Малосигнальные параметры биполярного транзистора и эквивалентные схемы

4.3. Малосигнальные параметры биполярного транзистора и эквивалентные схемы

При расчете транзисторных усилительных схем транзистор, как правило, заменяют его эквивалентной схемой, параметры которой получают путем линеаризации вольтамперных характеристик в заданной рабочей точке. Поскольку точную линеаризацию можно получить только в ограниченной области изменений напряжений и токов, то рассчитанные таким образом параметры называют малосигнальными. При определении параметров транзистора он рассматривается как некоторый четырехполюсник как это показано на рис. 3.10. При таком подходе не принципиально в каком включении находится транзистор. Различия в схеме включения отразятся на значениях самих параметров.

Рис. 3.10. Представление транзистора в виде четырехполюсника: а) включение с общим эмиттером, б) включение с общей базой

На входе четырехполюсника (рис. 3.10) действуют U₁, I₁ на выходе U₂, I₂. В зависимости от того что будет взято в качестве функций и что в качестве аргументов будут иметь место различные системы параметров.

r - параметры.

Предположим, что при измерениях задавали входной и выходной токи и измеряли входное и выходное напряжения, результирующие вольтамперные характеристики транзистора были записаны в виде:

U₁ = f₁(I₁,I₂), U₂ = f₂(I₁,I₂) (3.12)

Полные дифференциалы входного и выходного напряжения запишутся в следующем виде:

(3.13)

Соответствующие дифференциальные приращения будем рассматривать как сигналы, а производные как некоторые коэффициенты, имеющие размерность сопротивления, тогда уравнения (3.13) можно переписать в следующем виде:

(3.14)

Рассмотрим физический смысл и способ их определения.

Для того, чтобы определить малосигнальные параметры необходимо задать режим транзистора по постоянному току, соответствующий его рабочей точке в усилительном каскаде (например т.А на рис. 3.9 ), т.е. установить U_Э(А), U_К(А) и задав соответствующие значения I_Э(А), I_К(А). Затем задавая переменные сигналы тока во входную и выходную цепи выполнить измерения соответствующих значений напряжений, которые позволят рассчитать малосигнальные параметры транзистора. Поскольку задаются токи, необходимо осуществлять режим генератора тока, т.е. входное или выходное сопротивление транзистора на частоте сигнала должно быть много меньше сопротивления генератора сигнала. Расчет параметров осуществляется по формулам, следующим из (3.14):

r₁₁ = u₁/i₁ - входное сопротивление транзистора, измеренное при i₂ = 0, т.е. в режиме холостого хода в выходной цепи;

r₂₂ = u₂/i₂ - выходное сопротивление транзистора, измеренное при i₁ = 0, т.е. в режиме холостого хода во входной цепи;

r₁₂ = u₁/i₂ - сопротивление обратной связи, измеренное при i₁ = 0, т.е. в режиме холостого хода во входной цепи;

r₂₁ = u₂/i₁ - сопротивление прямой передачи сигнала, измеренное при i₂ = 0, т.е. в режиме холостого хода в выходной цепи;

Все определенные параметры являются сопротивлениями (r-параметрами). Для r-параметров возможно составить эквивалентную схему. Усилительные свойства транзистора и свойства обратной связи характеризуются напряжениями r₂₁i₁ r₁₂i₂, которые на эквивалентной схеме можно отразить введя генераторы напряжения, сигнал которых будет зависеть от входного и выходного сигнала. Эквивалентная схема, соответствующая уравнениям (4_61) показана на рис. 3.11а.

Рис. 3.11. Схемы замещения биполярного транзистора: а) п - образная схема замещения, б) т - образная схема замещения транзистора во включении ОБ, в) т - образная схема замещения транзистора во включении ОЭ

Схему показанную на рис. 3.11а можно преобразовать в эквивалентную ей т-образную схему замещения, пересчитав соответствующие сопротивления и введя генератор тока, характеризующий усилительные свойства транзистора. Параметры, входящие в эту схему замещения часто называют физическими, поскольку им можно придать определенный физический смысл. На рис. 60б показана т-образная схема замещения транзистора в ОБ на фоне структуры биполярного транзистора. Сравнение схемы со структурой показывает, что действительно возможно придать следующий физический смысл элементам схемы r_э - дифференциальное сопротивление эмиттерного перехода в заданной рабочей точке, r_к- дифференциальное сопротивление коллекторного перехода в заданной рабочей точке, r_б - дифференциальное сопротивление толщи базы создающее падение напряжения от базового тока и являющееся одной из причин обратной связи в транзисторе, α - коэффициент передачи тока в схеме с общей базой (K_iБ). Удобство физических параметров заключается в том, что они позволяют наглядно представить влияние конструктивно технологических параметров транзистора на его эксплуатационные характеристики. Так, например, уменьшение степени легирования базы или ее толщины должны приводить к росту rб и соответственно к увеличению обратной связи в транзисторе. На рис. 60в показана малосигнальная схема замещения транзистора с включением ОЭ, в этой схеме K_iЭ = β =α/(1-α) и r*_кЭ ≈ r_кБ/ β.

