основных логических конструкций математики. Материал для подобных задач может быть взят и из других учебных предметов (например, природоведения).

Умение классифицировать по трем признакам и применять более сложные логические операции отрабатывается на играх с тремя кругами.

2.2 Организация различных форм работы с логическими задачами

Выше неоднократно утверждалось, что развитие у детей логического мышления – это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам – необходимое условие успешного усвоения учебного материала.

Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Нестандартные логические задачи – отличный инструмент для такого развития. Существует значительное множество такого рода задач; особенно много подобной специализированной литературы было выпущено в последние годы. Конкретные примеры логических задач приведены в приложениях 1 и 2.

Однако что зачастую наблюдается на практике? Учащимся предлагается задача, они знакомятся с нею и вместе с учителем анализируют условие и решают ее. Но извлекается ли из такой работы максимум пользы? Нет. Если дать эту задачу через день-два, то часть учащихся может вновь испытывать затруднения при решении.

Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей.

Это (методика подробно описана в работе [4]): 1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твердых знаний по математике. Конечно, повторение анализа требует времени, но оно окупается.

2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем. Но я считаю, что это доступно не всем учащимся, а лишь тем, кто любит математику, имеет особые математические способности.

3. Правильно организованный способ анализа задачи - с вопроса или от данных к вопросу.

4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать "картинку"). Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

5. Самостоятельное составление задач учащимися.

Составить задачу: 1) используя слова: больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше; 2) решаемую в 1, 2, 3 действия; 3) по данному ее плану решения, действиям и ответу; 4) по выражению и т.д.

6. Решение задач с недостающими или лишними данными.

7. Изменение вопроса задачи.

8. Составление различных выражений по данным задачам и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.

9. Объяснение готового решения задачи.

10. Использование приема сравнения задач и их решений.

11. Запись двух решений на доске - одного верного и другого неверного.

12. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.

13. Закончить решение задачи.

14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче).

15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.

16. Решение обратных задач.

Систематическое использование на уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач и заданий, направленных на развитие логического мышления, организованных согласно приведенной выше схеме, расширяет математический кругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

Заключение

Важнейшей задачей математического образования является вооружение учащихся общими приемами мышления, пространственного воображения, развитие способности понимать смысл поставленной задачи, умение логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому важно научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, отчетливо выражать свои мысли, а с другой стороны - развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения). Именно математика предоставляет благоприятные возможности для воспитания воли, трудолюбия , настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей.

Сегодня математика как живая наука с многосторонними связями, оказывающая существенное влияние на развитие других наук и практики, является базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Одной из основных целей изучения математики является формирование и развитие мышления человека, прежде всего, абстрактного мышления, способности к абстрагированию и умения "работать" с абстрактными, "неосязаемыми" объектами. В процессе изучения математики в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления - такие, как сила и гибкость, конструктивность и критичность и т.д.

Поэтому в качестве одного из основополагающих принципов новой концепции в "математике для всех" на первый план выдвинута идея приоритета развивающей функции обучения математике. В соответствии с этим принципом центром методической системы обучения математике становится не изучение основ математической науки как таковой, а познание окружающего человека мира средствами математики и, как следствие, к динамичной адаптации человека к этому миру, к социализации личности.

Основной целью математического образования должно быть развитие умения математически, а значит, логически и осознанно исследовать явления реального мира. Реализации этой цели может и должно способствовать решение на уроках математики различного рода нестандартных логических задач. Поэтому использование учителем начальной школы этих задач на уроках математики является не только желательным, но даже необходимым элементом обучения математике.

Список используемой литературы

1.   Бабкина Н.В. Нетрадиционный курс "Развивающие игры с элементами логики" для первых классов начальной школы. // Психологическое обозрение. 1996. № 2 (3), с. 47-52.

2.   Зайцев Т.Г. Теоретические основы обучения решению задач в начальной школе. – М.: Педагогика, 1983.

3.   Зак А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления детей. Ярославль: "Академия развития", 1998.

4.   Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. М.: Просвещение, Владос, 1994.

5.   Липина И. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. – 1999. - № 8. С. 37-39.

6.   Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. Для учащихся начальной школы. – СПб.: "Лань", "Мик", 1996.

7.   Мельченко И.В. Примерные задания для детей, мотивированных к интеллектуальной деятельности, в возрасте от 6 до 10 лет // http://macschool.narod.ru/metod/ssm/appendix.html

8.   Моро М.И., Пышкало А.И. Методика обучения математике в 1-3 кл. - М.: Просвещение, 1988.

9.   Муранов А.А., Муранова Н.Ф. Игры с кругами – Минск, 1995.

10.       Пиаже Ж. Избранные психологические труды. – СП-б: Изд-во «Питер», 1999.

11.       Сухомлинский В.А. Избранные педагогические сочинения. Т. 3. М.: Педагогика, 1981.

12.       Сухин И.Г. 800 новых логических и математических головоломок. – СПб.: Альфа, 1998.

13.       Формирование учебной деятельности школьников. / Под. ред. Давыдова В.В., Ломпшера Й., Марковой А.К. М.: Просвещение, 1982.

Приложение 1

Избранные страницы из книги И.Г. Сухина "800 новых логических и математических головоломок".

СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Гном Путалка идёт к клетке с тигром. Каждый раз, когда он делает два шага вперёд, тигр рычит, и гном отступает на шаг назад. За какое время он дойдёт до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг Путалка делает за 1 секунду?

2. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел нарисовать 5 цифр:

12345

как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл другой гном Путалка. Он тоже взял палочку и начертил вот что:

12345 = 60

Вставь между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно.

3. Какую отметку впервые в жизни получил по математике Фома, если известно, что она является числом не простым, а составным?

4. Сколько лет сиднем просидел на печи Илья Муромец? Известно, что если бы он просидел ещё 2 раза по столько, то его возраст составил бы наибольшее двузначное число.

5. Барон Мюнхгаузен пересчитал число волшебных волос в бороде старика Хоттабыча. Оно оказалось равным сумме наименьшего трёхзначного числа и наибольшего двузначного. Что это за число?

6. Раздели самое маленькое четырёхзначное число на наименьшее простое и узнаешь, сколько лет не умывалась и не чистила зубы злая волшебница Гингема из повести-сказки А. Волкова "Волшебник Изумрудного города".

ЗАЧЁРКИВАНИЕ, ПРЕВРАЩЕНИЕ, ОТГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ

7. Угадай число от 1 до 28, если в его написание не входят цифры 1, 5 и 7; кроме того, оно нечётное и не делится на 3.

8. Отгадай число от 1 до 58, если в его написание не входят цифры 1, 2 и 3; кроме того, оно нечётное и не делится на 3, 5 и 7.

9. Преврати в числе 123 одну цифру в пятёрку так, чтобы получившееся число делилось на 9. Каково оно?

10. Вычти из произвольного двузначного числа сумму его цифр. Всегда ли разность разделится на 3? А на 9?

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ

11. Напиши такое трёхзначное число, чтобы первая цифра была по крайней мере на 2 больше, чем третья. Например: 311. Запиши его цифрами в обратном порядке: 113. Из первого вычти второе: получится 198. Это число снова напиши наоборот: 891. И два последние числа сложи.

891 + 198 = 1089

Удивительное дело: какие бы числа мы ни брали, в ответе всегда будет 1089!

Теперь предложи провести все эти действия с числами кому-то из друзей. Представляешь, как он удивится, когда ты, не спрашивая у него, сколько получилось в результате (как это бывает в других математических фокусах), сам назовёшь ответ! Для эффекта можешь сообщить его не сразу, а через несколько секунд, как бы что-то подсчитывая в уме.

Почему так происходит?

12. Попроси товарища задумать какое-нибудь двузначное число, вычесть из него сумму его цифр, зачеркнуть в полученном результате одну цифру и сообщить, какое число осталось. После этого ты тотчас скажешь, какая цифра зачёркнута! Для этого ты всего-навсего из 9 вычтешь оставшееся однозначное число.

Пример: 97 – 16 = 81, 8 зачёркивается и друг говорит, что осталось 1. Ты выполняешь в уме вычитание и получаешь в результате зачёркнутую цифру:

9 – 1 = 8.

Почему так происходит?

Приложение 2.

Примерные задания для детей, мотивированных к интеллектуальной деятельности, в возрасте от 6 до 10 лет

Эти задания были использованы на занятиях по комплексной развивающей программе в группе "ШСМ-чик" в Зеленоградском Психолого-медико-социальном Центре в 1999/2001 уч. году Мельченко И.В.

1. Сидели на скамеечке 4 девушки: Ольга, Наталья, Людмила и Оксана. Оксана сидела рядом с Ольгой, А Наталья была в синем платье. Людмила была в зеленом. Оксана была не последней. Красное платье Ольги хорошо сочеталось с синим платьем одной из подруг. Платья у девушек были красного, желтого, синего и зеленого цветов. Нарисуйте, в каком порядке сидели девушки, и какого цвета у них были платья. Если можно, дайте несколько вариантов правильных ответов.

2. На столе лежало 5 синих и 7 красных карандашей. Девочка взяла 6 карандашей. Взяла ли она хоть 1 красный карандаш? Докажите (Нарисуйте и объясните).

3. Посмотрите на схему:

Догадайтесь, каких животных мы можем поместить в заштрихованную область нашей схемы. Докажите. Перечислите животных и напишите объяснение.

4. Есть 5 квадратов, выложенных с помощью спичек. Переложите три спички так, чтобы получилось три прямоугольника, и не осталось лишних спичек.

5. У Кати был день рожденья. Вечером должны были прийти гости. Катя с мамой испекли торт и решили заранее порезать его на части, чтобы всем хватило по кусочку, включая Катю и маму. Мама разрезала торт пополам. Катя каждую половину разрезала еще раз пополам. Дальше резать было сложно - торт сыпался, крошился, и она отдала нож маме. Мама каждый кусочек торта разрезала еще на 3 одинаковые части.

Сколько гостей должно было прийти к Кате? Объясните.

6. Найди закономерность в расстановке чисел в квадрате (6 х 6) и заполни пустые клетки.

1		7		13	16
19	22		28	31	34
	40	43		49
55				67	70

Ответ: число + 3 = следующее число

1	4	7	10	13	16
19	22	25	28	31	34
37	40	43	46	49	52
55	58	61	64	67	70