Особенности работы над задачами по системе Л.В. Занкова

1.3. Особенности работы над задачами по системе Л.В. Занкова.

Начальная школа все дальше и дальше уходит от традиционной методики математики. Появ­ляются различные типы школ, вводятся аль­тернативные программы и учебники.

Наиболее распространенной среди альтерна­тивных систем является дидактическая система, разработанная под руководством академика Л. В. Занкова. Эту систему учитель выбирает не только потому, что она привлекает своими прин­ципами: обучение должно вестись на высоком уровне трудности, в быстром темпе; ведущая роль в обучении математике отводится теории, причем теоретические знания тесно связаны с обязатель­ным осознанием учащимися процесса обучения.

Однако наблюдение за работой учителя, анализ результатов самостоятельных и кон­трольных работ говорит о том, что именно эти принципы в практике обучения реализуются недостаточно полно.

Прежде всего настораживает то, что зачас­тую наряду с учебниками математики И. Н. Аргинской на партах лежат и учебники М. И. Моро и др.

Конечно, творчески работающий учитель никогда не ограничится одним учебником, а бу­дет стремиться использовать все богатство за­даний других пособий, методических приемов, выбирая то, что наиболее подходит именно для его учеников. И с этим нельзя не согласиться.

Однако учитель должен задуматься и над тем, что обучение учащихся по двум учебни­кам, сильно отличающимся как содержанием, так и методическими подходами, приводит к нарушению целостности научно-обоснован­ной системы и порождает формализм и по­верхностное изучение материала, приводит к перегрузке учащихся. Особенно это заметно при обучении решению текстовых задач, ибо, как показывает практика, именно здесь у учи­теля и учащихся возникают затруднения.

Это порождает крайне неверное мнение, что по системе Л. В. Занкова могут обучаться лишь избранные дети и работать избранные учителя.

Не будем утверждать или дискутировать о том, усваивают или не усваивают дети материал (известно, что методическая система Л. В. Занкова зарекомендовала себя и доказала высокую эффек­тивность усвоения математических знаний и раз­вития мышления учащихся), как и то, все или не все учителя смогут работать по данной системе.

Хотелось бы обратить внимание на то, что значительному большинству учителей (да­же тем, кто прослушал курс переподготовки, где рассматривались и раскрывались принци­пы обучения, приемы и методы работы) нужна основательная помощь, которая заключалась бы в конкретизации методических приемов и методов работы, ибо отсутствие таковых при­водит к противоречию между предлагаемыми принципами и их реализацией в практике.

Попытаемся проанали­зировать некоторые затруднения, возникаю­щие у учителя и учащихся при решении текс­товых задач.

Алгебраический метод решения задач вво­дится с I класса и уже к III классу становится основным методом решения. Как известно, ал­гебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обоб­щению, формирует абстрактное мышление и, кроме того, обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при со­ставлении уравнений, экономит время. Видимо, эти преимущества и привели к тому, что значи­тельная часть учителей отдает предпочтение при решении задач алгебраическому методу.

Однако существует и другое мнение о том, что арифметический метод решения задач развивает мышление не в меньшей степени, так как ученику необходимо разбить состав­ную задачу на простые и на основе логически строгих рассуждении в определенной последо­вательности решить их. Арифметический спо­соб решения требует большего умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, матема­тической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию. Именно поэтому арифметический метод ре­шения задач должен быть если не ведущим, то хотя бы полноправным методом решения задач в начальных классах.

Следует отметить, что арифметический способ решения доступен не всем учащимся так как мышление младшего школьника ноет наглядно-образный характер. Конкретное мышление младших школьников проявляется е том, что они могут успешно решить ту или иную задачу в том случае, если опираются не действия с реальными предметами. Поэтому для осознанного выбора действия, посредст­вом которого решается задача, необходимо ил­люстрировать задачную ситуацию, чтобы уча­щиеся осознали, почему и зачем выполняется то или иное действие.

Работу по формированию умения решать задачи "на предположение" арифметическим способом целесообразно начинать с первых задач, включенных в учебник математики, так как они содержат небольшие данные и задач­ную ситуацию можно легко проиллюстриро­вать.

Особого внимания и творческого подхода требуют задачи, предлагаемые в конце учебника. Именно на данном этапе обучения должно проявляться умение применять различные приемы и методы решения задач, умение анализировать, рассуждать, предлагать и проверять эти предположения, делать соответствующие выводы. Поэтому при решении задач учителю необходимо организовать работу таким образом, чтобы учащиеся находили различные способы решения, сравнивали их и выбирали наиболее легкий и рациональный.

Однако значительная часть учителей, сле­дуя указаниям, предложенным к данной зада­че, проводит работу над задачей, которая недо­статочно полно реализует как обучающие, так и развивающие функции.

Чтобы усилить развивающий аспект обуче­ния, полезно решить задачу арифметическим способом. Осознать выбор действий, посред­ством которых решается задача, поможет пра­вильно выбранная наглядная интерпретация задачи.