К недостаткам физических параметров следует отнести то, что их нельзя непосредственно измерить и значения для них получают пересчетом из r - параметров. Для нахождения формул пересчета можно составить уравнения описывающие схему рис. 3.11а и схему рис. 3.11б (или рис. 3.11в) и приравнять коэффициенты при соответствующих токах.

Пример* : нахождение соответствия между r параметрами и физическими параметрами.

Составим уравнения описывающие схему 50б и аналогично тому как уравнения (4_61) описывают схему рис. 50а.

(3.15)

Приравняем коэффициенты при токах в (3.14) и (3.15) и найдем связь между их параметрами:

(3.16)

Аналогично можно установить связь между параметрами схемы рис. 3.11в и рис. 3.11а.

С точки зрения измерений к недостаткам r-параметров следует отнести то, что они требуют осуществления режима холостого хода по переменному сигналу в выходной цепи. Этот режим обычно осуществляется последовательным включением индуктивности, однако на высоких частотах трудно обеспечить высокое сопротивление индуктивности, которое бы было больше выходного сопротивления транзистора, в результате могут возникнуть значительные погрешности при определении параметров транзистора и соответственно при расчете использующих его каскадов.

g - параметры

Предположим, что при измерениях задавали входное и выходное напряжения и измеряли входной и выходной токи, после чего результирующие вольтамперные характеристики транзистора были записаны в виде:

I₁ = f₁(U ₁, U ₂), I₂ = f₂(U ₁, U ₂) (3.17)

Полные дифференциалы входного и выходного напряжения запишутся в следующем виде:

(3.18)

Перейдя к записи малых сигналов уравнение (4_65) преобразуем к виду:

(3.19)

Задавая переменные сигналы напряжения во входную и выходную цепи возможно выполнить измерения соответствующих значений токов и рассчитать малосигнальные g-параметры транзистора, которые будут проводимостями. Поскольку при измерениях задаются напряжения, необходимо осуществлять режим генератора напряжения, т.е. сопротивление генератора на частоте сигнала должно быть много меньше входного или выходного сопротивления транзистора. Расчет параметров осуществляется по формулам, следующим из (3.14):

g₁₁=i₁/u₁ - входная проводимость транзистора, измеренная в режиме u₂ = 0 - короткого замыкания по переменному току в выходной цепи,

g₂₂=i₂/u₂ - выходная проводимость транзистора, измеренная в режиме u₁ = 0 - короткого замыкания по переменному току во входной цепи,

g₂₁=i₂/u₁ - проводимость прямой передачи, измеренная в режиме u₂ = 0 - короткого замыкания по переменному току в выходной цепи,

g₁₂=i₁/u₂ - проводимость обратной связи, измеренная в режиме u₁ = 0 - короткого замыкания по переменному току во входной цепи.

Схема замещения транзистора, соответствующая малосигнальным g- параметрам приведена на рис. 3.12а.

R недостаткам g-параметров следует отнести то, что они требуют осуществления режима короткого замыкания по переменному сигналу во входной цепи. Этот режим обычно осуществляется параллельным включением со входом транзистора конденсатора, однако на высоких частотах трудно обеспечить низкое сопротивление конденсатора, которое бы было меньше входного сопротивления транзистора особенно, если он мощный.

Рис. 3.12. Схемы замещения биполярного транзистора соответствующие: а) g - параметрам, б) h - параметрам

h - параметры

С точки зрения измерений и r и g параметры имеют существенные недостатки, затрудняющие их точное измерение. Поскольку входное сопротивление биполярного транзистора мало, а выходное велико при измерениях предпочтительно во входной цепи осуществлять по переменному току режим холостого хода (сопротивление измерительной цепи на заданной частоте выше входного сопротивления транзистора), а в выходного режим короткого замыкания (сопротивление измерительной цепи меньше выходного сопротивления транзистора).

