Казиев В.М.
Рассмотрим пару алгебр (A,B): алгебру X=<X,&,a(+),a{},{}a> событий - алгоритмических процедур (программ) заданную над алфавитом X={x1,x2,...,xn} и В-трехзначную алгебру логики (0,1,2 - неопределенность). В алгебре А определим двухместные операции конъюнкции и условной дизъюнкции и одноместную операцию итерации следующим образом: конъюнкция s1&s2 событий s1, s2 состоит из всех слов вида pq, pÎ s1, qÎ s2; a - дизъюнкция a(s1+s2) совпадает с s1(s2), если условие a истинно (ложно); итерация с постусловием {s}a состоит из пустого события s0=e и всевозможных слов вида p1p2...pk т.е. 
, {s}a=sm, где sm - последний из степеней s, для которого условие a выполнено; итерация с предусловием a{s} определяется аналогично. В алгебре А задается событие называемое неопределенным и обозначаемое символом Æ. Элементарные события в А - события е, x1, x2,..., xn. Аксиомы алгебры А ниже рассмотрены. Все аксиомы алгебры B и правила вывода в ней сохраняются. Правила вывода, используемые в алгебре А включают правила вывода, принятые в программировании - см., например, [1]. Событие, получаемое применением конечного числа операций алгебры А над элементарными, называется регулярным.
Имеет место важная теорема Клини [2]: регулярные события и только они представимы в конечных автоматах.
Рассмотрим задачу построения алгоритма регуляризации во введенной паре алгебр (А,B). Алгоритм в укрупненных шагах состоит в следующем.
Шаг 1. Задается произвольное событие s=s0 s1 s2...sn+1, где si - событие номер i, начальное событие - s0, конечное - sn+1, остальные события - преобразователи и/или события - распознаватели.
Шаг 2. Составляется система уравнений алгебры событий А: записывается функция F события, его дерево D и дерево состояний определяющее все к путей выполнения : 
, где Fi - функция ветви дерева состояний. Функция ветви дерева - композиция всех функций (событий) данной ветви; программная функция F - объединение всех функций ветвей дерева.
Шаг 3. Система уравнений с помощью подстановок и операций дизъюнкции и конъюнкции представляется в виде : X=XA+B, где X - событие, представленное заключительным состоянием sn+1, 
.
Шаг 4. Находим решение системы. Используется теорема [3]: если характеристический граф матрицы А (орграф соединяющий ребрами вершины i и j только тогда, когда eÎaij) не содержит ни одного цикла, то система X=XA+B имеет единственное решение X=B{A}, которое регулярно при регулярных A, B. При решении системы эффективно преобразовывать уравнения, - как и при решении линейных алгебраических уравнений, например, брать дизъюнкцию событий, изменять порядок исключения событий и др.
Шаг 5. По условиям выполнимости событий находим регулярную форму этого решения. Используются аксиомы алгебры логики В и соотношения алгебры событий А, например, следующие (AB=A&B, ab=a&b,a(A) - условие выполнимости события А, Aa - проверка условия a после события А и для этого условия верны все аксиомы алгебры В, 
- отрицание условия a):
Ae=eA=A,
ea=a(e)=a,
AÆ=ÆA=Æ,
2(A+B)=Æ,
a(b(A))=b,
A(BC)=(AB)C,
b(A+B)=(a(A)+ (B)),
a(b(A+B))=(ba(A))+( 
(B)),
a(A+B)C=a(AC+BC),
Aa(B+C)=a(AB+AC),
a(AB)=a(A)Ba(B),
(AB)a=A(Ba),
A{B}a={BAa}A,
a({A}b)={Ab}b,
{A}a=a(e+A{A}a),
{a(A)}(B)={A}B,
a{A}a{A}=a{A},
{aa{A}}=a{A},
{A}a{A}a={A}a,
{{A}aa}={A}a,
{a(A)}={A} ,
{A}a+e=a{A},
Aa{A}=a{A}A={A}a.