Метод перебора при решении задач оказыва­ет положительное влияние на развитие мышления учащихся, так как выбор предполагаемого ответа, соотнесение этого данного с условием задачи помогает осмыслению связей и зависи­мостей между величинами, входящими в задачу, развивает умение предвидеть, вырабатывает интуицию и последовательность рассуждении.

При сравнении способов решения выясня­ется, что одни учащиеся отдали предпочтение арифметическому способу, другие – по способу подбора. Тем не менее систематическая работа по решению задач разными способами, сравнение решений и их обсуждение, выбор рационального дает возможность лучше осознать связи и зависимости между величинами, формирует умение рассуждать, делать выводы и обосновывать их.

Все сказанное дает основание предполагать, что затруднения возникающие у учителя в процессе работы порождают мнение о том, что по данной системе развивающего обучения могут работать лишь избранные учителя. Однако это не так.

Учителю нужны методическая помощь, методические разработки и рекомендации, которые позволили бы сэкономить время на подготовку к уроку, сохранить уверенность, силу и энергию, необходимую для плодотворной и творческой работы.

1.4. Как составить и решить задачу по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова.

Начнем с очень простого, на первый взгляд, вопроса: "Что такое задача?" Или "Как узнать задачу?" Дети обязательно скажут: "Это там, где слова", ''Задача - это вопрос", "В ней обязательно что-то происходит". Правда, у нас очень умные дети? Тогда предложите им выбрать из предложенных записей задачу:

1. На склад привезли 3 т картофеля.

2. Сколько цветов в букете?

3. На празднике было 20 красных шаров, 10 зеленых и 15 синих. Сколько всей шаров было на празднике?

4. На сколько ящик массой 15 кг тяжелее ящика массой 8 кг?

5. В вазе 5 яблок и 7 груш. Найди общее количество фруктов.

С пунктами 1 и 2 не возникает пробле­мы, так как в первом нет вопроса, а во вто­ром нет данных ("ничего неизвестно"). Текст под номером 3 позволяет сформулировав основные элементы задачи - условие и воп­рос. А дальше, не давая детям опомниться вычеркнем тексты под номером 4 ("в нем нет условия") и номера 5 ("нет вопроса") и попросите оценить ваши действия. При внимательном рассмотрении окажется, что ус­ловие и вопрос задачи могут быть сформу­лированы в одном вопросительном предло­жении, а бывает и так, то вопрос "спрятан" в указание совершить какие-либо действия. Итак, казалось бы, простой вопрос о задаче открывает целую серию исследовательских уроков. Они будут продолжены по мере на­копления возможных оснований для сравне­ния и классификации задач. Завершить дан­ный урок можно открытием "маленькой тай­ны" (чем успокоим того ребенка, которого в задаче пока волнуют только действующие лица): задача имеет сюжет. Это слово может стать вашим "подарком" детям, а так как при­нято благодарить за презент, попросите ре­бят придумать разные задачки на какую-либо тему (тему дети могут выбрать сами).

Чтобы избавиться от "текстового страха", поставим перед собой первую задачу: научиться читать так, чтобы ви­деть за скорлупой слов математическое ядро. В схеме решения зада­чи появляется первый шаг: "Читаю задачу". Для учителя не является секретом, что текст читается дважды: цель первого прочтения -общее знакомство с задачей, второго - структурирование текста с помощью логических пауз, выделения голосом данных. Наш пер­вый шаг относится к первому чтению задачи. Как же зафиксиро­вать на бумаге результат второго? Если мы сумеем научить этому наших детей, то можно смело утверждать: половина проблем в ре­шении задач снята!

По моему убеждению, каждый ученик должен "понимать", то есть уметь обрабатывать текст задачи.

Итак, выделив математическое ядро, читаем ее второй раз и ставим перед со­бой очень важную задачу: выделение величин и отно­шений между ними, которые заключены, как говорят дети, "в главных словах и числах (буквах)". Это второй шаг в решении любой задачи.

Можно с ребятами договориться подчеркивать эти слова карандашом в книге и цветным мелом на доске. Вопрос задачи всегда выделяем особо - это цель наших действий. Вот что получается:

Трусливый охотник перед охотой подкрепился двумя булочка­ми, но струсил и так ослабел, что решил на охоту не идти. Под­крепившись еще тремя булочками, он осмелел, даже зарядил ру­жье, но снова струсил. Пришлось ему опять восстанавливать свои силы двумя булочками. Сколько всего булочек истратил охотник булочками на поддержку своих сил?

Текст уже не пугает; зрительно делается акцент на выделенные слова, а их стало во много раз меньше. Многие дети вздохнули с облегчением: "Задача-то - проще не бывает". Но "расслабиться" нам не дал ученик, которому математика дается труднее, чем остальным, и этот факт, как это ни парадоксально, помогает всем ос­тальным более осознанно выполнять свои действия (как в поговор­ке "Не было бы счастья, да несчастье помогло"). Его вопрос: "Ре­бята, и все-таки, как узнать в тексте главные слова?" - слегка поубавил радость от кажущейся легкости. Этот ученик задал самый главный вопрос урока, заставив отрефлексировать способ действия. И не оказалось такого ученика, его роль должны взять на себя вы и попросить детей обсудить, по како­му признаку они выделяют величины.