Предположим, что при измерениях будут задаваться входной ток и выходное напряжение и измеряться входное напряжение и выходной ток, после чего результирующие вольтамперные характеристики транзистора будут записаны в виде:

U₁ = f₁(I ₁, U ₂), I₂ = f₂(I ₁, U ₂) (3.20)

Полные дифференциалы входного напряжения и выходного тока запишутся в следующем виде:

(3.21)

Перейдя к записи малых сигналов уравнение (3.18) преобразуем к виду:

(3.22)

Задавая переменные сигналы тока во входную и напряжения в выходную цепи возможно выполнить измерения соответствующих значений напряжений во входной цепи и токов выходной, на основе которых возможно рассчитать малосигнальные h-параметры транзистора, которые будут как безразмерными, так с размерностью проводимости и сопротивления (поэтому эту систему называют системой смешанных параметров). Расчет параметров осуществляется по формулам, следующим из (3.22):

h₁₁=u₁/i₁ - входное сопротивление транзистора, измеренное в режиме u₂ = 0 - короткого замыкания по переменному току в выходной цепи,

h₂₂=i₂/u₂ - выходная проводимость транзистора, измеренная в режиме i₁ = 0 - холостой ход по переменному сигналу во входной цепи,

h₂₁=i₂/i₁ - коэффициент передачи тока, измеренный в режиме u₂ = 0 - короткого замыкания по переменному току в выходной цепи (для ОБ h₂₁=α, для ОЭ h₂₁=β),

h₁₂=u₁/u₂ - коэффициент обратной связи по напряжению, измеренный в режиме i₁ = 0 - холостого хода по переменному току во входной цепи.

Схема замещения транзистора, соответствующая малосигнальным h- параметрам приведена на рис. 61б.

К недостаткам h-параметров следует отнести то, что поскольку данная система является смешанной она неудобна для схемотехнических расчетов. В схемотехнических расчетах, могут использоваться r или g параметры, рассчитанные на основе h параметров.

Рассмотренные системы параметров могут использоваться как на низких, так и на высоких частотах. При этом соответствующие значения на высоких частотах становятся комплексными и r, g, h параметрам на высоких частотах будут соответствовать комплексные Z, Y, H параметры.

Лекция 13
3.4. Количественный анализ процессов в биполярном транзисторе.

Для того, чтобы выяснить как влияют конструктивно-технологические параметры биполярного транзистора на его характеристики и параметры необходимо проанализировать модель транзистора на основе решения уравнения непрерывности. Примем те же основные допущения, которые были сделаны выводе вольтамперной характеристики pn перехода (п. 2.3). Конечной целью данного рассмотрения является вывод вольтамперных характеристик транзистора, т.е. зависимостей токов через эмиттерный и коллекторный переход от приложенных к ним напряжения, при этом в качестве параметров в уравнения должны входить электрофизические параметры областей транзистора.

Для определенности будем рассматривать pnp транзистор. Задача расчета сводится к нахождению электронной и дырочной составляющих тока эмиттера и тока коллектора. Расчет выполним для плотности тока:

Jэ = Jpэ + Jnэ,

Jк = Jpк+Jnк (3.23)

При анализе будем придерживаться следующей схемы расчета:

решив уравнение для области базы найдем токи Jpэ и Jpк,

решив уравнение для области коллектора найдем токи Jnк,

решив уравнение для области базы найдем токи Jpэ и Jnк,

решив уравнение для области эмиттера найдем ток Jnэ,

используя (3.23) найдем токи Jэ и Jк.

Область базы.

Будем считать, что левая граница области базы расположена на границе области пространственного заряда (ОПЗ) эмиттерного перехода при x = 0, правая граница базы расположена на границе области пространственного заряда коллекторного перехода при x = w, т.е. w соответствует толщине базы. Уравнение непрерывности для области базы в принятых допущениях (п. 3.1.3) запишется в следующем виде:

(3.24)

Поскольку рассматриваются статические характеристики ∂∆p/∂t = 0 и уравнение (3.24) примет вид:

(3.25)

Граничные условия запишутся так:

(3.26)

Общее решение однородного уравнения второго порядка (3.25) с корнями характеристического уравнения + Lp будет иметь вид:

(3.27)

Используя в (3.27) граничные условия (3.26) составим линейных уравнений относительно A и B:

(3.28)

Решим эту систему, используя метод Крамера:

(3.29)

Подставив значения А и B в (3.28) получим:

(3.30)

Зная распределение инжектированных носителей заряда (3.30) найдем распределение диффузионного тока по базе:

(3.31)

Откуда, положив x = 0 найдем дырочную составляющую тока эмиттера, и, положив x = w дырочную составляющую тока коллектора.