Пример 1. Регуляризуем микропрограмму А деления с фиксированной запятой. Для простоты считаем, что числа неотрицательны, а операция не приводит к переполнению разрядной сетки компьютера фон - Неймановского типа, операционный автомат которого состоит из регистров R1, R2 сумматора R3 и счетчика сдвигов R4. Делимое храниться на R1, делитель - на R2, частное накапливается на R3. Введем обозначения: li - микрооперация сдвига регистра Ri влево (i=1,2,3); s-1ij - микрокоманда вычитания из содержимого регистра Rj содержимого регистра Ri; ai - условие заполненности регистра Ri; gi - условие отрицательности содержимого регистра Ri; pi - микрооперация занесения единицы в младший разряд Ri; si,j- микрокоманда добавления содержимого регистра Ri к содержимому Rj.
Выпишем систему уравнений, обозначив через xi - событие соответствующее каждому из 11 пунктов алгоритма деления (см., например, [3]):
Решим эту систему. После очевидных подстановок, вводя обозначения:
x=x3+x7+x10 ,
B=el3s-113,
A=
g3p2l2p4l3s-113+g3l2p4l3s-113
получим уравнение X=XA+B, решение которого будет X=B{A} и после упрощений с помощью приведенных аксиом, заключительное событие S равно
s=x11l3s-113{g3(l2p4l3s13+p2 l2p4l3s13-1)}a4
2. Рассмотрим задачу нахождения оптимальных (например, в смысле операции, длины и т.д.) структурированных программ из заданного набора базовых процедур (некоторые из них - см. в [5]), а также построения грамматик для анализа структур из программных единиц. При решении этой задачи используются аксиомы алгебры А.
Пример 2. Дана программа Р, где А,В,С - процедуры, a,b - предикаты:
P=a(BA+CA)b(Ab{A}+e)=a(B+С)Ab(Ab{A}+e)=a(B+С)Ab({A}b+e)=a(B+С)Ab{A}=a(B+C){A}b=T.
Программа Т - более оптимальна и ее правильность доказываема формально.
Доказана теорема (доказательство не приводим из-за объема).
Теорема 1. Если R,A,S Î A, a,b,gÎB, A и S - коммутативны, то:
а)AX=Aa(R+SX)ÛAX=A{S}aR, б)Ag=Aa(b+Sg)ÛAg=A{S}ab,
в)Ag=Aa(b+S 
)ÞAg=A{S2}ta(b+S 
),t=a+Sa,
г)Ag=A{S2}tgÞAg=At(e+S2)g, g=a(b+S), t=a+Sa.
Рассмотрим задачу исследования разрешимости в пространствах программ.
Пусть x=<X, Y, M, S> - программа, определенная на входном алфавите Х, выходном алфавите Y и состоящая из подпрограмм (процедур) М с логической схемой (структурой) S. Структуре S поставим в соответствие орграф: Вершины - подпрограммы, ребра - в соответствии со структурой их взаимодействий. Метрика r(x,y) в этом пространстве - сумма всех весов ребер орграфов программ не совпадающих при заданной структуре S или отклоняющихся от оптимальной структуры, т.е. 
Аксиомы метрики проверяемы.
Отметим метризуемость пространства и по некоторым характеристикам качества программ Холстеда [6], а также с помощью понятия интеллектуальной работы программы, оцениваемой как разность энтропии до работы (статической формы программы) и после работы (динамической формы). У идеальной программы энтропия равна нулю. Отметим, что если ds/dt - общее изменение энтропии программного комплекса при отладке, ds1/dt - изменение энтропии за счет необратимых изменений структуры, потоков внутри комплекса (рассматриваемую как открытую систему), ds2/dt - изменение энтропии за счет усилий по отладке и тестированию, то справедливо уравнение Пригожина: ds/dt = ds1/dt + ds2/dt. Последовательность программ {xi}, сходится по схеме (структуре) к программе х (обозначим 
), если r(xn,x)® 0, при n®¥, т.е. дерево программы xn при n®¥ стремится к дереву программы х. Последовательность {xi} сходится функционально к программе х (обозначим 
), если F(xn)® F(x) при n®¥ (программная функция xn стремится к программной функции х). Нетрудно видеть, что из сходимости по схеме следует сходимость функциональная, но обратное неверно.
Пусть M = {x1, x2, ..., xn,...} - последовательность программ с общей функцией (эквивалентных функционально). На этом множестве рассмотрим множество операторов А преобразования (композиции, суперпозиции) программ. Последовательность {An} сходится к А функционально (по схеме, структуре), если верно: "xÎМ: 
С точки зрения исследования существования, единственности оптимальной (в каком-то смысле) программы можно рассмотреть: операторы минимизации числа операндов; операторы минимизации числа типов операторов; операторы минимизации числа вызовов процедур; минимизации числа ошибок в программе; минимизации сложности (разных способов определения) и др. При исследовании программных систем важно рассматривать пространства векторов х=(х1,x2,...,xn), где xi - характеристика ошибок в программе или структурной связностипроцедур, ui - количество ошибок в i-ом модуле программного комплекса P(u)=P(u1,u2,...,un).
Пусть u(x,t) - количество ошибок, обнаруженных в программе (системе) в момент времени t, а х - характеристика уровня ошибок. Рассмотрим модель обнаружения ошибок при отладке, представимая уравнением (см. также [7]): Lu+Tu=f, где T - оператор, определяющий первоначальный уровень ошибок в программе или их некоторую характеристику, L - некоторый линейный ограниченный оператор отладки, L:U®V, U,V - линейные нормированные пространства D(L) ÍU, R(L)ÍV.
Теорема 2. Если R(L)=V и для каждого uÎD(L) существует постоянная c такая, что 
, то Lu+Tu=f имеет единственное решение uÎU.
Доказательство. Условия теоремы гарантируют существование непрерывного обратного оператора L-1, причем 
. Тогда u=L-1(f-Tu). Для однородного уравнения: 
. Отсюда следует, что 
, т.е. u=0. Следовательно, неоднородное уравнение имеет единственное решение.
Пример 3. Пусть umax - максимальный уровень синтаксических ошибок в программе Р, u(t) - их оставшееся количество к моменту времени t. Исходя из модели du/dt+lumax=0, u(t0)=u0 можно заключить, что уровень ошибок убывает при l(c-t0) ¹ -1 (t0<c<T) по закону: u(t) = u0(1+ l(c-t))/(1+l(c-t0)).
Если задать дополнительно u(t*)=u*, (umax - неизвестная величина), то закон изменения уровня ошибок находится однозначно, так как: с=(u*t0-u0t*)/(lu*-lu0)-1/l.
Вопросы разрешимости некоторых уравнений Lx=y, где х - неизвестная программа, y - заданная программа, L - оператор, например, оптимизации, будут изложены в другой работе.
Список литературы
1. Алагич С., Арбиб М. Проектирование корректных структурированных программ. - М., Радио и связь, 1984.
2. Клини С.К. Представление событий в нервных сетях и конечных автоматах. - Автоматы, ИЛ, М., 1956.
3. Бондарчук В.Г. Системы уравнений в алгебре событий. - Журнал вычислительной математики и математической физики, N6, т.3, 1963.
4. Глушков В.М. О применении абстрактной теории автоматов для минимизации микропрограмм. - Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, N1, 1964.
5. Казиев В.М. Дидактические алгоритмические единицы. - Информатика и образование, N5, 1991.
6. Холстед М. Начала науки о программах. - М., Финансы и статистика, 1981.
7. Казиев В.М. Один класс математических моделей переработки информации и некоторые его приложения. - Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах, Киев, 1991.
Похожие работы
... . Позитивизма. Для позитивистов верным и испытанным является только то, что получено с помощью количественных методов. Признают наукой лишь математику и естествознание, а обществознание относят к области мифологии. Неопозитивизм, Слабость педагогики неопозитивисты усматривают в том, что в ней доминируют бесполезные идеи и абстракции, а не реальные факты. Яркий ...
... развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии. При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач. При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей ...
... труде - все это формирует и развивает познавательный интерес и превращает его в важный стимул учебной деятельности учащихся [20,46]. Существуют различные средства развития познавательного интереса: решение занимательных, логических задач, игра, исторические экскурсы и другие. Наиболее подробно остановимся на исторических экскурсах. Знакомство с историей науки полезно для каждого человека, а для ...
... лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке. 1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом 1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...
0 комментариев