Первое, что предложили ученики, - это проверить, правильно ли в данной задаче они выделили слова. Ход был гениально про­стой: стереть с доски все слова, кроме выделенных. Получилось следующее:

...двумя булочками ... тремя булочками ... двумя булочками.

Сколько всего булочек?

Исключение части слов не повлияло на математическую мо­дель задачи, то есть мы совершенно безболезненно можем понять, а следовательно, решить данную задачу. Немного погодя у нас родился второй способ выделения величин: не подчеркивание важ­ных слов, а удаление несущественных (обратите внимание: дети сами нашли для себя более простой метод - метод исключения). Ученики подтолкнули меня к созданию нового вида заданий: каждая группа получает свой текст задачи; надо закрасить маркером все слова, оставив только важные. Соблюдается условие: текст с закрашенными словами передается по кругу другой группе, кото­рая должна будет понять и решить задачу. Критерием правильности выступает возможность восстановления математической моде­ли (не сюжетной!).

В процессе обсуждения выясняем, что выделять следует составные: числа (буквы) и наименование при них; действующие лица там, где есть сравнение; слова, указывающие на действия. Последнее указание надо тоже изучить подробно.

Хочу заметить, что процесс обработки текста важен не только в решении задач. Существует у учеников еще один любимый "штамп": "Я не понял задание". А что это значит? Казалось бы текст написан по-русски, чего же тут не понять? Проблема в том, что его нужно "перевести" с русского на математический язык и наоборот. Ребенок не выделяет для себя понятие, не видит указа­ний на совершение действий.

Итак, начав с решения простейшей задачи для первого класса, мы с вами столкнулись с более значимой проблемой - проблемой текста в математике. Каждый новый ответ в решении этой пробле­мы порождает несколько новых вопросов.

Мы прошли нелегкий путь знакомства с математическим текстом, а также важным шагом выделения величин. Познакомимся со следующими шагами:

3. Фиксирую условие схемы.

4. Пишу формулы.

5. Вычисляю, записываю ответ.

6. Возвращаюсь к тексту задачи, делаю проверку.

Причем такие важные моменты, как фиксация условия задачи схемы, запись формулы и вычисление с записью ответа, следует рассматривать в комплексе.

Для того чтобы увидеть, действительно ли ребенок уме­ет соотнести текст и схему, удобно воспользоваться обрат­ной задачей: не по тексту изобразить схему, а по схеме вос­становить текст.

На уроках контроля можно предложить проверить, правильно ли составлена схема по задаче. В этом случае можно вос­пользоваться приемом, предложенным Э.И. Александровой для установления взаимнооднозначного соответствия, - это проведение "дорожек" от слова к его изображению в схеме.

Для формирования действия контроля за результатом отлично подходят задачи, содержащие несколько вопросов или задачи, в которых идет указание на поиск нескольких величин словами "Найдите каждый…". Последний шаг – это оценка правдоподобности результата.

Действие оценки можно выделить в самостоятельные задания, которые могут звучать так: "Прочитав задачу, исключи те варианты ответов, которые противоречат сюжету", "Выбери те ва­рианты, которые могут появиться в ре­зультате".

Отдельно следует рассматривать чи­сто математическую прикидку, которая будет зависеть от модели задачи. Чаще всего она заключается в со­отнесении частей и целого, проверке ис­пользования различных величин в одном действии, а так­же в проверке используемых мер или наименований.

2. Практическая часть.

Учитель должен на практике руководствоваться теоретическими основами. Теория и практика неразрывно связана между собой и не могут существовать друг без друга. Рассмотрев и ознакомившись с теоретической основой решения задач, хотела бы полученные знания на практике. То есть рассмотреть, как лучше поставить вопрос к задаче, сделать краткую запись, как проанализировать задачу, каким способом легче решить задачу. А также рассмотреть задачи решаемые в третьем классе: задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, сформированные в косвенной форме; задачи на пропорциональное деление, задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, задачи на встречное движение и в противоположных направлениях и другие.

При анализе задачи от вопроса и от числовых данных можно выделить несколько этапов, достигнуть которые можно путем решения простых задач:

1. В одной стопке были несколько тетрадей и в другой стопке были тетради. Сколько тетрадей в двух стопках?

2. На одной тарелке лежало б яблок и на другой лежало несколько яблок. Сколько яблок лежало на двух тарелках?

3. На одном кусте 4 помидора, а на дру­гом 5. Сколько всего помидоров на двух кустах?

Рассматривается первая задача. Ведется беседа:

— Условимся, что при анализе вопрос задачи будем обозначать прямоугольником со знаком вопроса. Чтобы дать ответ на вопрос задачи, что надо знать? (Сколько было тетрадей в первой стопке и сколько во второй.)

В прямоугольнике ставим знак вопроса — вопрос задачи. От этого прямоугольника проведем два отрезка и начертим два „других прямоугольника. Поскольку этих чисел в за­даче не дано, то в прямоугольниках ставим знаки вопроса (рис. 1).