(3.32)

(3.33)

Теперь, чтобы найти электронную составляющую тока эмиттера рассмотрим область эмиттера (x < 0). В p область эмиттера из n-базы будут инжектироваться электроны. Будем считать, что толщина эмиттера много больше диффузионной длины L_n , тогда мы можем воспользоваться решением для распределения инжектированных носителей, полученным при анализе процессов в pn переходе (51):

(3.34)

Зная распределение электронов можно рассчитать электронную составляющую инжекционного тока, при x = 0 этот ток будет диффузионным:

(3.35)

Чтобы найти электронную составляющую тока коллектора следует рассмотреть область коллектора (x > w). В p область коллектора из n-базы будут инжектироваться электроны. Так же как и для эмиттера будем считать, что толщина коллектора много больше диффузионной длины неосновных носителей L_n , тогда как и в предыдущем случае можно воспользоваться решением, полученным при анализе процессов в pn переходе (51):

(3.36)

Электронная составляющая тока коллектора равна диффузионной составляющей электронного тока при x = w::

(3.37)

Таким образом мы рассчитали все составляющие эмиттерного и коллекторного токов.

Ток эмиттера согласно (4_77) и (4_80) равен:

, (3.38)

где (3.39)

Используя (4_81) и (4_82) получим:

(3.40)

Ток коллектора согласно (3.33) и (3.37) равен:

, (3.41)

Используя (4_80) для Δp_э,Δp_к,Δn_к получим:

(3.42)

Перепишем уравнения (4_83), (4_85) в следующем виде:

(4_86)

В (4_86) использованы следующие обозначения:

(4_87)

Преобразуем уравнение, описывающее коллекторные характеристики к другому, более удобному виду. Для этого из верхнего уравнения (4_87) выразим (e^Uэб/Uт-1) и затем подставив полученное значение в нижнее.

(4_88)

С другой стороны для коллеторного тока можно записать (см. 4_9):

(4_89)

Сравнив (4_88) и (4_89) получим формулы для расчета эксплуатационных параметров α_N и J_к0 через технологические параметрыобластей:

(4_90)

Если из верхнего уравнения (4_87) выразить (e^Uкб/Uт-1) и затем подставить полученное значение в нижнее в нижнее уравнение (4_87) и выполнить преобразования аналогичные только что рассмотренным можно получить уравнения для других параметров, описывющих транзистор: α_I и i_э0. Однако можно не делать эти преобразования, а воспользоваться следующим рассуждением: поскольку транзистор структура симметричная, чтобы получить нужные коэффициенты в уравнениях (4_90) достаточно поменять индексы - к и э, 1 и 2. Тогда:

(4_91)

Поскольку коэффициенты a_ik определяются технологическими параметрами областей, то можно считать, что (4_90) и (4_91) позволяют связать параметры, описывающие вольтамперные характеристики см. (4_7) со свойствами областей транзистора.

Если структура симметричная, т.е. параметры p области эмиттера равны параметрам p области коллектора, то как видно из (4_87) a₁₁ = a₂₂, a₁₂ = a_21. В этом случае α_N=α_I.

Лекция 14
3.5. Влияние конструктивно технологических характеристик транзистора на параметры эквивалентной схемы.
4.5.1. Коэффициент передачи по току.

Используя (4_90) запишем:

(4_92)

В (4_92) выделены два сомножителя первый характеризует перенос носителей заряда через базу, второй способность эмттера инжектировать неосновные носители заряда. С другой стороны для коэффициента передачи тока мы можем записать α = κγ, Поэтому логично, сравнив два выражения записать для коэффициентов переноса - κ и инжекции - γ следующие выражения:

(4_93)

Для того, чтобы проиллюстрировать влияние w/Lp положим коэффициент инжекции эмиттера равным единице и рассчитаем коэффициент передачи по току в ОБ рис.62а и ОЭ рис.62б. Как видно из графика для того, чтобы коэффициент передачи по току был высоким необходимо, чтобы толщина базы была значительно меньше диффузионной длины, с физической точки зрения это означает, что инжектированные носители заряда должны доходить до коллектора без значительных потерь на рекомбинацию. В настоящее время условие w/Lpn_n и соответственно p_n>>n_p, что позволяет в a₁₁ a₂₂ оставить только один член с неосновными носителями.

(4_94)

Подставив в выражение для Jко из a₁₂=a₂₁ из (4_87) и a11 = a22 из (4_94) получим:

Так как w/Lp 0 и UкбU_кб1).