Рассматривается вторая задача. Учитель чертит на доске схему (рис. 2), сопровождая беседой:

рис. 1 рис. 2

— Чтобы ответить на вопрос задачи, какие числа нам надо знать? (Сколько яблок лежало на каждой тарелке.)

— На первой тарелке лежало 5 яблок, поэтому в одном прямоугольнике пишем число 5. Сколько яблок было на второй тарелке, в задаче не сказано, поэтому во втором прямоугольнике ставим знак вопроса.

Учащиеся убеждаются в том, что и вторую задачу решить нельзя.

?

Наконец, рассматривается третья задача. Учитель чертит на доске схему (рис. 3) и ведет беседу.

— Чтобы ответить на вопрос третьей задачи, что нам надо знать? (Сколько помидоров было на первом и втором кустах.)

— Можем мы эту задачу решить? (Да, можем.)

— Что мы запишем в прямоугольниках? (В одном запишем число 4, а в другом — число 5.)

После этого учащиеся должны повторить рассуждение в связной форме: чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько помидоров было на первом кусте и сколько помидоров было на втором кусте. Оба эти числа нам известны. Чтобы решить задачу, надо к 4 прибавить 5, получится 9. Ответ 9 помидоров.

Затем решаются задачи в два и в три действия: «Отец и сын окапывали кусты смородины. Отец в час окапывал 5 кустов, а сын 3. Сколько времени они должны работать вместе, чтобы окопать 24 куста?» После уяснения и сокращения записи условия задачи учащиеся под руковод­ством учителя разбирают ее подобно тому, как разбирали простые задачи. Затем ведется фронтальная беседа:

— Вопрос задачи обозначим знаком вопро­са, записанным в прямоугольнике (рис. 4).

рис. 4

Чтобы ответить на него, какие два числа надо знать? (Сколько кустов надо окопать (24 к.) и сколько кустов окапывали вместе за час отец и сын.)

— От прямоугольника со знаком вопроса на одну клетку ниже чертим два других прямоугольника. Что мы в них запишем? (В одном запишем число 24, а в другом поставим знак вопроса, так как неизвестно, сколько в час окапывали кустов отец и сын вместе.)

— Чтобы узнать, сколько в час окапывают кустов отец и сын вместе, что надо знать? (Сколько отдельно кустов окапывает отец — 5 к. и сын — 3 к.)

— От прямоугольника со знаком вопроса на одну клетку ниже начертим еще два прямоугольника. Что мы в них запишем? (В одном запишем число 5 — количество кустов, окапываемых в час отцом, а в другом число 3 — количество кустов, окапываемых в час сыном.)

После фронтального анализа учащиеся повторяют рассуждение в связной форме: чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько кустов надо окопать (24 к.) и сколько кустов в час окапывают вместе отец и сын. Для этого надо знать, сколько кустов отдельно окапывает в час отец (5 к.) и сколько кустов окапывает в час сын (Зк.) В первом вопросе узнаем, сколько кустов вместе окапывают в час отец и сын, в втором — сколько времени они окапывали.

Если разбор этой задачи ведется с числовых данных, то он сопровождаете беседой:

— Если отец в час окапывает 5 кустов, а сын 3 куста, то что можно узнать? (Сколы кустов в час они окапывают вместе.)

— Зная это и то, что им надо окопа 24 куста, что можно узнать? (Сколь времени, они должны работать вместе)

Далее решаются задачи в 4 и в 5 действий:

«Птицефабрика должна отправить в магазины 6000 яиц. Она уже отправила 10 ящиков по 350 яиц и 4 ящика по 150 яиц. Сколько яиц осталось отправить в магазины?»

Записывая сокращенно условие задачи с использованием числовых выражений, ве­дем рассуждение: если было 10 ящиков по 350 яиц в каждом, то яиц было 350·10. Отпра­вила также 4 ящика по 150 яиц, это составляет (150·4) яиц.

Отправили: (350·10) яиц

(150· 4) яиц 6000 яиц

Осталось ?

Выполняя неполный анализ от вопроса, учащиеся рассуждают примерно так: «Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько всего яиц надо отправить (6000 яиц) и сколько яиц птице­фабрика уже отправила. Чтобы узнать, сколько яиц фабрика отправила, надо знать, сколько она отправила в первый и во второй раз. В первом вопросе узнаем, сколько птицефабрика отправила яиц в 10 ящиках, во втором — сколько она отправила яиц в 4 ящи­ках, в третьем —сколько всего яиц птице­фабрика отправила и в четвертом — сколько яиц осталось отправить. Схемы полного анализа (рис. 5) и неполного (рис. 6) нагляд­но показывают' преимущество и недостатки каждого из них.

Учащиеся, умеющие составлять план реше­ния задачи, самостоятельно записывают решение по указанию учителя или в форме математического выражения, или по отдельным действиям.

Используя прием сравнения приведем пример решения задачи:

1) Нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, а другой — за 10 дней. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если будут работать вместе?

2) Библиотеке нужно переплести 1 500 книг. Одна мастерская может переплести эти книги за 15 дней, а другая — за 10. За сколько дней закончат работу эти мастерские, работая вместе?

Решение этих задач вызывает трудность у учащихся и поэтому традиционный поиск решения проводится под руководством учите­ля. Сначала ученики называют величины и записывают задачу кратко в виде таблицы.

Красили в день	Время работы	Всего покрасили рам
?   ?	15 дн.	150
?	10 дн.	150

Затем, опираясь на записи в таблице, проводится разбор задачи, чаще всего от данных к вопросу, так как разбор задачи от вопроса вызывает затруднения у учащихся, а подобная краткая запись не помогает, а скорее тормозит поиск решения задачи. Действительно, знак фигурной скобки на­правляет на ложный путь выбора первого действия, так как дети прочно усвоили смысл этого знака, как суммы, как объединения множеств. И поэтому на вопрос: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?» — довольно часто можно услышать ответ: «Нужно найти, сколько всего дней они работали».

Первую задачу решаем коллективно с подробным анализом, а вторую предлагаем для самостоятельного решения. Опишем работу над задачей, прово­димой на уроке. Учитель просит ответить на вопросы: сколько всего рам должен был покрасить маляр? За сколько дней может это сделать первый маляр? Что можно узнать, исходя из этих данных?

Аналогично ставятся вопросы, выясняется, сколько рам покрасит второй маляр за один день, сколько покрасят рам оба маляра за один день, работая вместе, и затем дается ответ на вопрос задачи. После этого составля­ется план, записывается решение задачи. Другая задача предлагается для домашнего решения.

Нельзя ли продумать и организовать деятельность учащихся при решении задачи несколько иначе?

Да, возможен другой подход, основанный на сравнении задач и их решений, тем более что содержание, структура задач и данные в их условии являются тем благодатным материалом для использования приема срав­нения. Для этого можно предложить детям прочитать задачи, сравнить их условия, вопросы. Выяснить, чем похожи и чем отличаются задачи. Предложить подумать, можно ли, не решая задачи, установить одинаковые или разные числа получатся в ответе. Пусть учащиеся попробуют объ­яснить свои предположения. Если одинаковы, то почему? Если разные, то в каком отношении будут находиться эти числа, в какой задаче число в ответе будет больше и во сколько раз?

Устанавливая сходства и различия, на основе применения необоснованной аналогии (чем больше объем выполненной работы, тем больше потребуется времени для ее выполне­ния) большинство учащихся высказывают предположение (которое в данном случае оказывается ошибочным), что в ответе второй задачи число будет больше в 10 раз, чем в первой. В этом случае полезно провести беседу, в процессе которой попытаться убедить детей, что такого быть не может. Вопросы, предлагаемые детям, могут быть примерно такими:

— Сколько дней потребуется первому маляру, чтобы выполнить всю работу? (15 дней.)

— А второму? (10 дней.)

— Если оба маляра будут работать вместе, то больше или меньше потребуется им времени для выполнения всей работы? (Ме­ньше, чем 10 дней.)

Аналогичные вопросы предлагаются и для второй задачи. Выясняется, что для выполне­ния всей работы двум, мастерским потребу­ется меньше, чем 10 дней. Таким образом, число в ответе второй задачи не может быть больше числа, которое получается в ответе первой задачи.

В процессе анализа задач учащиеся нахо­дят решения и записывают их:

Задача 1

1) 150: 15= 10 — рам красил первый ма­ляр за один день.

2) 150:10=15—рам красил второй ма­ляр за один день.

3) 10+15=25 — рам красили оба маляра за один день.

4) 150: 25 =6 — за 6 дней выполнят всю работу оба маляра, работая вместе. Задача 2

1) 1500:15= 100 — книг переплетает одна мастерская за один день.

2) 1500:10= 150 — книг переплетает дру­гая мастерская за один день.

3) 100+150=250 — книг переплетают обе мастерские за один день, работая вместе.

4) 1500:250= б — за 6 дней закончат работу обе мастерские, работая вместе.

Решение задачи дает возможность убе­диться, что предположение детей либо под­твердилось, либо опровергалось.

Для более глубокого понимания сути рассматриваемого вопроса, решения задачи, зависимости между величинами, входящими в задачу, полезно показать детям графиче­ское решение. Для этого учитель заранее выполняет чертеж:

I

II

III

IV

V

VI

VI

V

IV

III

II

I

Пояснить построение чертежа можно при­мерно так: «Обозначим число рам длиной данного отрезка. Эту работу маляр может выполнить за 15 дней. Значит, в день он выполняет 1/5 часть (показывает на черте­же). Второй выполняет эту " работу за 10 дней, в день он выполняет 1/10 часть (показать на чертеже). За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, работая вместе? Будем считать: I — пятнадцатую часть, II — десятую (показывается на черте­же), во второй день—пятнадцатую часть первый и десятую — второй и т. д. Дети считают число дней и убеждаются, что и в первой и во второй задаче получится одинаковое число дней, независимо от объ­ема выполненной работы.