Основным фактором влияющим на величину коллекторного сопротивления является эффект модуляции толщины базы изменяющимся напряжением коллекторного перехода. При увеличении коллекторного тока область ОПЗ расширяется и ширина базы уменьшается, что сопровождается возрастанием коэффициента передачи транзистора по току и соответственно ростом коллекторного тока. Для коллекторного сопротивления можно записать:

(4_98)

Изменение ширины базы примерно равно изменению ширины ОПЗ коллекторного перехода (см. рис. ):

dw(Uкб) = - dl(Uкб) (4_99)

Принимая во внимание, что легирование коллектора значительно выше легирования базы и используя формулу ( ) для барьерной емкости перехода получим:

(4_100)

Таким образом получено выражение для второго сомножителя в уравнении (4_98). Рассчитаем теперь первый сомножитель.

(4_101)

Подставив результирующие выражения (4_101) и (4_100) в (4_98) получим:

(4_102)

Откуда:

(4_103)

Таким образом r_к возрастает с увеличением коллекторного напряжения ( пропорционально √Uкб) и уменьшается при увеличении тока эмиттера (соответственно и тока коллектора), т.е. при больших токах наклон выходных характеристик возрастает (веерообразность характеристик особенно заметна в схеме ОЭ при изменении коллекторного тока в широких пределах). Рис. иллюстрирует соответствующие (4_103) зависимости r_к от коллекторного напряжения и тока эмиттера.

Рис. 65. Зависимость rк от напряжения коллектора и тока эмиттера (U_к2>U_к1, I_э2>I_э1)

Лекция 15
3.6. Частотные характеристики биполярного транзистора. 3.6.1. Зависимость коэффициента передачи тока от частоты в схеме с общей базой [α(ω)].

При анализе временных процессов в биполярном транзисторе необходимо решать уравнение нестационарное уравнение непрерывности, описывающее изменение концентрации носителей заряда со временем. В сделанных нами допущениях это уравнение сведется к диффузионному:

(4_104)

При этом граничные условия так же будут зависеть от времени для u(t)>N_d, то (6_1) можно упростить:

(6_2а)

При некотором напряжении U₀ канал перекроется, т.е. будет выполняться условие: w(U_о) = a - 2d(U_о) = 0 . Откуда:

(6_3)

Для приращения напряжения вдоль канала, используя (6_1) запишем:

(6_4)

Разделим переменных в (6_4) и выполним интегрирование по длине канала, учитывая что U(0) = U_з и U(L)= U_c+U_з:

(6_5)

(6_6)

Уравнение (6_6) представляет семейство характеристик с максимумами и описывает крутую часть вольтамперной характеристики ПТУП. Максимум соответствует точке перекрытия канала. В реальных характеристиках после достижения напряжением стока значения U_o спада тока не происходит, и характеристики идут параллельно оси напряжений см. рис. 78, т.е. происходит переход от крутой области ВАХ к пологой, в которой ток очень слабо зависит от U_с.

Насыщение тока J_с­ после перекрытия канала объясняется перераспределение падения напряжения между низкоомной и высокоомной (перекрытой) областями канала. После перекрытия канала Практически все напряжение падает в области перекрытия. Дальнейшее увеличение напряжение стока приводит к расширению области перекрытия и соответственно увеличению падения напряжения на ней и не сопровождается увеличением тока. В то же время ток не уменьшается, поскольку все электроны достигшие ОПЗ вблизи стока переносятся электрическим полем в область стока.

Пологая область ВАХ начинается после экстремальной точки характеристик. Найдем эту точку из условия dJ_c/dU_c = 0. Продифференцируем и приравняем нулю (6_6):

Откуда: U_с = U_о - U_з.

Подставив в (6_6) это значение U_c для экстремальной точки, получим для пологой области ВАХ:

(6_7)

Это выражение достаточно громоздко и поэтому вместо него, без значительной потери точности, используют более простое более выражение:

(6_8)

На рис. 78 показаны зависимости тока стока от напряжения затвора (при Uк = 0.7 В, Uo = 5 В и Rс = 1кОм) рассчитанные по (6_7) нижняя и (6_8). верхняя кривая.

Р
ис. 78. Зависимости тока стока от напряжения затвора , рассчитанные по (6_8) - верхняя кривая м (6_7) - нижняя кривая

Если U_з>>U_к и U_o>> U_к (что справедливо в большинстве режимов), то:

(6_9)

Усилительные свойства полевого транзистора принято характеризовать крутизной S:

(6_10)

Как видно из (6_10) с ростом напряжения затвора крутизна для полевого транзистора с управляющим pn переходом падает. Характер соответствующей зависимости крутизны от напряжения на затворе воспроизведен на рис. 79.

Р
ис. 79. Зависимость крутизны полевого транзистора с управляющим pn переходом от напряжения затвора (Uo - напряжение отсечки).