Такая деятельность по решению задач будет в большей мере способствовать форми­рованию творческой активности и мышления учащихся, возможности глубже осмысливать взаимосвязи между величинами, входящими в задачу, формированию осознанного поиска решения задач.

Высокую умственную активность проявля­ют учащиеся, выполняя анализ неверного решения. Обратимся еще раз к рассмотрен­ной выше задаче.

Дело в том, что многие учащиеся, не вдумываясь в условие задачи, решают ее следующим образом:

150: (15+10) =6.

Как поступить учителю в этом случае? Оставить без внимания неверное решение или обсудить его со всеми учащимися? Некоторые идут по первому пути, указывают ученику, что решение его неверно, и в процессе беседы подводят к нужному правильному решению, т. е. показывают обра­зец рассуждений при решении данной зада­чи. Таким образом, методика обучения решению задач сводится к обучению по образцу.

Думается, что такой подход к обучению решению задач не всегда эффективен. Учи­тель должен внимательно относиться к каж­дой из совершаемых проб поиска пути решения задачи и в случае неудачи использо­вать ее с обучающей целью, с целью активизации мыслительной деятельности учащихся, т. е. каждое неверное решение должно быть проанализировано и установле­на причина ошибочного решения. В данном случае можно поступить следующим обра­зом. Записать решение на доске и, используя фронтальную беседу, доказать необоснован­ность данного решения. Для этого нужно предложить детям проверить, правильно ли выбраны действия. Обратить внимание на первое действие и, соотнеся его с условием задачи, выяснить, что обозначает каждое число.

— Что обозначает число 15? (За 15 дней первый маляр может выполнить всю работу.)

— Что обозначает число 10? (За 10 дней второй маляр может выполнить всю работу.)

— Если оба маляра будут работать вместе, больше или меньше они затратят времени, чтобы покрасить 150 рам? (Меньше; меньше, чем 10 дней.)

— Что же могло обозначать число 25, полученное в данном действии? (Число дней, которое необходимо для покраски 300 рам, при условии, что первый маляр красит 50 рам, затем начинает работать другой маляр, и заканчивают свою работу за 10 дней.)

Полезно рассмотреть и второе действие. Выяснить, что при делении числа рам (150) на число дней (25) в результате случается число рам (6), а в задаче спрашивается о числе дней, за которое могут окрасить оба маляра 150 рам, работая месте.

Такое обсуждение активизирует мыслительную деятельность учащихся, вырабатывает привычку не начинать поиск решения задачи без глубокого, полного анализа задачи, создает условия для эффективного формирования общего умения решать задачи.

Задачи на пропорциональное деление.

Первой лучше включить задачу с величи­нами: ценой, количеством и стоимостью, поскольку связи между ними усвоены уча­щимися лучше, чем связи между другими величинами. Учитель предлагает составить задачу по ее краткой записи (запись выпол­нена на доске):

Ученики составят примерно такую задачу:

«Два мальчика купили марки по одина­ковой цене. Первый купил 7 марок, а вто­рой 5 марок. Марки первого мальчика стоили 35 к. Сколько стоили марки второго мальчика?» Ученики устно решают эту за­дачу и узнают, что марки второго мальчика стоили 25 к. Учитель записывает это число. В таблице вместо вопросительного знака и предлагает найти сумму чисел, обозначаю­щих стоимость марок. Выясняется, что 60 к. уплатили за марки оба мальчика. В краткую запись вносятся изменения:

Ученики составляют задачу по этой крат­кой записи: «Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, второй — 5 марок. Всего они уплатили 60 к. Сколько стоили марки первого мальчика? Сколько стоили марки второго мальчика?» Учитель предлагает детям попытаться само­стоятельно решить задачу, ответив на первый вопрос. С теми, кто затруднится это сде­лать, проводит разбор, предлагая вопросы:

«Что требуется узнать в задаче? Можно ли сразу узнать, сколько стоили марки первого мальчика? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать, сколько марок купили на 60 к.? Почему можно? Что узнаете первым действи­ем? вторым? третьим? четвертым?» Решение лучше записать отдельными действиями с по­яснениями. Для проверки решения можно выполнить сложение чисел, полученных в от­вете, если их сумма будет равна числу 60, то решение выполнено верно. Надо пояснить, что два вопроса в таких задачах обычно заменяют одним вопросом со словом каждый, например: «Сколько стоили марки каждого мальчика?» Важно подчеркнуть, что здесь два вопроса и при решении будет два ответа.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.

Пусть надо ре­шить задачу: «В киоске продали по одинако­вой цене 12 синих стержней для ручек и 8 черных. За синие стержни получили на 32 к. больше, чем за черные. Сколько стоили синие стержни? Сколько стоили черные стер­жни?» Выделив величины, данные в задаче, ученики записывают задачу кратко на доске и в тетрадях:

Проводится беседа: «Почему за синие стержни уплатили больше денег, чем за черные? (Синих стержней купили больше.) За сколько синих стержней уплатили столь­ко же, сколько за все черные стержни? (За 8 стержней.) Сколько уплатили за остальные синие стержни? (32 к.) Нельзя ли узнать, сколько стержней купили на 32 к.? (Можно.) Составьте план решения. (Сна­чала узнаем, сколько стержней стоили 32 к., выполнив вычитание; затем узнаем, сколько стоил 1 стержень, выполнив деление; да­лее узнаем, сколько стоили синие стержни и сколько стоили черные стержни действием умножения.)»

Задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях. Например:

«Два велосипедиста выехали одно­временно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 2 ч. Ско­рость одного из них 11 км/ч, а другого 13 км/ч. Найти расстояние между поселка­ми». После чтения задачи выполняется под руководством учителя чертеж:

Выясняется, что каждый велосипедист был в пути до встречи 2 ч, что первый пройдет до встречи меньшее расстояние, так как он двигался с меньшей скоростью, и что расстоя­ние между поселками складывается из расстояний, пройденных каждым из велосипедистов до встречи. После этого, как пра­вило, ученики сами составляют план реше­ния: узнаем расстояние, пройденное пер­вым велосипедистом до встречи, выполнив умножение; затем узнаем расстояние, прой­денное вторым велосипедистом до встречи, выполнив умножение; после чего найдем рас­стояние между поселками, сложив оба рас­стояния. Решение лучше записать отдель­ными действиями с пояснениями.

Для разбора решения этой задачи другим способом можно проиллюстрировать движе­ние, вызвав к чертежу двух учеников. Учи­тель ведет объяснение: «Вы будете велоси­педистами. Покажите указкой, откуда вы на­чали движение. Вы начали двигаться одно­временно и ехали 1 ч. Сколько километ­ров проехал за это время каждый из вас? (11 км и 13 км.) Подпишем 11 км и 13 км на чертеже. На сколько километров вы сблизились за 1 ч? (На 24 км.) прошел еще 1 ч. На сколько километров вы еще сбли­зились? (На 24 км.) Встретились ли вело­сипедисты? (Да.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, на сколько километров сближались велосипедисты в час, выпол­нив сложение; затем найдем расстояние меж­ду поселками, выполнив умножение.)» Эти два способа решения надо сравнить и. оце­нить, какой из них рациональнее.

Задачи, обратные данной, ученики могут составить сами по преобразованным чер­тежам, которые выполняет учитель. Снача­ла искомым становится время движения до встречи, а затем

скорость одного из вело­сипедистов. Вот эти измененные чертежи:

План решения той и другой задачи уче­ники могут составить сами. Решение лучше записать отдельными действиями. Затрудне­ние обычно вызывает один из способов решения последней задачи (48:2=24, 24-13= 11). В этом случае, обращаясь к иллю­страции, надо показать, что в каждый час велосипедисты сближались на одинаковое расстояние, поэтому легко узнать, на сколько километров они сближались в час, выпол­нив деление (48:2=24), зная это и скорость одного из них, можно найти скорость дру­гого (24—13=11).

Теперь полезно сравнить задачи, выявив сходное (все задачи на встречное движе­ние, в них одинаковые величины) и раз­личное (в первой задаче находили расстояние по известным скорости каждого велосипеди­ста и времени движения до встречи; во второй задаче находили время движения до встречи по известным расстоянию и скорости каждого велосипедиста; в третьей задаче находили скорость одного из велосипедистов по известным расстоянию, времени движения до встречи и скорости другого велосипеди­ста). Сравнив решения, ученики должны за­метить, что каждую задачу можно решить двумя действиями, причем в этом случае первым действием находили, на сколько ки­лометров сближались велосипедисты в час, но при решении первой и второй задачи это находили сложением, а при решении третьей задачи — делением. Далее, как и в других случаях, на последующих уроках ученики решают задачи этих видов сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно. Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В част­ности, ставить вопросы вида: «Могли ли ве­лосипедисты (теплоходы и т. п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи продол­жат движение, то какой из них приедет раньше к месту выхода другого велоси­педиста, если будет двигаться с той же скоростью?»

Рассмотрим задачу, решающуюся несколькими способами:

«В зале 8 рядов стульев, по 12 стульев в каждом ряду. В зал пришли ученики из двух классов, по 42 ученика в каждом. Хватит ли стульев для учеников? Если останутся незанятые, то сколько?»

Используя разбор задачи от данных к во­просу, дети легко получили решение, рассуж­дая следующим образом: «Зная, что в зале 8 рядов по 12 стульев в каждом ряду, найдем, сколько всего стульев в зале: 12×8=96. Те­перь определим, сколько стульев будет заня­то, т. е. узнаем, сколько учеников в двух классах. Столько же будет занято и стульев: 42×2= 84. Сравним теперь число всех стульев - 96 и число стульев, которые займут ученики двух классов, - 84. 96>84, значит, стульев хватит. 96—84=12. 12 стульев останутся незанятыми».

Чтобы отыскать другие способы решения, я предложила детям представить, как могли ученики двух классов войти в зал и в соответ­ствии с этим дополнить условие задачи. Рассуждая, сопоставляя, дети отыскали три способа решения. И эти три способа записали в тетрадь:

II способ

1) 2.8=96

2) 96-42=54

3) 54—42=12

О т в е т. 12 стульев останутся незанятыми.

Вначале свои места заняли ученики одного класса, а затем другого.

III способ

Всех учащихся рассадили так, чтобы все места в ряду были заняты, т. е. в каждом ряду было по 12 человек:

1) 42×2=84 — места займут ученики двух классов;

2) 84:12= 7 — рядов займут ученики двух классов;

3) 8-7= 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми.

Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

IV способ

Стулья в зале распределили поровну между классами, т. е. по 48. Поэтому сначала узнаем, сколько незанятых стульев осталось у каждо­го класса.

1) 12×8== 96 — всего стульев в зале;

2) 96:2=48—стульев для каждого класса;

3) 48-42== 6 — незанятых стульев у каж­дого класса;

4) 6•2== 12 — всего незанятых стульев. Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

Дети были удивлены, что задача имеет столько способов решения, и довольны, что нашли их. Но когда я сказала, что эта задача имеет еще столько же и даже больше решений, удивлению не было границ. Ребятам захотелось тут же отыскать их, но поскольку урок подходил к концу, они попросили остаться после уроков, чтобы в тот же день попытаться выявить все способы.

На этом дополнительном занятии опира­лась на способных ребят, вовлекала их в самостоятельный поиск, предлагая им представить, как еще можно рассадить учеников: чтобы все ряды заполнялись учени­ками равномерно и каждый ряд был хотя бы частично занят; чтобы все места в рядах были заняты; чтобы оба класса рассаживались одновременно; рассаживались порознь; чтобы для каждого класса выделялось поровну мест в зале или поровну (по 6) в каждом ряду

Чтобы дети лучше могли представить все ситуации, на доске нарисовали 8 рядов, по 12 кружков в каждом ряду.

Вот какие решения мы нашли, причем некоторые способы отыскали сами дети.

V способ

1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, оставшихся 6 учеников посадили в 4-й ряд;

2) 12-6= 6 —учеников из другого класса тоже посадили в 4-й ряд;

3) 42-6= 36 — учеников остается поса­дить на другие ряды;

4) 36:12=3 —еще 3 ряда займут ученики другого класса;

5) 4+3= 7—рядов занято;

6) 8-7 = 1 — ряд или 12 стульев не заняты.

Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

VI способ

1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, 6 учеников не посажено;

2) 42+6== 48—учеников осталось поса­дить;

3) 48:12== 4—ряда займут оставшиеся ученики;

4) 4+3== 7—рядов занято;

5) 8-7= 1 — ряд или 12 стульев не занято.

VII способ

1) 8:2== 4 — ряда для каждого класса;

2) 12 • 4= 48 — стульев выделили для каж­дого класса;

3) 48-42== 6—стульев остается незаня­тыми в каждой части зала, выделенной каждому классу;

4) 6-2== 12—стульев останутся незаня­тыми.

VIII способ

1) 42×2= 84—ученика нужно посадить;;

2) 84:8== 10 (ост. 4) — 10 учеников в каж­дом ряду и 4 учеников пока не посадили, если будем сажать поровну на каждый ряд;

3) 12-10== 2 — по 2 стула осталось неза­нятыми в каждом ряду;

4) 2-8== 16—всего 16 стульев осталось после того, как рассадили по 10 учеников в каждом ряду;

5) 16-4== 12 — стульев остались незаня­тыми, после того как 4 оставшихся учеников посадили на места из оставшихся 16;

IX способ

1) 12-8== 96—всего стульев в зале;

2) 96:42=2 (ост. 12)—2 класса можно посадить и 12 мест останутся незанятыми.

Х способ

1) 12:2=6 — по 6 стульев в ряду выделили для класса, если будем рассаживать на каждый ряд поровну учеников из одного и другого класса;

2) 42:6== 7 — рядов займет каждый класс;

3) 8—7== 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми

Дети просто были потрясены таким обили­ем способов. И поскольку ситуация задачи несложна для представления (тем более что на рисунке на доске показывали, как они «рассаживают» учеников), записывали мы только некоторые способы с самой короткой записью. Остальные выполняли устно с пока­зом на рисунке, определяли самый рациональ­ный способ.

Потом оказалось, что эта задача имеет еще по крайней мере, четыре способа решения. Приведем один из них.

XI способ

1) 42-2 ==84—ученика в двух классах и 84 стула нужно для всех;

2) 96:84= 1 (ост. 12) — 1 раз по 84 стула содержится в зале и 12 стульев останутся незанятыми.

Работа по отысканию разных способов решения задач так заинтересовала детей, что если даже на уроке не планировалось решение задач несколькими способами, учащиеся самостоятельно находили их. Всегда были дети, которые стремились решить задачу нетрадиционным способом.

Рассмотрим несколько задач, решаемых по системе Л.В.Занкова арифметическим и алгебраическим способом:

Задача №1

"Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов. На каждую тетрадь первого сорта расходовали по 8 листов, а на каждую тетрадь второго сорта - по 12 листов. Сколько сделали тетрадей каждого сорта?" К задаче даны два указания: