m (raku organellid) 0.006 s = 6 ms

5 m (raku organellid) 0.006 s = 6 ms

50m (rakud) 0.6s

1 m (organism) 8 aastat

Nagu nдeme, on organellis difusioonikiirus sedavхrd suur, et molekul vхib umbes 200 korda sekundis lдbi organelli difundeeruda. Terve raku mххtmes on see aga ainult paar koda sekundis. Difusiooniline ainete transport organismi piires on aga lootusetult aeglane. Seetхttu metaboliitide kaugtransport toimubki peamiselt voolamise abil, nдrvierutus aga liigub elektri-impulsside abil.

Soojusjuhtivus

Tahkes kehas on eriti hдsti nдha, et soojendades keha ьhte osa jхuab soojus varsti jaguneda ьhtlaselt ьle kogu keha. Soojus nagu difundeeruks laiali. Sama toimub ka gaasides ja see ongi kehade soojusjuhtivus. Kuna soojus on pхhimхtteliselt molekulide kineetiline energia, siis selle ‘laialidifundeerumine’ tдhendab energia ьlekannet pхrgetel, kus kiiremini liikuvad molekulid jagavad oma energia teiste molekulidega. Nii kujuneb kehas lхpuks ьsna ьhtlane molekulide kiiruste jaotus. Et soojusjuhtivuse mehhanism on difusioonile sarnane, siis on ka vastavad valemid sarnased. Nдiteks soojuse liikumine lдbi varda pikkusega l ja ristlхikepinnaga S on

kus kontsentratsioonide vahet asendab temperatuuride vahe ja difusioonikonstanti soojusjuhtivuse konstant

Soojusjuhtivuse konstant on difusioonikonstant korrutatud erisoojusega, mis on tihedus korda massiьhiku soojusmahtuvus .

Sisehххrdumine, viskoossus

Voolamine on molekulide samaaegne ьhesuunaline liikumine. Voolamine toimub nдiteks torudes rхhkude vahe mхjul. Elusolendites toimub voolamine veresoontes loomadel ja juhtsoontes (ksьleem, floeem) taimedel. Voolamine on peamine viis molekulide transportimiseks pikematel distantsidel kui ьhe raku piires. Voolamine vхib olla laminaarne ja turbulentne. Laminaarse voolamise puhul vedeliku vхi gaasikihid torus segunevad ainult difusiooni tхttu, seega vдhe, ja kihid, mis alustasid teekonda toru seinte lдhedal, on seal toru lхpuni. Molekulid, mis alustasid teekonda toru keskosas jддvad samuti sinna kuni lхpuni. Laminaarne voolamine on tavaline peentes torudes, nagu kapillaarsooned ja taimede juhtsooned. Tubulentsel voolamisel toimub pidev keeriseline liikumine toru sees, selgeid kihte asendavad keerised, milles molekulid liiguvad kord sente lдhehedale, kord jдlle kaugemale. Turbulentne voolamine on tavaline jдmedates torudes. Vaadake nдiteks korstnast vдljuvat suitsu, aga sarnane keeriselisus on ka vere voolamisel jдmedamates veresoontes.

Ka voolamine allub sama tььpi proportsionaalsele seadusele nagu difusioon ja soojusjuhtivus, ainult siin on liikumapanevaks jхuks rхhkude vahe:

Pange tдhele, et voolamise puhul on tavaks vхrdetegurit esitada pццrdsuurusena, viskoossusena. Mida suurem on viskoossus , seda aeglasem on voolamine sama rхhkude vahe ja sama voolu geomeetria puhul. Vedelike puhul on viskoossus pхhjustatud peamiselt molekulidevahelistest sidemetest (tхmbejхududest). Kuna need temperatuuri tхustes nхrgenevad (molekulid liiguvad kiiremini ja kaugenevad ьksteisest, keha paisub), siis vedelike viskoossus temperatuuri tхustes vдheneb, voolamine kiireneb. Gaaside viskoossus pхhineb teisel alusel, kuna nendes molekulidevahelised tхmbejхud ei ole tдhtsad. Toru seinte lдhedal liikuvad molekulid pхrkuvad sageli seintega ja nende edasiliikumine piki toru on takistatud. Soojusliikumine aga pillutab molekule ka toru seintest eemale ja vastupidi, eemal olevaid molekule seinte suunas. Nii jдavad seinte poolt tulevad molekulid tsentri pool liikuvatele jalgu ja pidurdavad neid, aga tsentrist seinte poole liikuvad molekulid kiirendavad seinte lдhedal asuvate voolusuunalist likumist. Kujuneb vдlja keskmine kiiruste profiil, mis on ruuthьperbooli kujuga, kusjuures kхige kiiremini voolavad molekulid toru keskel ja seinte дares on need peaaegu paigal (voolamise mхttes, mitte termilise liikumise mхttes). Kuna gaaside puhul viskoossus on tingitud molekulide difusioonist risti voolu suunaga, on ka viskoossustegur seotud molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega ja vaba tee pikkusega:

,

kus  on gaasi tihedus. Viskoossus ei sхltu gaasi rхhust, kuna rхhu suurenedes tihedus kьll kasvab, kuid vaba tee pikkus proportsionaalselt kahaneb.

Molekulide kiiruste Maxwelli jaotus

Siiani oleme tдhelepanu alt vдlja jдtnud asjaolu, et kхik molekulid ei liigu mitte ьhesuguse kiirusega. Gaaside rхhu ja temperatuuri vaatlemisel siiski mдrkisime, et keskmise energia saamiseks tuleb keskmistada molekulide kiiruste ruudud, st. kasutada ruutkeskmist kiirust, difusiooniprotsesside puhul aga oli tarvis kasutada lineaarkeskmist kiirust. Kuivхrd erinevad siiski on molekulide kiirused? Jдttes tuletuse kхrvale esitame siin molekulide kiiruste Maxwelli jaotuse:

Selles valemis ei sisaldu temperatuuri, jдrelikult u on kiiruse suhteline mххt mingi teise kiiruse suhtes, mis on temperatuurist sхltuv. Tхepoolest, u on kiiruse suhe kхige tхenдosemasse kiirusesse:

,

kus v_t on tхenдoseim kiirus, mis avaldub jдrgmiselt:

,

kus M on molekulmass. Tхenдoseim, aritmeetiline ja ruutkeskmine kiirus on omavahel jдrgmistes suhetes:

; ; ;

Absoluutkiiruse jдrgi avaldatuna on molekulide kiiruste Maxwelli jaotus jдrgmine:

ja seda jaotust kasutatakse jдrgmiselt. Et leida molekulide suhteline arv, dn/n mille kiirus asub vahemikus v kuni v+dv tuleb arvutada avaldis:

.

Maxwelli jaotuse f(v) graafik on esitatud Joonisel. Selle x-teljel on molekulide kiirus m s^-1, y-telg aga omab dimensiooni

See dimensioon vхimaldab leida molekulide suhtearvu, mille kiirused asuvad vahemikus v kuni v+dv, kui tulba pindala, mille laius on dv ja kхrgus f(v). Selle kohaselt on mхistlik ainult kьsimus, kui suur osa molekulidest omab kiirusi mingis vahemikus, nдiteks 400 kuni 410 m s^-1. Ebamхistlik on kьsimus, kui suur osa molekulidest omab kiirust tдpselt 400.000....0 m s^-1, sest vastus sellele on: niisuguseid molekule ei ole. Analoogilised on kхik statistilised jaotusfunktsioonid, nдiteks kvantide jaotus lainepikkuse jдrgi ehk kiirguse ‘spekter’. Ka need nдitavad tulba d suhtelise pindala kaudu, kui suur osa kvante omab lainepikkusi vahemikus  kuni +d.

Vaadates Maxwelli jaotuse kuju torkab silma, et osa molekulide kiirused on vдiksemad kхige tхenдosemast kiirusest. Viimane on see kiirus, mille puhul jaotusfunktsioon omab maksimumi. Matemaatiliselt pхhjustab funktsiooni kasvu vдikeste kiiruste juures liige v². Osa molekule omab kiirusi, mis ьletavad kхige tхenдosema kiiruse. Joonisel v_t-st paremale ja vasemale jддvaid pindalasid hinnates on neid molekule rohkem, mille kiirus on v_t -st suurem. Sedasama nдitab ka see, et aritmeetiline keskmine kiirus on kхrgem kui v_t. Ruutkeskmine kiirus on veelgi kхrgem kui aritmeetiline keskmine. Mida suurem on kiirus, seda vдhem on molekule, mille kiirus on sellele lдhedal. Matemaatiliselt pхhjustab jaotusfunktsiooni languse suurte v vдartuste korral tegur

,

mis kahaneb kiiremini kui v² kasvab. Ometi on siiski olemas molekule, mille kiirus on kahekordne ja isegi kolmekordne tхenдoseim kiirus (vastavalt 800 ja 1200 m s^-1 lдhedal). Kuna energia on vхrdeline kiiruse ruuduga, siis vastavad energiad ьletaksid keskmist nelja ja ьheksakordselt.

Keemiliste reaktsioonide kulgemisvхime hindamiseks on oluline, kui palju on keskkonnas molekule, mille kiirus ьletab mingi vajaliku piiri, nдiteks reaktsiooni aktivatsioonienergia (energiabarjддri, mis tuleb ьletada, et aatomitevahelised sidemed tekikid). Molekulide suhteline arv, mille energia ьletab piiri E avaldub ьsna lihtsasti:

.

Nagu nдha, on molekulide energia vхrdlusmххduks RT, keskmine soojusliikumise energia ьhe vabadusastme kohta (toatemperatuuril 2.436 kJ mol^-1 ). Suurused

nдitavad molekulide suhtearvu, mille energia ьletab RT vastavalt 1, 2, 3, 4 ja 5 korda. Keemiliste reaktsioonide aktivatsioonienergiad vхivad ulatuda kьmnetesse kJ mol^-1 . Nдiteks aktivatsioonienergiat 50 kJ mol^-1 suudab toatemperatuuril ьletada vaid

osa koigist molekulidest. Eespool arvutasime, et 1mM kontsentratsiooni juures kohtuvad substraadi molekulid umbes 10⁸ korda sekundis. Kui aga aktivatsioonienergia ьletab 50 kJ mol, mis on ьsna tavaline biokeemiliste reaktsioonide puhul, siis saavad reaktsiooni astuda ainult

molekuli sekundis.

See ei ole kuigi suur reaktsioonikiirus ja sellest on ilmne, et organismide eksisteerimiseks on hдdavajalik reaktsioonide aktivatsioonibarjдari alandamine. See viimane ongi ensььmkatalььsi tulemus: ensььmid ei muuda reaktsiooni kulgemise energeetilist lхppefekti (alg- ja lхppseisundite energiate vahet), kьll aga vдhendavad oluliselt vahepealset energiabarjддri, aktivatsioonienergiat.

Aktivatsiooni energiabarjддr vдhendab reaktsiooni kulgemise kiirust, ei muuda aga reaktsiooni tasakaalu. Keemilise reaktsiooni tasakaalu mддrab reaktsiooni alg- ja lхppseisundite energiate vahe. Olgu meil lihtne juhtum, kus ained A -> B neelates (vхi vabastades) energiat. Olgu molekulide siseenergia tase vastavalt E_A ja E_B. Molekulide suhtearv, mille kineetiline energia ьletab selle siseenergia taseme E_A on

ja sama energiataseme E_B jaoks on

Logaritmides need avaldised saame

ja

SeisunditeA ja B energiate vahe ja vastavat energiat ьletavate molekulide arv on seotud jдrgmiselt:

Kuigi molekulide siseenergiad E_A ja E_B vхivad sageli olla negatiivsed (oli ju potentsiaalse energia nullnivoo kokkuleppeliselt valitud) ja valemid (??) kaotavd absoluutskaalas mхtte (kineetiline energia ei saa olla negatiivne, kuigi potentsiaalne saab), on seos (???) E jaoks siiski kehtiv. See seos vдljendabki keemilises tasakaalus olevate ainete molekulide arvu (kontentratsioonide) suhet. Kui reaktsioonis vabaneb energiat (E_B < E_A) siis on seisus B molekule rohkem kui seisus A ja lхpp- ja algseisus tasakaalus olevate molekulide arvud suhtuvad logaritmiliselt, nagu valem nдitab. Temperatuuri tхus suurendab logaritmi ees olevat kordajat, jдrelikult ainete B ja A kontsentratsioonide suhe peab siis vдhenema, molekulide hulk seisundis A suureneb. Kui reaktsioonis kulub energiat, siis on E negatiivne ja seisundis B on vдhem molekule kui seisundis A. Kui E=0, siis on molekulide arvud seisundites A ja B vхrdsed. Kui tegu on mitme aine vahelise reaktsiooniga, nдit. A + B -> C + D, siis esinevad logaritmi aluses murrus reaktsiooni produktide kontsentratsioonide korrutised lugejas ja substraatide kontsentratsioonide korrutised nimetajas. Seda murdu nimetatakse keemilise reaktsiooni tasakaalukonstandiks.

Nii reaktsiooni tasakaal kui ka kiirus sхltuvad kiirete molekulide osakaalust kogu molekulide arvus. Nдgu eespool mдrgitud, mддrab reakstiooni kiiruse nende pхrkuvate molekulide arv, mille energia ьletab aktivatsioonibarjддri E_a. Kuna nььd on meil ka avaldis kiirete molekulide avu kohta olemas, vхime kirjutada ьldvalemi reaktsiooni kiiruskonstandi jaoks:

Pange tдhele, et molekuli kineetiline energia (temperatuur) tuleb reaktsiooni kiiruskonstanti sisse kahel viisil, ьhelt poolt tхstes pхrke energiat (suurendades kiirete molekulide suhtearvu), teiselt poolt aga suurendab temperatuur pхrgete sagedust, sest keskmine kiirus v on vхrdeline ruutjuurega kineetiliset energiast, seega ka temperatuurist. Siiski, see viimane annab suhteliselt vдikese efekti ja peamine on eksponent-tegur. Seetхttu esitatakse keemiliste reaktsioonide temperatuurisхltuvuste uurimisel need tavaliselt teljestikus logaritm reaktsiooni kiirusest (y-telg) vs. 1/RT (x-telg), millises esituses sхltuvus kujuneb lдhedaseks sirgele tхusuga -E_a. See on tuntud kui Arrheniuse graafik.

Molekulide mххdu ja kьlgetхmbe arvestamine: reaalne gaas

Nagu selle peatьki alguses tuletasime, on normaalrхhul gaasides molekulide-vaheline kaugus umbes kьmme korda suurem nende diameetrist. Seega, gaasi saaks umbes 1000 korda kokku suruda enne kui molekulid pidevalt naabri mхjusfдari satuvad (lineaarmххt kaugus vдheneb kuupjuurega ruumalast!). Molekulide endi ruumala moodustab umbes tuhandiku gaasi koguruumalast normaalrхhul. Isegi vдhema kui tuhandekordse ruumala vдhendamise ja rхhu tхusu juures hakkab gaaside olekuvхrrand ebatдpseid tulemusi andma, kui molekulide omaruumala ei ole arvesse vхetud.

Teiseks, gaaside ideaalne teooria arvestab tдiesti elastsete pхrgetega, mille juures molekulidevahelisi sidemeid ei teki, vaid molekulide kineetiline energia on jддv. Tegelikkuses on aga molekuide vahel mitte ainult tхukavad jхud (elektronkatete vaheline tхukumine), vaid teatud mддral ka tхmbavad jхud. Nende olemasolu tulemusena muutuvad molekulidevahelised pхrked sarnaseks kleepuvate piljardikuulide pхrgetega: kuulide suurtel kiirustel kleepumisjхud ei ole tдhelepandavad, kuid vдikeste kiiruste puhul vхivad kuulid kokku leepuda. Molekulide vastastikuse toime potentsiaalse energia kхver on esitatud Joonisel. Teatud kaugusel toimivad tхmbejхud, mis vдhendavad potentsiaalset energiat, molekulide edasisel lдhenemisel aga domineerivad elektronkatete-vahelised tхukejхud ja selles piirkonnas potentsiaalne energia kasvab kiiresti. Kui pхrkuva molekuli kineetiline energia on suur, lдbib ta potentsiaalse energia miinimumi lohu kiiresti ja pхrkub tagasi kхrgenev potentsiaalse energia barjддrilt. Aeglastel molekulidel on aga suurem tхenдosus saada pььtud potentsiaalse energia miinimumi lohku, muidugi juhul kui seda lohku lдbides osa energiat eemaldub, nдiteks samaaegsel pхrkel kolmanda molekuliga vхi infrapunase kvandi kiirguse teel. Neid molekule siduvaid jхude nimetetakse Van der Waalsi jхududeks ja need on looduses vдga olulised: tдnu nendele moodustuvad vedelikud (vesi), biomembraanid, valgumolekulide kompleksid, need on rakke kooshoidvate jхudude aluseks jne.

Van der Waalsi jхudusid klassifitseeritakse orientatsiooni-, induktsiooni- ja dispersioonijхududeks.

Orientatsioonijхud toimivad polaarsete molekulide pьsivate dipoolmomentide vahel. Nende mхju on pццrdvхrdeline kauguse kuubiga kuni kuuenda astmega, seega vдga lьhikestel distantsidel. Pьsiv dipoolmoment on nдiteks vee molekulil ja see termin tдhendab positiivse ja negatiivse laengukeskme mittekokkulangemist, = laeng x distants.

Polarisatsioonijхud on orientatsioonijхududega sarnased, kuid ьks kahest molekulist ei peagi pьsivat dipoolmomenti omama. Teine, dipoolmomenti omav molekul liigutab oma elektrivдljaga esimese molekuli laengukeskmed paigast, nii et need enam kokku ei lange ja tekib indutseeritud dipool. Siin on jхud pццrdvхrdeline r⁶.

Klassifitseeritakse veel nn. hetkelisi dipooljхudusid, mis peaksid sarnased olema hetkeliste sidemete moodustumisele. Nдiteks vesinik-sideme tььpi doonor-aktseptorside, kuid mitte tingimata vesiniku ja hapniku, vaid ka teiste aatomite vahel, vхib moodustuda erinevate molekulide aatomite vahel, sidides nii molekule omavahel. Van der Waalsii jхudude suhtelised suurused ja tььbid mхnedes ainetes on antud Tabelis.

Tabel. Van der Waalsi jхud

Aine Dipoolmoment Orientatsiooni Induktsiooni Dispersiooni

[debai] 10⁶ ergxcm⁶ 10⁶ ergxcm⁶ 10⁶ ergxcm⁶

CO 0.12 0.0034 0.057 67.5

HJ 0.38 0.35 1.68 388

HBr 0.78 6.2 4.05 176

HCl 1.03 18.6 5.4 105

NH₃ 1.5 84 10 93

H₂O 1.84 190 10 75

(siin on jхud antud vanas fььsikalises, nn. Centimeeter-Gramm-Sekund sьsteemis, kus

erg on tцц, mida teeb jхuf ьks dььn teepikkusel 1 cm

dььn on jхud, mis annab massile 1 g kiirenduse 1 cm s^-2).

Paneme tдhele, et orientatsioonijхud on suurimad vee molekulide vahel, millel on ka suurim dipoolmoment. Induktsioonijхud on suhteliselt vдikesed, kuid dispersioonijхud vхivad olla pдris tugevad. See nдitab, et viimane tььp jхudusid omab osaliselt keemilise sideme iseloomu.

Molekulide oma-ruumala ja Van der Waalsi jхudude arvestamiseks on gaaside olekuvхrrandisse sisse toodud vastavad parandid:

Siin konstant b tдhistab molekuli omaruumala, mis tuleb koguruumalast lahutada kokkusurumisele alluva ruumala leidmiseks. Liige a/V² kujutab endast nn. “siserхhku”, mis tuleneb molekule siduvatest jхududest ja arvestatakse olevat pццrdvхrdeline ruumala ruuduga. See avaldis peab ligikaudu kirjeldama molekule siduvate jхudude suurenemist nende lдhenedes. Kuna molekulidevaheline kaugus kahaneb kuupjuurega ruumalast, siis pццrdvхrdelisus ruumala ruuduga tдhendab kuuenda astme sхltuvust kaugusest, nii nagu Van der Waalsi jхududel tхepoolest on. Kui ruumala vдhenedes siserхhk suureneb, siis jдrjest vдhem jддb vдlisrхhku p, kuni selleni, et teatud ruumala juures vдlisrхhk kaob hoopis. Selles seisundis gaas muutub vedelikuks. Matemaailiselt on avaldis (???) kuupvхrrand V suhtes, mis vхib omada korraga kuni kolme lahendit. Sellel ei ole aga tдielikku fььsikalist sisu, sest gaaside olekuvхrrandisse sissetoodud parandusliikmed on ikkagi ligikaudsed ja empiirilised. Vхrrandi tдhtsaim vдljund on vхimalus arvutada, missuguse temperatuuri, ruumala ja rхhu kombinatsiooni juures mingi aine veeldub, s.t.esineb vedelas ja gaasilises faasis korraga. Nдitena on Joonisel esitatud CO₂ isotermid (P-V sхltuvused konstantse temperatuuri juures). Kхrgemal kui 304 K temperatuuril ei ole vхimalik CO₂ rхhu abil veeldada (punkt K, 72.9 atm). Rхhku vхib tхsta kuitahes kхrgele, kuid vedeliku pinda ei teki, vaid gaas lihtsalt tiheneb ьle kogu ruumala. Viirutatud osa parempoolne ддr nдitab, kuidas veeldumisrхhk vдheneb temperatuuri langedes, nдiteks 273K juures on see veidi alla 50 atm. Matemaatiliselt on see ala, kus vхrrandil (???) on kolm lahendit. Kui veeldumisrхhk on saavutatud ja ruumala edasi vдhendada, siis rхhk enam ei muutu ja jдrjest rohkem gaasi kondenseerub vedelasse olekusse. Sellele protsessile vastavad horisontaal-lхigud Joonisel. Samal ajal annab Van der Waalsi vхrrand keeruka kхverjoone kolme ruumala vддrtusega, mis vastavad samale rхhule. See tдhendab, et tegelikkuses on selles osas lхpmata palju ruumala vддrtusi sama rхhu juures, vхrrand aga annab neid ainult kolm. Fььsikaline mхte on jдllegi viirutatud ala vasakul ддrel, mis nдitab, kui suure ruumala juures kogu gaas on veeldunud (kхik molekulid lдhestikku) ja edasine ruumala vдhendamine on seotud rхhu ьlikiire tхusuga (vedelik ei ole praktiliselt kokkusurutav). Seega, vaatamata ebatдpsusele veeldumisprotsessi kдigu kirjeldamisel, on Van de Waalsi vхrrandist palju kasu, sest ta annab korrektsed rхhu, temperatuuri ja ruumala vддrtused, mille juures veeldumisprotsess algab ja millal kogu gaas on veeldunud.

VEDELIKUD

Aine lдheb vedelasse faasi kui molekulide soojusliikumise kineetiline energia RT on vдiksem molekulidevaheliste tхmbejхudude poolt pхhjustatud seoste energiast. Vedelikes molekulid asetsevad ligistikku, kuid translatoorne liikumine on siiski vхimalik, ilmselt sidemete ebapьsiva iseloomu tхttu, mis vхimaldab molekulil osa aega vabalt uidata. Tekivad ka omavahel seotud molekulide suuremad rьhmad, doomenid, mis liiguvad teiste samasuguste suhtes. Kuna vedelikus molekule seovad Van der Waalsi jхud ja soojusliikumine pььab neid sidemeid lхhkuda, siis molekulide translatoorse liikumisega seotud nдhtused, nagu difusioon ja viskoossus, temperatuurigaseotud nagu keemilised reaktsioonidki: neis nдhtustes osalevad ainult suurema energiaga molekulid. Nдiteks difusioonikonstant

Vedeliku eriomaduseks gaasiga vхrreldes on pind. Pinnalдhedased molekulid on erilises seisundis, sest neile mхjuvad tхmbejхud neljast kьljest ja sissepoole, kuid mitte vдljapoole. Selle tulemusena tekib resultatiivne sissepoole tхmbav jхud, mis seob pinnalдhedased molekulid jдrgmise kihiga ja ei lase neil ruumi laiali lennata. Pinnalдhedased molekulid moodustavad nagu kile, mis pььab kokku tхmbuda ja omandada nii vдikese pindala kui vхimalik.

Pindpinevus

Pinna pььe kokku tхmbuda on saanud nimeks vedeliku pindpinevus. Pindpinevuse tulemusena pььab vabalt ruumis hхljuv vedelikutilk vхtta kera kuju, sest keral on kхige vдiksem pinna-ruumi suhe. Pindpinevust  iseloomustatakse tхmbejхuga pinna pikkusьhiku kohta, nii et piinajoonele mхjuv jхud

Pindpinevustegurit saab mддrata nдiteks katsest, mis on kujutatud Joonisel. Siin kaks pinda (ьlemine ja alumine) pььavad liikuvat raami tхmmata jхuga, mis on vхrdeline liikuva osa pikkusega. Kaudsemalt, kuid tдpsemalt saab pindpinevust mдarata nдiteks tilga suuruse vхi kapillaartхusu kaudu. Pindpinevus pхhjustabki tilkade, mullide ja vahu moodustumise. Mullide (nдit. seebimullide) puhul on siiki veel oluline, et kilet moodustav vedelik oleks piisavalt viskoosne ja ei voolaks kiiresti pindadevahelt дra. See mдarab mulli eluea. Puhta vee pindpinevus on 75 dn cm^-1 = 0.075 N m^-1, seebiveel on see aga ainult 0.045 N m^-1. Temperatuuri tхustes pindpinevus vдheneb ja teatud temperatuuril (nn. kriitilises punktis) jхuab nullini. See on seesama temperatuur, mille puhul gaasi kokkusurudes vedeliku pinda enam ei teki.

Kumera pinna all (nдiteks muuli sees) tekib lisarхhk, kuna mulli pind pььab vдheneda ja mulli kokku suruda. Selle lisarхhu suurus on

kus r on mulli raadius. Nдiteks 1 mm raadiusega хhumullis on lisarхhk

,

1 m raadiusega mullis aga juba 150 kPa, seega ьle kahekordse atmosfддrirхhu. Mulli tekkimine vedelikus on ддrmiselt raske kui alustada tuleb nanomeetrilisest mххdust, sest selleks oleks vaja enam kui tuhandekordset atmosfддrirхhku.

Kapillaarsus

Vedeliku pindpinevus on ka kapillaarsusnдhtuse aluseks. Ainult et siin tulevad lisaks vedelikumolekulide omavahelistele tхmbejхududel arvesse ka Van der Waalsi tхmbejхud vedeliku ja seda ьmbritseva tahke keha (nдit. toru seina) vahel. Kui vedelikumolekulide omavaheline tхmme on tunduvalt tugevam kui vedeliku ja seina vahel, siis niisugune vedelik on seina suhtes mittemдrgav. Vastupidi, kui vedelikumolekulide omavaheline tхmme on tunduvalt nхrgem kui vedeliku ja seina vahel, siis niisugune vedelik on seina suhtes mдrgav. Vahepealsed jхudude suhted tдhendavad osalist mдrgamist vхi mittemдrgamist.

Mдrgava vedeliku seinaддrsed molekulid liibuvad tugevasti seinale ja jдrgnevad molekulid liiguvad isegi seina mццda kхrgemale, mццdudes eelmistest soojusliikumise tхttu. Niiviisi ‘ronib’ vedelik seina mццda ьles ja tekib nхgus pind, nn. menisk. Tдieliku mдrgamise korral on meniski ьlaserva nurk vдga terav, praktiliselt on vedeliku pind seinaga paralleelne. Selle juhu jaoks on kerge arvutada vedeliku kapillaartхusu kхrgust peentes torudes.

Olgu kapillaariraadius r, seega ьmbermххt 2r. Ьles-suunatud kapillaarjхud on vхrdne ьmbermххdu pikkuse ja pidpinevuskoefitsiendi korrutisega:

Vedelik tхuseb seni kuni kapillaarjхud ja veesamba raskus tasakaalustavad teineteist:

,

kus r on vedeliku tihedus ja h kapillaartхusu kхrgus. Sellest vхrdusest avaldame h:

,

kus g on vedeliku ruumalaьhiku kaal ehk erikaal. Kasutades vee jaoks =0.075 N m^-1 arvutame vee kapillaartхusu kхrguse hдstimдrgavates taimede juhtkimpudes sхltuvalt toru raadiusest:

r (m) h (m) vastava kхrgusega taimed

10^-4 0.152 heintaimed

10^-5 1.52 pххsad

10^-6 15.2 puud

Seega, kui veevarustus toimuks ainult kapillaarjхudude toimel, peaks puudel veejuhtetorude (ksьleemitorude) raadius olema alla 1 m. Maailma kхrgeimate puude, sekvoiade kхrgus on 100 m ringis ja neil peaks ksьleemi lдbimххt olema 0.1 m suurusjдrgus. Tegelikult on ksьleemitorude raadius suurem, sest nii peente torude takistus oleks liiga suur, et vajalikus koguses vett juhtida (toru takistus viskoossele voolule suurenes pццrdvхrdeliselt raadiuse neljanda astmega, seega oleks see sekvoial 100⁵ = 10⁷ korda suurem kui rohttaimedel (ьhe toru kohta). Kuigi jдmedama tьve tхttu on puudel rohkem juht-torusid kui roht-taimedel, on nede pikkus suurem ja takistus ikkagi liiga suur. Kхrgete puude veevarustuse juurde tuleme allpool tagasi.

Vedelike auramine

Vedeliku pinnamolekulid moodustavad nagu kile, mis katab allasuvaid molekule. Kхik molekulid, nii pinnal kui sьgavuses, on aga soojusliikumises ja omavad Maxwelli kiiruste (Bolzmanni energiate) jaotust. Vastavalt sellele leidub ikka niisuguseid molekule, mille energia ьletab molekulide omavahelise seose energia, ja mis seetхttu suudavad end pinnast vдlja rebida gaasilisse faasi. Nii toimub vedeliku auramine. Auramisel lahkuvad kiiremad ja jддvad vedelikku alles aeglasemad molekulid, mistхttu vdeliku temperatuur langeb.

Aurumissoojust L mххdetakse soojushulgaga (energiaga), mida tuleb vedeliku massiьhikule juurde anda, et see tдielikult aurustada konstantsel temperatuuril. Aurumissoojus mooli kohta on seda suurem, mida suurem on molekulide seose-energia vedelikus. Nдiteks vee aurumissoojus 100°C juures on ???? kJ mol, 20°C juures aga ???, mis vдljendabki vee molekulidevaheliste sidemete energiat mooli kohta. Kхrgemal temperatuuril see kahaneb, sest intensiivsema soojusliikumise tхttu asuvad molekulid vedelikus keskmiselt ьksteisest kaugemal (vedelik on paisunud).

Kui vett aurustada vaakumis, siis kхik vдljunud molekulid lahkuvad jддdavalt ja vesi aurustub vдga kiiresti. Хhus vдljunud molekulid pхrkuvad хhu molkulidega ja difundeeruvad veepinnast eemale suhteliselt aeglaselt, kusjuures osa neist pidevalt pццrdub vette tagasi. Kui veepinna kohal on piiratud ruum, siis tдitub see vee molekulidega хhu molekulide vahel kuni tasakaaluseisundini, mil vette tagasipццrduvate ja sealt vдljuvate molekulide hulgad on vхrdsed. Niisuguses olekus on хhk (gaas) veeauruga kьllastatud, ja auru hulk gaasis enam ei suurene. Veeauru osahulka gaasis vдljendatakse tavaliselt tema osarхhuga (partsiaalrхhuga), mis on veeauru molekulide poolt seinale avaldatav rхhk. Protsentuaalselt moodustab osarхhk samasuure osa kogurхhust nagu veauru molekulid moodustavad kogu molekulide arvust. Veeauru partsiaalrхhk kasvab temperatuuri tхustes, sest kiiremate molekulide arv, mis suudavad pinnast vдljuda, suureneb. Teoreetiliselt peaks veeauru kьllastav partsiaalrхhk vдljenduma ka Bolzmanni faktori kaudu, kui molekulide suhte arv, mille energia ьletab seoseenergia vees. Kuna aga viimane kahaneb temperatuuri tхustes, siis on aururхhu kasv temperatuuriga veidi kiirem kui Bolzmanni faktor. Praktilisek kasutamiseks sobib nn. Magnuse valem:

Siin valemis rхhk on vдljendatud meteoroloogias kasutatavates millibaarides (mb), ьhikutes milles nomaalrхhk on 1013 mb, seega 1 mb = 100 Pa. Temperatuur aga on antud juba Celsiuse kraadides ja e aste on asendatud kьmne astmega. Nдiteks, temperatuuril 20°C annab see valem kьllastavaks veeauru rхhuks 23.36 mb, mis moodustab veidi ьle 2% normaalrхhust. Seega, toatemperatuuril ei saa хhus olla rohkem kui 2.3% kogu molekulide arvust veeauru molekulid. Siis цeldakse, et suhteline niiskus on 100%, kui veeauru rхhk on kьllastav. Suhtelise niiskuse protsent alla saja nдitab, kuivхrd on tegelik хhu niiskus vдiksem kьllastavast sellel temperatuuril. Nдiteks, suhteline niiskus R.H.=50% tдhendab, et 20°C juures on хhus veeauru partsiaalrхhk 11.68 mb ja 1.15% molekulidest on veeauru molekulid. Seesama suhteline niiskus kхrgemal temperatuuril tдhendab aga hoopis suuremat veeauru hulka, sest kьllastav niiskus kasvab temperatuuriga ja suhteline niiskus antakse selle suhtes. Temperatuuril 100°C annab valem suhteliseks veeauru rхhuks 1041 mb, mis on vхrdne atmosfддrirхhuga (vдik erinevus 1013st tuleb valemi ligikaudsusest, teoreetiliselt peaks tulemus olema 1013 mb). See tдhendab, et keemistemperatuuril saab kьllastava veeauru rхhk vхrdseks vдlisrхhuga. Keevas teekannus koosneb ‘хhk’ vee kohal 100% veeauru molekulidest.

Keemine on nдhtus, mis on tingitud vee aurustumisest kхikjalt, nii pinnalt kui sisemusest, sest kьllastava veeauru rхhk veidi ьletab vдlisrхhku, vдhemalt nii palju, et ka vedeliku poolt avaldadav rхhk ьletada. Siiski, vee sisemuses aurumullide moodustumine nхuab tegelikult tunduvalt suuremat rхhku kui vдlisrхhk, sest moodustuva mulli raadius vхib alguses olla vдga vдike ja mulli pinna poolt avaldatav lisarхhk olla kuni kahekordne atmosfддrirхhk (vt. eespool). Seetхttu on tдiesti puhta vee keemaminek takistatud (aurumine toimub ainult pinnalt) isegi temperatuuri tхusul tunduvalt ьle 100°C. Niisugust seisundit nimetatakse ьlekuumendatud seisundiks. Tarvitseb vaid vдikene tolmu vхi lisandiosakene vette sattuda, kui selle ьmber silmapilkselt moodustub mull, mis paisub vдga kiiresti ja vхib vee nхust vдlja paisata. Seetхttu tuleb vee keetmiseks ikka lisada kolvi pхhja mingeid kehi, mis tekitavad kunstlikke pindu, et neil saaksid mullid moodustuda. Ka vees lahustunud gaasid eralduvad temperatuuri tхustes mullidena ja moodustavad keemistsentreid.

Keemistemperatuur sхltub tugevasti vдlisrхhust. Mida madalam see on, seda madalamal temperatuuril saavutab veeauru kьllastav rхhk vдlisrхhu vддrtuse ja aurumine algab vee sees. Seetхttu kestab muna keetmine kхrgel mдe otsas kauem kui orus. Kui vдlisrхhk on 23 mb, siis algab keemine juba toatemperatuuril. Seda saab kergesti demonstreerida vaakumpumba kupli all vхi isegi tдites sьstla osaliselt veega ja siis kolbi kiiresti vдljapoole tхmmates. Kui rхhk on madalam kui 23 mb vхib isegi toatemperatuuril olev vesi olla ‘ьlekuumennud’, kui keemine ei saa alata mullitsentrite puudumise tхttu. Niisugune olukord tekib nдiteks kхrgete puude veejuhtesьsteemis.

Puude veevarustusest

Ьlal mдrkisime, et kхrgete puude latvadeni ei saa vesi tхusta ainult kapillaarsuse teel, sest vastavad kapillaarid oleksid liiga peened ja omaksid liiga suurt takistust, et transpiratsiooniks vajalikku veehulka lдbi lasta. Seetхttu mхnedel puudel tдidetakse talve jooksul tьhjunud juhetsьsteem kevadel juurte rхhuga, millel on osmoodne pдritolu. See on mahlavoolamise aeg: tьvesse tehtud august voolab mahl vдlja, jдrelikult on tьves suurem rхhk kui vдljas. Juurterхhu abil surutakse ksьleemitorud mahla tдis kuni lehepungadeni. Varsti aga mahla voolamine lakkab, mis tдhendab, et juurte osmoodne rхhk langeb ja ьlesurve tьves kaob. August ei voola enam mahla. Vastavalt peaks tьve ksьleemitorud nььd tьhjenema. Lehtedes on aga torustik vдga peen ja suudab kapillaarsuse abil hoida veesammast ьleval ka mitmekьmne meetri kхrgusel. Takistus ei ole siin probleemiks, sest iga ьksiku lehe transpiratsioon on aeglane, kapillaaride ьlipeen osa on aga suhteliselt lьhike. Nii jддbki suhteliselt jдmedate ksьleemitorude veesammas ‘rippuma’ lehtede peente kapillaaride kьlge. Loomulikult kujuneb niisuguses rippuvas veesambas alarхhk, venitus, mis peaks pхhjustama aurumullide tekke samba sees ja seega samba katkemise. Ksьleemitorudes on aga vesi vдga puhas ja ei sisalda mullitsentreid. Niisuguses ebastabiilses, ьlekuumenenud seisundis (madala rхhu tхttu peaks keema, kuid tsentrite puudusel ei kee) ongi puude ksьleemitorud kogu suve. Kui mingil pхhjusel veesammas mхnes ksьleemitorus siiski katkeb, siis see toru jдabki tьhjaks ja ei tдitu enne kui jдrgmisel kevadel mahlavoolamise ajal.

Veelgi keerulisem on olukord puudes, millel mahlavoolamist ei ole. Neis ei saa tьhjenenud ksьleemitoru enam kunagi uuesti tдita, vaid tuleb kasvatada uus toru, ja nii, et see kasvamise aegu oleks pidevalt veega tдidetud. Selleks tuleb alustada vдga tiheda kapillaaridevхrguga alast, milles vesi kapillaarsuse tхttu on kхrgele tхusnud, kuid takistuse tхttu ei saa seda juhtetoruna kasutada. Niisugused on nдiteks rakkude seinad. Kasutades eelmise aasta kasvuringi torustiku seinu algmaterjalina saab neid paisutada ja laiendada, samal ajal hoides veega tдidetuna. Niimoodi kasvab igal aastal uus ring juhtetorusid, olles kasvu kдigus pidevalt tugeva alarхhu all, venitades veesammast laiemaks. Seetхttu ongi puude ksьleemitorude seinad hдsti paksud, et vastu panna kхrgele vдlisrхhule sisemise alarхhu puhul.

Auramise praktilisi rakendusi

Vee ьlespumpamine kaevust. Siin on probleem sarnane puude veevarustusega, ainult torustik on jдme ja vesi ei ole vaba keemistsentritest. Ьlal asuva imeva pumbaga on vхimalik tekitada alarхhk ja veesammas torus tхuseb, kuid ainult kuni selle kхrguseni mil rхhk torus langeb kьllastava veeauru rхhuni antud temperatuuril (mхnikьmmend mb). Siis hakkab vesi kiiresti aurama ja toru kхrgem osa tдitub veeauruga, mitte vedela veega. Teoreetiliselt on seega imeva pumbaga vхimalik veesammast tхsta kuni rхhuni 1030-20 = 980 mb = umbes 9.8 m. Praktiliselt tццtavad imevad kaevupumbad umbes kuni 8 m sьgavuseni. Sьgavamatest kaevudest saab vett kдtte ainult pхhjapumbaga, mis asub kaevus sees. Seetхttu ongi kхigis puurkaevudes spetsiaalsed pumbad, mis lastakse mitmekьmne meetri sьgavusse kaevutorusse.

Elavhхbebaromeeter. See on sisuliselt samasugune toru nagu kevust vee vхtmiseks, ainult siin imetakse elavhхbedat ьlespoole. Sammas tхuseb, kuni rхhk samba kohal langeb elavhхbeda auru rхhuni (see on toatemperatuuril vдga madal ja ei tule parandina arvsse, seeega rхhk langeb kuni nullini). Vдlisrхhust sхltuvalt on sellega vхrdset rхhku avaldava elavhхbedasamba kхrgus erinev, mille jдrgi mххdetaksegi atmosfддrirхhku ja antakse see ьhikutes mmHg. Normaalrхhk on 760 mmHg.

Хhuniiskuse mххtmine, hьgromeeter. Selles mххduriistas kasutatakse valkkehade (juuste, naha) omadust imada хhust vett ja seejuures paisuda. Vдlisхhu niiskus on tasakaalus valguga ьhinenud veega ja valkkeha ruumala on seda suurem mida kхrgem on хhu niiskus. Juukse venimine kantakse kangsьsteemi abil ьle osutile. Niisugused hьgromeetrid nдitavad хhu suhtelist niiskust protsentides kьllastavast.

Kaste. Kastepunkt. Kaste tekib, kui хhu temperatuur langeb ja хhus sisalduv veeaur, mis kхrgemal temperatuuril veel ei olnud kьllastav, muutub madalamal temperatuuril kьllastavaks. Igale хhu absoluutsele veeauru sisaldusele (partsiaalrхhule) vastab kindel kaste tekkimise temperatuur, mida nimetatakse kastepunktiks. Kastepunkti kaudu saab хhu niiskust ka mххta, nдiteks jahutades peeglit kuni see tuhmub tekkivast kastest, mххtes seejuures peegli temperatuuri. Veeauru patsiaalrхhk leitakse kui kьllastav partsiaalrхhk kastepunkti temperatuuril.

Хhuniiskuse mххtmine, psьhromeeter. Aurav keha jahtub vee aurumissoojuse tхttu. Auramine on seda kiirem, mida kuivem on vдlisхhk. Seega, mдrg keha jahtub хhutemperatuurist seda rohkem allapoole, mida kuivem on хhk. Keha jahtudes aurumine vдheneb (aurumine on mддratud vee, mitte хhu temperatuuriga). Keha jahtudes hakkab ьmbritsev хhk seda soojendama soojusjuhtivuse tхttu. Teatud temperatuuril tekib tasakaal, kus aurumisest tingitud soojuskadu vхrdub хhust juurdetuleva soojusega. See, nn. mдrja termomeetri temperatuur, on хhutemperatuurist seda madalam, mida kuivem on хhk. Samal ajal sхltub see ka хhutemperatuurist endast. Kasutatakse tabeleid ja valemeid (psьhromeetri valemid), mis seovad mдrja termomeetri temperatuuri хhu suhtelise niiskusega vхi ka veeauru partsiaalrхhuga erinevatel хhutemperatuuridel. Meteoroloogias kasutatakse хhuniiskuse mххtmiseks Assmanni psьhromeetreid, mis koosnevad kahest termomeetrist, millest ьks on kaetud niisutatud batist-tahiga. Vedru- vхi elektriventilaatori abil kiirendatakse хhuvoolu ьle temomeetrite elevhхbereservuaaride, et nii auramine kui ka soojusvahetus vдlisхhuga mхlemad kiireneksid.

Soome saun. Soome saunas vхib хhu temperatuur olla kuni 120-130 °C, ometi on seal vхimalik mхnusalt viibida. Seda vхimaldab auravate kehade jahtumine vee aurumissoojuse tхttu. Kuumas ja kuivas хhus aurab vesi vдga kiiresti ja seetхttu aurav keha jahtub. Kui juba kord higistate, siis ei tundugi 110°C temperatuur enam nii kuumana, sest nii kuumas kuivas хhus on mдrja termomeetri temperatuur kusagil 40-50°C vahel. Kui aga leili vista, siis хhk niiskub ja otsekohe tundub kuumana, kuigi хhu temperatuur ei pruugigi seejuures tхusta.

Kьlmutusmasinad. Vedelike aurumissoojuse tдhtsamaid rakendusi on kьlmutusmasinais. Need masinad tццtavad sel pхhimхttel, et selles ruumiosas, mida soovitakse jahutada, lastakse mingil hдstiauruval vedelikul auruda. Aurumine toimub mingis kinnises nхus, mis on varustatud ribidega хhuga hea soojusvahetuse kindlustamiseks. See on nn. jahutusradiaator vхi aurusti. Aurumise kiirendamiseks pumbatakse gaasilist substantsi kiiresti eemale ja hoitakse aururхhk madalal. Pumba (kompressori) abil surutakse aur kokku ьhes teises nхus (kondensaatoris), kus ta kхrge rхhu tхttu veeldub ja veeldumisel eralduva kondensatsioonisoojuse tхttu ka kuumeneb. Ka see nхu on varustatud ribidega, et eralduvat soojust kiiresti хhule edasi anda ja tekkinud vedelik maha jahutada. Jahtunud vedelik lastakse peenikese dььsi kaudu voolata jдllegi aurustisse, kus on madal rхhk ja vedelik keema lдheb ning aurustub. Niisuguse tsьkli tulemusena neeldub pidevalt aurumissoojust aurustis ja eraldub kondensatsioonisoojust kondensaatoris. Kui aurusti on ьhes ja kondensaatorteises ruumiosas, siis pumbatakse soojust ьhest ruumist teise. Nii tццtabki soojuspump, aga ka iga tavaline kьmkapp. Kьlmkapis on aurustiks tavaliselt karbikujuline ххnsate seintega alumiiniumist karp, kus temperatuur on kхige madalam ja saab jддtistki hoida. Kondensaator aga asub kьlmkapi tagaseinal ja kujutab endast pikka metalltoru, mis on ьhendatud hulga peente vasktraatidega, et soojust vahetavat pinda suurendada. Kьmkapp pumpab soojust kapi seest vдljapoole. Kui kapi uks avada, siis tuba tervikuna soojeneb, sest kuigi aurumis- ja kondensatsioonisoojus teineteist tasakaalustavad, eraldub kompressorist ikkagi lisasoojust detailide hххrdumise tхttu. Kuni viimase ajani kasutati aurustuva ainena (soojuskandjana) freooni FH??. Kahjuks on see kerge atmosfддrirхhul gaasiline aine, mis хhku sattudes tхuseb stratosfддrikihtidesse ja kahjustab Maad ultraviolettkiirte eest varjavat osoonikihti. Seetхttu ei ole freooni kasutamine kьlmageneraatorites enam lubatud, vaid see on asendatud millega????.

Lahused, osmoos ja osmoodne rхhk

Lahused on molekulid segud. Lahuse kui segu moodustumise mдaravad lahusti ja lahustunud aine molekulide vahelised tхmbejхud. Kui need on tugevamad kui lahustuva aine molekulide eneste vahel, siis niisugune aine lahustub hдsti, vastupidisel juhul, kui tхmbejхud lahustuva aine ja lahusti molekulide vahel on vдikesed, lahustub aine halvasti. Vдga hea lahustuvusega vхivad kaasneda ruumala muutused, nдiteks on alkoholi vesilahuse ruumala on vдiksem kui komponentide ruumalad eraldi. See nдitab, et lahuses on alkoholi ja vee molekulid ьksteisele lдhemal kui alkoholi molekulid puhtas piirituses. Lahustumisega vхivad kaasneda ka energeetilised efektid. Seesama alkoholilahus soojenb vee ja piirituse segunemisel. Alkoholi molekulid satuvad vee molekulide tхmbesfддri ja lдhenevad vee molekulidele, sьsteemi potentsiaalne enrgia vдheneb, kineetiline (termiline) vastavalt suureneb. Naatriumkloriidi lahustumisel vees lahus aga jahtub tugevasti. Keedusoola NaCl kristallide ja jдд segu on kasutatud jддtise valmistamisel, sest see jahtub kuni –10°C. Lahustumisel soola kristallist eralduvad vaid kiiremini liikuvad aatomid. Vesilahuses on Na⁺ ja Cl^- ioonid ьksteisest polaarsete vee molekulide poolt moodustatud kestaga raldatud ja sьsteemi potentsiaalne enrgia on kхrgem kui NaCl kristallis. Samal ajal on aga tхmbejхud Na ja Cl ioonide ja polaarsete vee molekulide vahel kьllat tugev, et pхhjustada soola head lahustumist. Kui lahus on kьllalt lahja, nii et lahustunud aine molekulid ьksteist eriti sageli ei kohta ja nedevahelised jхud olulist rolli seega ei mдngi, vхib lahustunud ainet kujutleda kui gaasi, unustades seda ьmbritsevad vee molekulid. Missugune vхiks olla “kьllat madal” kontsentratsioon? Teame, et хhk kдitub kьllat lдhedaselt ideaalsele gaasile. Хhu kontsentratsioon on 1 mool 22.4 liitris ehk 44.6 millimooli liitris (44.6 mM). Tuhandekordsel ruumala vдhendamisel, seega kontsentratsioonil 44.6 M хhu molekulid sattusid pidevasse kokkupuutesse. See oleks ддrmus, mille puhul lahust kindlasti gaasina vaadelda ei saa. Praktiliselt ongi nii, et millimolaarsetes kontsentratsioonides oleme хigustatud lahustunud molekule vaatlema ideaalse gaasina, kuid molaarsele lдhenedes tekivad juba ьsna suured kхrvalekalded. Vastavalt saab ideaalse gaasi vхrrandit kasutada rakkude osmoodse rхhu hindamiseks, kui kontsentratsioonid ei ole vдga kхrged.

Rakkude ja organellide membraanid koosnevad lipiidide kaksikkihist, mis on veele lдbimatu ja ka elektrit (ioone) mittejuhtiv (hьgrofoobne, mittemдrgav). Vesi lдbib membraane selles olevate valk-kehade kaudu, mille sisestruktuur vхib olla hьgroskoopne (mдrgav). Mхned valgud on isegi spetsiaalselt mхeldud vee juhtimiseks (akvaporiinid), mхned aga juhivad ioone selektiivselt ja kontrollitult (ioonkanalid). Ьldkokkuvхttes vesi siiski lдbib rakumembraane kьllatki vabalt, kuid paljud ioonid (H⁺, K⁺, Na⁺, dissotsieerunud happejдagid) ja suuremad neutraalsed molekulid (monosahhariidid, disahhariidid) membraani ei lдbi. Seega, vee rхhud kahel pool membraani vхrdsustuvad, sest juhtival membraanil ei saa tekkida rхhkude erinevust, lahustunud molekulide (solventide) osarхhud aga ei vхrdsustu. Tulemusena jддb membraanile mхjuma rхhk, mis on mддratud solventide kontsentratsioonide vahega, olles suurem sealpool, kus konsentratsioon on suurem. Lдhtudes gaaside seadusest arvutame nдiteks, kui suur oleks ьhemolaarse lahuse osmoodne rхhk?

Ьhemolaarses lahuses on sovendi kontsentratsioon ьks mool liitris. Vaadeldes solventi gaasina see tдhendab, et ьhe mooli ruumala on ьks liiter. Normaalrхhul oleks ьhe mooli ruumala 22.4 liitrit. Rхhku tuleb suurendada 22.4 korda, et ruumala vдheneks ьhe liitrini. Seega, ьhemolaarne lahus avaldaks 22.4 kordset normaalrхhku. See arvutus on хige normaaltemperatuuril (0°C = 273K). Toatemperatuuril (293K) on see rхhk kхrgem suhtes 293/273=1.073 korda seega on see 24.04 kordne normaalrхhk. Ьlaltoodud arutlus ьhemolaarse lahuse kohta annab mхnevхrra ьlehinnatud rхhu, sest nii kontsentreeritud lahust ei saa enam vaadelda ideaalse gaasina. Madalamate kontsentratsioonide jaoks aga tuleb hinnagut lihtsalt kontsentratsiooniga proportsionaalselt vдhendada ja tulemus on seda tдpsem, mida madalam on kontsentratsioon. Nдiteks kui ьhes liitris lahuses on 34 g suhkrut on lahus 100 millimolaarne ja selle osmoodne rхhk oleks toatemperatuuril 2.4 kordne atmosfддrirхhk.

Osmoodne rхhk on rakkudes vдga tдhtis. Loomsetes rakkudes, millel puudub tugev raku sein, on osmoodse rхhu regulatsioon esmajдrgulise tдhtsusega. Juba mхneatmosfддriline ьlerхhk raku sisemuses, mis vastab 50-100 millimolaarsele solvendi kontsentratsioonile, vхib pхhjustada vee tungimise rakku ja seega rakkude venimise. Paistetus nдiteks on osmoregulatsiooni hдirituse tulemus. Raku ruumala piirava seina puudumisel nimelt jдtkub vee rakku sisenemine seni kuni solvendi kontsentratsioonid rakus ja vдljaspool seda vхrdsustuvad. Loomsetes kudeds reguleeritakse osmoodset rхhku solvendi kontsentratsiooni abil rakkudevahelises koevedelikus. Solvendi kontsentratsioonid kahel pool rakumembraani vхrdsustatakse vхi hoitakse nede vahel ainult vдike erinevus, nii et vee tungimine rakkudesse oleks kontrolli all.

Taimsete rakkude erinevuseks on nende tugev rakusein, mis koosneb tselluloosist ja pektiinsetest ьhenditest. Ka on taimedes rakkudevahelise ruumi vedelikus solvendi kontsentratsioon ьsna madal. Rakusein ei luba rakul suuremaks venida, vaatamata sellele, et osmoodne rхhk raku sees on suurem kui vдljaspool. Rakk pingestub rхhu all nii nagu хhku tдispuhutud paberikott. Sellist taimerakkude siserхhku nimetatakse turgoriks ja see hoiab lehti ja sageli ka varsi kokku kukkumast. Veekao vхi osmoodse rхhu languse tхttu turgori kaotanud taimede lehed langevad kokku, “nдrtsivad”. Turgorrхhk vхib ulatuda 10-20 atmosfддrini, mis vastab kuni ьhemolaarsele solvendi kontsentratsioonile. Soolastes muldades kasvavates taimedes vхib see veel kuni kaks korda suurem olla. Peamine ‘osmootikum’, molekulid, mis aitavad osmoodset rхhku luua, on kaaliumi ioonid ja orgaaniliste hapete jддgid (nдit. хunhape). Vдga kхrgetel solvendi kontsentratsioonidel hakkab kaasa tццtama ka valkudega seonduv vesi, mis pхhjustab nдit kuivade herneste pundumist vees. Seda rхhku mхnikord mхtteliselt eraldatakse ja nimetatakse rхhu maatrikskomponendiks.

Aururхhk kapillaaris ja lahuse kohal

Kьllastav aururхhk vedeliku pinna kohal on tasakaaluline seisund veest vдljuvate ja difusiooni tхttu sinna tadgasilangevate molekulide voogude vahel. Kui vдljumise kiirus sхltub ainult temperatuurist, siis tagasidiffusiooni kiirus sхltub ka pinna kujust. Nхgus veepind ьmbritseb ruumi kogu alumisest poolsfддris ja see suurendab tagasidiffusiooni tхenдosust. Efekt on siiski vдike kuni pinna kхverusraadius on palju suurem molekuli vaba tee pikkusest, kui suureneb kiiresti pinna kхverusraadiuse vдhenedes. Vдga vдike kхverusraadius peab aga olema vee pinnal kхrgete puude lehtedes olevates kapillaarides, mis hoiavad veesammast kuni mitmekьmne meetri kхrgusel. Seega on oodata, et veeauru kьllastav rхhk puulehtede rakkude vahelises ruumis on madalam kui kьllastav aururхhk tasapinnalise vee kohal. Kapillaaride kohal oleva aururхhu arvutamiseks saab rakendada lihtsat energeetilist tingimust: aururхhk on just niipalju madalam kuipalju kaaluks niisama kхrge tasapinna kohal kьllastav veeauru sammas:

kus p_w on aururхhk tasapinnalise vee kohal ja p’_w on tegelik aururхhk _w on kьllastava veeauru tihedus. Asendades sambakхrguse h kapillaartхusu valemist saame

kus r tдhistab vedela vee tihedust. Valem sisaldab veeauru tihedust, mis tuleb leida veeauru rхhust kasutades gaaside seadust. Teame, et kui kogu gaas oleks veeaur, siis ьhe mooli ruumala rхhul p ja temperatuuril T oleks

(unustame hetkeks, et veeaur ei ole ideaalne gaas ja toatemperatuuril ei saa kogu atmosfдar koosneda veeaurust). Kui kogu atmosfдar koosneks veeaurust, siis tema tihedus oleks

Siiski, mitte kogu atmosfддr ei koosne veeaurust, vaid see osa, mis on mддratud veeauru partsiaalrхhu ja kogurхhu suhtega (veeaur on atmosfддris nii hхredalt, et vхime teda ikkagi vaadelda ideaalse gaasina). Seega on veeauru tegelik tihedus

Aururхhk langeb mitte ainult nхgusa pinna (kapillaarse meniski) kohal, vaid on madalam ka lahuse tasapinna kohal vхrreldes puhta veega. Suhe on siin lihtne: aururхhk langeb suhteliselt niisama palju kui palju on lahuses vee molekule suhteliselt vдhem kui puhtas vees:

,

kus p/p on veeauru rхhu suhteline langus, n’ on lahustunud ja n lahusti molekulide arv ruumalaьhikus. Uhemolaarses vesilahuses on ьhes liitris Na lahustunud aine molekuli ja ьmmarguselt 1000/18=55.6Na lahusti molekuli. Seega ьhemolaarse lahuse kohal on aururхhu suhteline langus

Madalamal kontsentratsioonil on aururхhu langus proportsionaalselt vдiksem.

Lahustunud aine kontsentratsiooni suurenedes langeb mitte ainult aururхhk vaid ka lahuse kьlmumistemperatuur. Ka siin on mхju suhteliselt vдike, ligikaudselt

kus C on lahuse molaarne kontsentratsioon. Kui lahustunud aine dissotsieerub, siis tuleb osakeste arvuks lugeda mхlemad komponendid summana.

TAHKISED

Tahkised ehk tahked kehad on niisugused, mis omavad kindlat kuju ja seega ei voola. Siiski, ьleminek voolava ja mittevoolava seisundi vahel on pidev ja mхned kehad siiski voolavad, kuigi vдga aeglaselt. Niisuguseid vedlikulaadseid tahkiseid nimetatakse ka amorfseteks kehadeks, sest neil ei ole kristallstruktuuri ja nende kuju on siiski aeglaselt muutuv. Tььpilisteks nдideteks vхiks tuua pigi (asfalti) ja klaasi, samuti paljud polьmeerid. Tхelised tahkised on seega kristallilise struktuuriga, mis tдhendab, et nende omadused (nдiteks tugevus vхi valguse murdumine) sхltuvad suunast, nad on anisotroopsed. Enamik kristallilisi tahkiseid on vдga vдikeste kristallidega, nii et murdepinnal ei pruugi kristallid alati nдha ollla (metallid).

Kristallis on aatomid seotud valents-sidemetega, moodustades seega nagu hiiglaslikke molekule. Sidemed vхivad olla kovalentsed vхi ioon-sidemed, nii nagu molekulidegi puhul. Tььpiline ioonkristalli nдide on keedusool, aga ka teised leeleismetallide soolad (kuupvхre). Ьhesugustest aatomitest moodustuvad kristallid kovalentsete sidemete abil. Nдiteks toome teemanti, milles sьsiniku sp⁴ hьbridiseerunud orbitaalid on seostunud naabersьsiniku orbitaalidega.

Kristallilised ained on elastsed. See tдhendab, et kui neile rakendada jхudu, siis aatomid veidi nihkuvad oma tavalistelt, stabiilsetelt asukohtadelt, kuid pььavad siiski stabiilsesse seisundisse tagasi pццrduda. Makroskoopiliselt vдljendub see keha (nдiteks metallvedru) paindumises. Paindumisel vedru ьks pool surutakse kokku, teine aga venitatakse vдlja. Deformatsiooni suurus (nihke suurus) on vхrdeline rakendatava jхuga ja vastupidi, vedru poolt avaldatav jхud on vхrdeline kokkusurumise (venituse) suurusega. Kui deformatsioon ьletab teatava piirsuuruse, siis toimuvad kristallide tasapindade omavahelised nihked ja aatomid ei naase enam endistesse asukohtadesse, vaid moodustavad sidemed teiste naabritega. Niisugune deformatsioon on jддv ehk plastiline deformatsioon. Mхned metallid, nagu seatina, on vдhe-elastsed ja alluvad kergesti plastilisele deformatsioonile, teised, nagu teras, on vдga elastsed ja vхivad plastiliselt ьldse mitte deformeeruda, ennem murdudes.

Aatomite soojusliikumine on tahkistes ikka sellesama energiaga nagu gaasides ja vedelikes, 1/2RT vabadusastme kohta. Vabadusastmete arv on aga kristallilises kehas ьsna keeruliselt mддratav suurus ja seetхttu on tahkiste mool-soojusmahtuvus (soojushulk, mis kulub ьhe mooli aine temperatuuri tхstmiseks ьhe kraadi vхrra) raskesti ennustatav. Kindel on, et peaaegu ainuke liikumisvorm on vхnkumine. Kхik aatomid vхnguvad, kord lдhenedes kord kaugenedes, mingi keskmise kauguse ьmber. Temperatuuri tхustes vхnke-energia, seega vхnke-amplituud, suureneb. Amplituud saab aga suureneda pхhiliselt sel viisil, et maksimaalne kaugus suureneb, samal ajal kui minimaalne kaugus palju ei vдhene. See tдhendab, et aatomitevaheline keskmine kaugus suureneb. Makroskoopiliselt vдljendub selles tahkiste soojuspaisumine: temperatuuri tхustes tahke keha mххdud suurenevad. Soojuspaisumine on suhteliselt vдike, protsendi murdosa kraadi kohta, kuid muutub oluliseks kui temperatuur tхuseb palju. Nдiteks, klaasnхud vхivad puruneda, kui neid kuumutada ebaьhtlaselt, nii et mхni koht paisub rohkem ja mхni vдhem.

Tahkumine ja sulamine

Vedeliku tahkumine tдhendab aatomite (molekulide) vaheliste sidemet tugevnemist sedavхrd, et aatomite asukohad ьksteise suhtes fikseeruvad. Eriti selge on see krsistallstruktuuri moodustumisel, kus aatomid (molekulid) asuvad kindlatele kaugustele ja kindlates suundades. Kristalli moodustumisel tekivad uued sidemed, mis vedelikus ei olnud aktiivsed, millel on kindel pikkus ja suund. Nende sidemete moodustumisel aatomid ьldiselt veelgi lдhenevad teineteisele ja vabaneb sidemete moodustumise energia (aatomite lдhenemisel vabaneb tхmbejхudude potentsiaalne energia). Seega, tavaliselt on tahkes olekus aine ruumala vдiksem kui vedelas ja tahkumisel vabaneb teatud hulk energiat, sarnaselt, nagu energiat vabanes auru (gaasi) kondenseerumisel vedelikuks. Tahkise sulamisel aga vastupidi, neeldub energiat, et lхhkuda kristalli-sidemeid. Niisuguse tahkumis/sulamissoojuse olemasolu on hдsti nдhtav tahkete kehade soojendamisel kindla vхimsusega, nдiteks kьttes neid kindla voolutugevuse ja pingega elektrienergia abil (vхimsus = pinge x voolutugevus). Tahke olekus sojeneb keha mingi kiirusega, mis iseloomustab keha soojusmahtuvust, seega molekulide vabadusastmete arvu tahkes olekus. Sulamistemperatuuri saabudes temperatuuri edasine tхus lakkab ja sama temperatuuri juures hakkab suurenema vedeliku hulk ja vдhenema tahkise hulk. Sulamistemperatuuril kogu juurdeantud soojusenergia kulub kristalli-sidemete lхhkumiseks, keha temperatuur ei tхuse. Niisugune konstantsel temperatuuril sulamine on iseloomulik just kristallilistele, tхelistele tahkistele. Amorfsed tahkised, mis tegelikult on vдga viskoossed vedelikud, pehmenevad ja muutuvad voolavaks aeglaselt ьle laia temperatuurivahemiku, kusjuures ekstra sulamis-soojust on nende puhul peaaegu vхimatu mдrgata: temperatuur tхuseb ьhtlase kiirusega kui juurdeantav vхimsus on konstantne.

Sulamissoojust saabki mдarata soojushulga jдrgi, mis tuleb konstantsel temperatuuril lisada, et kogu tahkis sulatada. Jдд sulamissoojus on 80 kcal kg^-1 (1.44 kcal mol^-1 = 6.02 kJ mol^-1), mis on tunduvalt vдhem kui vee aurumissoojus (550 kcal kg^-1 = 9.9 kcal mol^-1 = 41.4 kJ mol^-1). Jдд sulamissoojus on tahkiste hulgas ьks suuremaid, nдiteks elavhхbedal on see ainult 2.75 kcal kg^-1. Isegi arvestades, et elavhхbeda aatomkaal on 80, tuleb tema mool-sulamissoojuseks 220 cal mol^-1 , mis on siiski 6.5 korda vдiksem kui veel. See vahe on pхhjustatud suhteliselt tugevatest sidemetest, mis jддkristallis molekule koos hoiavad.

Peale suhteliselt suure sulamissoojuse on veel veel teisigi omapдrasid. Enamik vedelikke rхhu suurenedes tahkestuvad, eriti kui temperatuur on tahketumistemperatuuri lдhedal. Jдд aga vastupidi, sulab rхhu suurenedes. See tuleb anomaalsest ruumalamuutusest tahkestumisel: nimelt vee ruumala tahkestudes suureneb, vastupidiselt enamusele ainetele (niisamasugused erandid on veel vismut ja antimon. Null kraadi juures on jдд ruumala umbes 9% suurem kui vee ruumala. See pхhjustabki, et rхhu suurenedes kьlmumistдpp langeb umbes 1° 130 atm kohta. Uisutaldade all vхib rхhk ulatuda kuni 80 kG/(0.2 cm x 10 cm)=40 kG/cm^-2. Null kraadi lдhedal aitab see jддd sulatada ja muudab sхidu libedamaks, lisaks hххrdumisel tekkivale soojusele, mis ka jддd sulatab.

Sulamistemperatuur sхltub ka kristallvхre puhtusest. Lisandid langetavad sulamistemperatuuri, seetхttu on metallide sulamite sulamistemperatuur tavaliselt madalam kui puhastel komponentidel. Nдiteks seatina ja inglistina segu, mida kasutatakse jootmisel, sulab palju madalamal temperatuuril kui komponendid eraldi vхetuna.

Vee omapдrad

Kuna vesi/jдд on bioloogiliselt tдhtsaim keskkond, peatume sellel eraldi. Nagu цeldud, on jдд sulamissoojus tunduvalt suurem kui nдiteks metallidel, mis nдitab kristallsideme suhtelist tugevust. Teiseks, jддkristall on suurem kui sama mass vett, mis nдitab, et jддd moodustavad sidemed on pikemad kui vett koos hoidvad sidemed. Vahe pole kьll suur, kuupjuur 1.09 = 1.03 ehk kolm protsenti, kuid bioloogiliselt on see absoluutselt oluline. Kui jдд oleks vest raskem ja vajuks pхhja, kьlmuksid veekogud pхhjani ja talvine vee-elu oleks vхimatu vхi vдhemalt nхuaks veelgi radikaalsemaid kohastumisi.

Teame, et vees hoiavad molekule lдhestikku Van der Waalsi orientatsioonijхud, mis pхhinevad vee molekulide polaarsusel. Ilmselt moodustuvad jддs uued sidemed, mis hoiavad molekule veelgi kхvemini koos, kuid seejuures tхukavad nad omavahel kaugemale kui nad on vees. Ilmselt peavad niisugused sidemed olema valents-iseloomuga, sest neil sidemetel on nii kindel suund kui ka kindel pikkus. Need ongi meile juba tuntud vesiniksidemed, ehk doonor-aktseptorsidemed, mis moodustuvad vee hapniku vaba elektronpaari abil mхne teise molekuli vesinikuaatomi tьhja orbitaaliga, millelt elektron on ajutiselt lahkunud hapniku elektronegatiivsuse tхttu. Kokku vхib ьks vee molekul olla seotud teistega kuni nelja vesiniksideme kaudu. Kaks nendest moodustavad tema enese hapniku kaks elektronpaari (hьbridiseerunud 2s- ja 2p-paarid), kaks aga on doneerinud teiste molekulide hapnikud esimese molekuli vesinikele. Huvitav on seejuures see, et kхik vesiniksidemed ei ole ьhepikkused, vaid sхltuvad suunast kristallvхres (2.76 ja 1.77 A, sхltuvalt suunast). Niisugused mitmekordsed sidemed kхigi molekulide vahel hoiavadki jдд kristallstruktuuri.

Jдд sulamisel vesiniksidemed katkevad, selleks vajalik energia ongi sulamissoojus. Ometi ei katke 0°C juures kohe kхik vesiniksidemeid vaid vees sдilivad veel suhteliselt suured, mхne kuni mхnekьmne molekuli suurused klasterid (mikrokristallid). Samal ajal ei ole need klasterid permanentsed vaid pidevalt ьmberorganiseeruvad, ьhtede sidemete katkedes ja teiste tekkides. Nende jдд-sarnaste klasterite olemasolu tхttu ei ole vee ruumala minimaalne 0° juures, vaid temperatuuri tхustes kahaneb, sest klasterite arv ja ruumala vдhenevad. Ruumala saavutab miinimumi (tihedus maksimumi) 4°C juures. Sel temperatuuril ei ole klasterid mitte tдielikult kadunud, vaid on saabunud tasakaal kahe protsessi vahel, millest esimene on ruumala vдhenemine vesiniksidemete arvu vдhenemise tхttu, teine aga ruumala suurenemine molekulide vхnkeliikumise amplituudi suurenemise tхttu. Kхrgematel temperatuuridel kui 4°C on ruumala suurenemine ьlekaalus, kuidi vesiniksidemeid sдilib kuni keemistemperatuurini.

Isolaatorid ja elektrijuhid.

Osa tahkeid aineid ei juhi elektrit. See tдhendab, et elektronid on aatomitega (molekulidega) seotud ja ei ole vхimelised ьhelt aatomilt teisele liikuma. See kehtib ka kristallilise struktuuriga isolaatorite kohta, nagu nдiteks teemant.

Metallides on aatomid moodustanud kristallstruktuuri tavaliselt koordinatsioonisidemete abil, samal ajal kui viimase kihi valentselektronid on selleks kasutamata. Need elektronid vхivad ema-aatomist lahkuda ja moodustada kristallvхres ьhise elektronpilve, nn. elektrongaasi. Elektrongaasi olemasolu nдiteks suurendab metallide soojusmahtuvust (lisaenergia 3/2RT kulub elektrongaasi soojendamiseks). Tдhtsam aga on, et elektrongaas pхhjustab metallide kьllaltki hea elektrijuhtivuse. Vastasmхju elektronide ja kristallvхre vahel pхhjustab aga elektritakistuse olemasolu. Vдga madalatel temperatuuridel (absoluutse nulli lдhedal) ulatub iga elektroni lainefunktsioon lдbi kogu metalli ruumala ja vastasmхju kristallvхrega kaob. Niisugune seisund on ьlijuhtivus. Elektrisignaal levib lдbi metalljuhtme valguse kiirusega, nii kiiresti nagu ьhest otsast juurdetulnud elektronide elektrivдli levib. Samal ajal ei liigu elektronid ise mitte nii kiiresti. Nдiteks voolutugevusel ьks amper liigub lдbi juhtme laeng ьks kulon sekundis. Ьks kulon on 96500 korda vдiksem kui Avogadro arv, seega liigub lдbi juhtme ristlхike sekundis 1/96500 mooli elektrone. Kui vaskjuhtme diameeter on 2 mm, siis ьks mool vaske (63.5g) moodustab juhtme pikkuse 254 cm. Teades, et sekundis lдbib juhet 1/96500 mooli elektrone, leiame, et need liiguvad edasi pikkuse 254/96500 = 0.0026 cm = 0.026 mm vхrra sekundis.

BIOENRGEETIKA ALUSED

Rakkude energiaallikaks on elektronide liikumine molekulidelt, millel orbitaalid on kхrgema energiaga (tuumadest kaugemal) molekulidele, millel orbitaalid on madalama energiaga (tuumadele lдhemal). Elektroni ьlekandereaktsioone nimetatakse redoks-reaktsioonideks ja need on organismi primaarseks energia-allikaks. Redoks-reaktsioonides vabanev energia muutub osaliselt soojuseks, osaliselt aga salvestatakse teises bioloogilises energiakandjas, ATPs.

Adenosiin-trifosfaadi (ATP) molekulis on kolm ortofosfaadirьhma jдrjestikku ьhendatud hapniku molekuli kaudu. Dissotsieerunud OH rьhmad ja reastikku paigutud hapniku aatomid moodustavad rea ligistikku asetsevaid negatiivseid laenguid, mis tхukuvad, kuid ei saa kaugeneda hapniku-sideme tхttu. ATP molekul on energeetiliselt sarnane vedru-pьssiga, mille vedru on kokku surutud (negatiivsed laengud ligistikku surutud) ja siis triklisse kinni pandud (O-sillaga seotud). Tarvitseb vaid trikkel pддsta (O-sild hьdrolььsida), kui pьssikuul (kolmas fosfaatrьhm) lendab suure kiirusega eemale. Selle nдite alusel on kerge mхista, et ATP energia aluseks on kokkusurutud tхukejхud, samal ajal kui redoks energia aluseks on lahkutхmmatud tхmbejхud. Redoks-energia on aga primaarne ja ATP-energia genereeritakse redoks-energia arvel. Seda ei tehta mitte otse, sest elektronid ei saa ATP sьnteesi ensььmi kдivitada, vaid vahepealse energiakandja, prootonite (vesinik-ioonide) abiga. Redoks-energia vabanedes transformeeritakse osa sellest prootonite energiaks, mille abiga lхpuks sьnteesitakse ATP.

Prootonite energia seisneb selles, et nende kontsentratsioon ьhel pool biomembraani on suurem kui teisel pool. Kuna biomembraan on lipiidne kasik-kiht, mis ei luba ioone lдbi liikuda, siis on vхimalik prootonite kontsentratsiooni suurendada ьhel pool membraani ja vдhendada seda teisel pool membraani. Vastavad valgukompleksid, mis tццtavad prootonpumpadena kui neid lдbib redoks-reaktsiooni elektronvoog, on tuntud nii kloroplastides kui mitokondrites. Tulemusena kogunevad prootonid ьhele poole membraani tunduvalt suurema kontsentratsioonis kui teisele poole. Kloroplastides pumbatakse prootonid tьlakoidi (membraanist kotikesetaolise moodustise) sisemusse, mitokondrites aga seest vдlja, tsьtoplasmat ja mitokondrit eraldavate kahekordsete membraanide vahele.

Elektrivдlja energia membraanil

Kui prootonid liiguvad lдbi membraani, siis tekib membraanil otsekohe elektripotentsiaalide vahe, potentsiaal on positiivsem sealpool, kus prootoneid on rohkem. Mitokondri membraanil vхib potentsiaalide vahe ulatuda kuni 0.15 V. Juhul, kui membraanis on kanalid, mille kaudu prootonid saavad tagasi kiikuda, siis vabaneb energiat, nagu elektrivoolu puhul ikka. Tuletame meelde elektri pхhisuurused ja seosed.

Elektrilaengu ьhikuks on Kulon (lьhend C, prantsuse teadlase nimest Coulomb), mis vхrdub ??? prootoni (vхi elektroni) laenguga.

Voolutugevus on suurus, mida mххdetakse elektrijuhet ajaьhikus lдbinud laenguьhikute arvuga. Voolutugevuse ьhikuks on Amper (lьhend A, prantsuse teadlase nimest Ampere). Voolutugevus on ьks A, kui juhet lдbib ьks C s^-1. Tegelikult kulon defineeritaksegi voolutugevuse kaudu. Kui kahte ьhe meetri kaugusel asuvat paralleelset juhet lдbib vool 1 A, siis mхjub nende vahel magnetjхud 1 N.

Elektrivдlja kahe punkti potentsiaalide vahet (rahvakeeles “pinget”) mххdetakse tццga, mida tuleb teha, et ьhikulist laengut viia ьhest vдlja punktist teise. Tццd tehakse siin elektrivдlja jхu vastu.

Potentsiaalide vahe ьhik on Volt (lьhend V, itaalia teadlase nimest Volta). Elektrivдlja kahe punkti potentsiaalide vahe on ьks V, kui laengu 1 C viimisel ьhest punktist teise tehakse tццd 1 J. Nдiteks meie elektrivхrgus on kahe juhtme potentsiaalide vahe 220 V, galvaani elemendis on see 1.5V, auto seatina-akus 2V.

Nendest definitsioonidest on selge, et laengu ьks C liikumisel lдbi mitokondri membraani tehakse tццd 0.15 J, kui potentsiaalide vahe ьhel ja teisel pool membraani (lьhidalt ka ‘membraanpotentsiaal’) on 0.15 V.

Laengu ьhik C tuletati elektrivoolu magnetjхu kaudu, sidudes selle mehaanikas defineeritud jхu ьhikuga. Sellest tulenevalt osutus tдiesti juhuslikult, et ьhes Kulonis on ???? prootonit (vхi elektroni). Keemias aga kasutatakse molekulide hulga mххtmiseks suurust mool, mis sisaldab Avogadro arvu (N_a = 6.02 10²³ ) molekuli. Neid arve vхrreldes leiame, et ьks mool prootoneid kannab laengut 96500 kulonit. Seega, kui ьks mool prootoneid lдbib elektrivдlja potentsiaalide vahe 1 V, siis tehakse tццd 96500 J mol^-1 = 96.5 kJ mol^-1. Seda arvu nimetatakse Faraday arvuks (lьhend F, inglise teadlase nimest). Membraanpotentsiaalide vahe puhul 0.15 V on vastav tцц 14.5 kJ mol^-1 . Niiviisi arvutamegi membraanpotentsiaali energiat (tццd) membraani lдbivate prootonite mooli kohta:

kus E_e tдhistab membraani energia elektrilist komponenti,  on membraanpotentsiaal (V), F on Faraday arv ja n tдhistab ionisatsiooniastet. Viimane tegur on juurde toodud selleks, et valem oleks хige ka ioonide jaoks, mis kannavad kahte vхi enamat laengut ja mille jaoks n= 2 vхi enam. Prootoni jaoks n = 1.

Mхnedes membraanides (nдiteks tьlakoidides kloroplastis) on ioone juhtivad kanalid, mis lasevad lдbi Mg²⁺ ioone kuid ei lase lдbi prootoneid. Prootonite transportimisel tekkiv membraanpotentsiaali vahe sunnib siis Mg ioone likuma vastassuunas lдbi nende kanalite, iga kahe prootoni vastu ьks Mg²⁺ ioon. Niiviisi tasakaalustatakse prootonite elektrivдli samanimeliste ioonidega teisel pool membraani ja membraanil ei tekigi suurt potentsiaalide vahet (umbes 10 mV siiski jддb, mis tхukab Mg ioone). Niisugusel membraanil elektrivдljast tingitud energia praktiliselt puudub, kuid seevastu prootonite kontsentratsioonide vahe vхib kasvada vдga suureks, sest puudub vastutццtav elektrijхud. Ka molekulide (ioonide) kontsentratsioonide vahe membraaniga lahutatud ruumiosades sisaldab energiat, sest difusiooni tхttu pььavad molekulid kхrgema kontsentratsiooniga ruumiosast madalama kontsentratsiooniga ruumiosasse liikuda.

Kontsentratsioonide erinevuse energia

Selleks, et koguda prootoneid ьhele poole membraani tuleb ilmselt teha tццd. Vastupidi, kui kontsentratsioonide erinevus on olemas, siis see on vхimeline tццd tegema. Tuletame valemi kontsentratsioonide erinevuse potentsiaalse energia arvutamiseks.

Kujutleme, nagu osmoosi puhulgi, et prootonid on gaas, mis on erineva tihedusega ьhel ja teisel pool membraani. Vхtame lihtsustuseks suure mudeli, kus kummalgi pool membraani on ьks mool prootongaasi, kuid erineva tihedusega. Kontsentratsioonide (tiheduste) erinevuse potentsiaalne enrgia on niisama suur kui suur on tцц, mida tuleb teha, et see erinevus kaotada, nдiteks surudes hхredamat gaasi kokku (tehes vдlist tццd) vхi lastes tihedamat gaasi paisuda (lastes gaasil tццd teha). Gaasi kokkusurumise tццd saab aga arvutada kui rхhu ja ruumala muutuse korrutist. Kahjuks aga ei jдд rхhk ruumala muutudes konstantseks vaid suureneb ruumala vдhenedes. Seega tuleb rхhk avaldada ruumala funktsioonina gaaside vхrrandist ja siis tцц arvutada integraalina.

Elelentaartцц

Arvutame rхhu:

ja asendame tцц valemisse

Tцц, mille teeme surudes gaasi kokku ruumalalt V₁ ruumalale V₂ leiame integraalina

Arvestades, et

saame

kus C tдhistab juba lahustunud aine (prootonite) kontsentratsioone.

Seega on kontsentratsioonide erinevusest tingitud tцц ьhe mooli kohta mддratud kontsentratsioonide suhtega, mitte nende vahega. Kui membraanil on nii kontsentratsioonide erinevus kui ka potentsiaalide erinevus, on summarne energia

Fььsika: sissejuhatus.

Fььsika on teadus kehade vastasmхjudest ja nendest pхhjustatud liikumistest. Kehade vastasmхju avaldub jхuvдljana.

“Keha” tunneme sellest, et tal on olemas mass, mis vдljendub likumise inertsi ja gravitatsioonina. Kehal vхib olla ka elektrilaeng, mis vдljendub vastasmхjus teise laetud kehaga elektrivдlja kaudu. Kхige elementaarsemad kehad on nдiteks elektron ja prooton, mis moodustavad aatomid. Aatomitest moodustuvad molekulid. Suuremad kehad koosnevad omavahel seotud paljudest aatomitest vхi molekulidest. Paljuaatomilised kehad vхivad olla tahked, vedelad vхi gaasilised, sхltuvalt jхudude tugevusest, mis aatomeid (molekule) seovad. Kehad mхjutavad ьksteis kaugelt, jхuvдljade kaudu.

Keha “jхuvдli” on kхikjal tema ьmber ruumis, kuni lхpmatu kaugele. Jхuvдljas asuvale teisele kehale mхjub jхud, aga samuti mхjub jхud teise keha jхuvдljas asuvale esimesele kehale. Nii mхjutavadki kehad ьksteist kaugelt jхuvдljade kaudu. Kaugmхju vдljade kaudu on ainus kehade vastastikune mхju looduses. Gravitatsiooniline kaugmхju on silmaga nдhtav universumi ehituses, elektromagnetiline kaugmхju aga domineerib aatomite ja molekulide vahel, sealhulgas ka siis, kui kehad “silmnдhtavalt” kokku puutuvad. Niisugust nдhtust nagu “kokkupuutumine” ei ole olemas. Kehad ei puutu kunagi tegelikult kokku, maksimaalses lдheduses aatomite vдlised elektronkihid satuvad lдhestikku ja negatiivsed laengud tхukuvad ьksteise jхuvдljas, takistades kehade edasist lдhenemist. Kui jдtame kхrvale tuumasisesed jхud, siis need kaks, gravitatsiooniline ja elektromagnetiline, ongi ainsamad jхud, mis mддravad aatomite ja molekulide paigutuse kehades ja kehade paigutuse kosmilises ruumis, seega kogu looduse ehituse.

Kдesolevas kursuses pььamegi muuta loodust mхistetavamaks tema atomaarse-molekulaarse struktuuri kaudu. Kogu looduse struktuur alates aatomitest ja lхpetades universumiga, kaasa arvatud eluslooduse struktuur, saab mхistetavaks kui tunneme fььsikaseadusi, mis mддravad kehade vхimaliku asendi ьksteise jхuvдljades. Suhteliselt vдike arv pхhilisi fььsikaseadusi mддrab elektronide paigutuse aatomis, aatomite paigutuse molekulis, molekulide paigutuse kehas. Selge, et elementaarkehade arvu suurenedes nende vastastikune mхju muutub vдga keeruliseks ja seda analььsida ei ole lihtne. Fььsika on vхimeline detailselt kirjeldama vaid suhteliselt lihtsaid struktuure, keerukamate puhul tuleb rakendada loogilise ekstrapolatsiooni meetodit, pььdes ette kujutada, kuidas lihtsaid struktuure valitsevad seadused kombineeruvad keerukamates struktuurides. See ongi mхttetegevus, mхtlemine, mida ootan bioloogidelt kui nad asuvad rakendama kдesolevas kursuses omandatut oma erialal.

Fььsikat peetakse tavaliselt matemaatiliseks teaduseks, mis tihtipeale pхhjustab hirmu. See ei ole aga nii. Matemaatiline on vaid ьks teadus – matemaatika. Loodusteadusi, kaasa-arvatud fььsikat, on vхimalik, isegi ainuvхimalik, mхista ilma matemaatikat rakendamata. Matemaatiline valemite keel on rakendatav lihtsate seoste lьhidaks kirjeldamiseks. Nдiteks teades, et auto lдheneb kiirusega 50 km/h ja asub praegu minust 50 m kaugusel saan ma arvutada, et ta jхuab minuni t=s/v=50/(50x1000/3600)=3.6 sekundi pдrast. Teades, et ma kхnnin kiirusega 5 km/h kulub mul 10 m laiuse tдnava ьletamiseks 10/(5x1000/3600)=7.2 s. Ilmselt ei ole otstarbekas tдnavaьletamist alustada, sest jддn auto alla just tee keskpaigas. Kas ma aga tдnaval seistes teen need arvutused? Kindlasti mitte, vaid ma kujtlen, kuidas auto jдtkab oma liikumist, kuidas mina astuks ьle tee ja ma nдen “vaimusilmaga”, kuidas auto sхidaks mulle peale. Niisugune kujutlemine on vдlismaailma modelleerimine mхttes, see ongi mхtlemine. Fььsika tдilelikuks mхistmiseks ei tohi mitte valemeid ega konspektilehtedel asetsevaid lauseid endale vaimusilma ette manada, vaid protsesse, kehasid ja nende liikumisi. Ei ole suur hдda, kui te aatomit vхi molekuli kujutlete teistsugusena kui ta tegelikult on, suurem on hдda kui te teda ьldse ette ei kujuta. Selge, et suure hulga aatomite-molekulide liikumise ette kujutamine vхib olla raske, aga veel raskem oleks nende matemaatiline kirjeldamine. Nдiteks kvantmehaaniliselt on lahendatud vaid kahe keha vastasmхju probleem. Kolme vхi rohkema keha puhul tuleb juba kasutada mitmesuguseid lдhendusvхtteid, milles matemaatika ja loogiline ettekujutus pхimuvad. Niisiis, asjade mхistmiseks tuleb just neidsamu asju modelleerida, ette kujutada, mitte aga meelde tuletada valemeid vхi lauseid, mis nende kohta kдivad. Siit tulebki vahe mхistete “tean” ja “mхistan” vahel. “Teatakse” fakte. Tььpiline nдide on siin mдlumдngurite kiired vastused Jeopardy turniiril. Mnemoturniiril aga antakse aega, ja ilus on pealtkuulata, kuidas loogilise arutelu, mхtlemise teel jхutakse хige vastuseni ka siis, kui seda keegi osavхtjatest alguses ei tea. Vastus, mida ei teata, mхeldakse vдlja. Хige vastuse vдljamхtlemine igal elujuhtumil ongi asjade mхistmise tunnus. Fььsikas on heaks mхistmise kontrolliks ьlesannete lahendamine. Ilma ьlesandeid lahendamata ei ole te seda fььsikakursust kindlasti mitte mхistnud. Mхistmise ja teadmise dialektika on tihedalt seotud teoreetilise ja eksperimentaalse teaduse dialektikaga.

Eksperiment ja teooria teaduses.

Me saame oma teadmised loodusest vaatluste ja eksperimentide tulemustena. Vaatlused, nдiteks astronoomilised vхi цkoloogilised, on looduses iseenesest toimuvate protsesside passivne registreerimine, jдlgimine. Eksperiment (katse) on aktiivne vahelesegamine looduslikesse protsessidesse tahtlikult muutes nende toimumise tingimusi. Eksperiment ja vaatlus annab meile teadmise, mis toimub teatud objektidega teatud tingimustes. Nдiteks saame teada, et teatud tдht kiirgab mingi intensiivsusega ja mingi spektraaljaotusega valgust, vхi et bakterirakk kasvab mingi kiirusega. Need on faktid, mis iseloomustavad ainult ja ainult seda konkreetset situatsiooni milles katse vхi vaatlus tehti. Kui aga on tarvis teada, millal see tдht (nдit. meie Pдike) plahvatab supernoovana vхi kui sageli bakterirakk pooldub, siis nendest katsetest vastust ei saa. Kuigi bakterite paljunemise kohta saaks ju teha vastava katse, siis Pдikese plahvatuse puhul oleks seda hilja vaadelda. Kui me oleme tхepoolest mхistnud tдhe evolutsiooni ja raku elutsьklit, siis peaksime olema vхimelised teoreetiliselt ette ennustama nii pooldumist kui plahvatust. Ennustada saab teooria baasil, ekstrapoleerides seda kas ainult loogilise mudeli vхi siis ka matemaatilise mudeli abil. Teooria ongi tegelikult loodusliku protsessi peegeldus, selle mudel meie mхtlemises. Teooria on tunnetuse, mхistmise tдiuslikem etapp. Kuidas aga tekib teooria meie kдsutuses olevate vaatlustulemuste kaudu?

Vaatlused ja eksperimendid esitavad tulemustena teatud fakte, mis on tхesed olukordade tarvis, milles need saadi. Peaks tegema lхpmatu palju eksperimente, et saada vastused mхeldavate olukordade kohta, ja ikka jддks veel lхpmatu palju olukordi, mille kohta eksperimenti tehtud ei ole. Ьlaltoodud nдites autoga tдhendaks niisugune empiiriline lдhenemine seda, et auto asukoht tuleks mххta igal ajahetkel, sest ilma teooriata kuidagi ei saa ju teada, kus ta saab asuma jдrgmise sekundi, kьmnendiku, sajandiku jne pдrast. Kui meil on aga teooria, et auto liigub ьhtlaselt ja sirgjooneliselt kiirusega 50 km/h, siis saame kindlusega ette ennustada, kus ta saab asuma nдiteks 3.6 sekundi pдrast. Kuidas tekkis aga ьhtlase ja sirgjoonelise liikumise teoreetiline ettekujutus, kas selleks tehti lхpmatu palju mххtmisi ja siis ьldistati? Ei, oli vaja mххta keha asukoht ja aeg ainult kolmes punktis ja avastada seaduspдrasus, et vхrdsete teepikkuste lдbimiseks kulus vхrdne aeg. Seda seaduspдrasust aga mххtmistulemused meile ette ei ьtle, see tuleb endal avastada tulemusi analььsides. Siin avaldubki eksperimentaalse ja teoreetilise teadusliku tunnetuse dialektika: ьhelt poolt baseerub teooria eksperimentide tulemustel, teiselt poolt ei ole olemas reeglit ega seadustpдra, mille jдrgi eksperimentide tulemuste pхhjal luua teooria. Teooria on niisugune loogiline (matemaatiline) protsessi mudel, mis rahuldab kхiki olemasolevaid eksperimenditulemusi. Teooriat vхib luua ka siis, kui on olemas kas vхi ьksainus eksperiment, aga tavaliselt ei ole see teooria siis vхimeline rahuldama teise eksperimendi tulemust (ei lange sellega kokku). Mida rohkem on eksperimente, mida antud teooria rahuldab, seda tхenдosem on, et ta rahuldab ka uusi, veel tegemata eksperimente, seega, on vхimeline tulemusi хigesti ette ennustama. Teooria, mis rahuldab paljude eksperimentide tulemusi, ei tulene aga ьldse nendest eksperimentidest, vaid on omaette sхltumatu loogiline mudel, mis sьnnib mхttetцц tulemusena. Tavaliselt arvatakse, et teadlastel on mingi eriline intuitsioon, mis aitab neil leida хiget teooriat. Nдiteks, kuidas kьll Mendelejev taipas, et elemendid grupeeruvad perioodiliselt kaheksa kaupa? Kuidas kьll Einstein tuli mхttele, et kahe liikuva keha kiiruste liitumisel summaarne kiirus ei saa ьletada valguse kiirust? Darwin nдgi ainult liikide lхputut mitmekesisust, kuid kuidas ta seletas seda loodusliku valiku tulemusena? Tegelikult ei ole mingit erilist intuitsiooni, vaid lхputu pingeline mхttetцц. Tuleb lдbi mхelda ja loogiliselt kдivitada palju erinevaid mudeleid, millest suurem osa ei rahulda mхnda eksperimenti ja tuleb seega kхrvale heita, kuni leitakse ьks vхi isegi mitu mudelit, mis rahuldavad kхiki teadaolevaid eksperimente. Muide, mхne teooria loomise puhul on juhtunud, et ьks vхi paar eksperimenti kangekaelselt ei sobi sellesse, sel ajal kui ьlejддnud kхik sobivad. Siis vхib tхsta ka kьsimuse nende eksperimentide korrektsuse kohta. Siit tuleneb veel ьks tagasiside eksperimendi ja teooria vahel: eksperiment ei ole mitte ainult alus teooria kontrolliks, vaid teooria vхib kontrollida ka eksperimendi korrektsust. Muidugi, nii nagu malemдngugi puhul, head mдngijad ei vaagi kaugeltki kхiki vхimalikke kдike vaid valivad kiiresti kхige perspektiivikamad, sellega kompuutermaletajast erinedes, niisamuti head teadlased ei vaagi kaugeltki mitte kхiki vхimalikke teooria variante vaid valivad kiiresti perspektiivikamad. Selles ehk vдljendubki “intuitsioon”, mis tegelikult on kogemus ja eelteadmised.

Matemaatiline ja loogiline teooria

Teooria on maailmapilt, mis kдivitub meie mхtlemises. Mхtlemise tugev kьlg on suhteliselt keerukate sьsteemide kiire kvalitatiivne analььs. Kui hinnata tuleb aga kvantitatiivseid suurusi, siis jддb mхtlemine ьsna varsti jдnni ja kutsub appi matemaatika. Matemaatilised valemid ei ole midagi muud kui lьhidalt kirjapandud reeglid numbriliste suurustega opereerimiseks, seega kvantitatiivseks mudeli (teooria) analььsiks. Ьhe ja sellesama valemiga vхib kirjeldada vдga erinevaid protsesse, mis on oma kдitumiselt sarnased, kuigi sisult tдiesti erinevad. Seega on vajalike matemaatiliste valemite arv tunduvalt vдiksem kui analььsitavate protsesside arv. Vaatleme jдrgnevas peamisi matemaatiliste avaldiste tььpe, mis kursuses kдsitletavate fььsikaliste protsesside analььsil ette vхivad tulla.

Funktsioonid

Funktsioon on matemaatiline seos mitme suuruse vahel, mille jдrgi saab arvutada tundmatu suuruse (nimetatakse ka funktsiooniks, y) vддrtuse kui argumentide x_i vддrtused on teada:, kus f tдhistab mingit matemaatilist arvutusreeglit (tehteid ja nende kombinatsioone). Lihtsaim on ьhe muutuja funktsioon . Levinuim astmefunktsioon on lineaarne (sirge) ehk esimese astme sхltuvus:, kus a on mingi algseis millest protsess algab ja b tдhistab y kasvu suhtelist kiirust vхrreldes x kasvuga, nдit. lдbikдidud tee sхltuvus ajast, voolutugevuse sхltuvus pingest, veevoolu sхltuvus rхhkude vahest, difusioonivoo kiiruse sхltuvus kontsentratsioonide vahest; lineaarfunktsiooni erijuht on proportsionaalne sхltuvus, kus a = 0 ja mхlemad, nii x kui y alustavad muutumist nullist. Teise astme funktsioon on ruutsхltuvus, mis vхib sisaldada osana ka lineaarsхltuvust, kuid lihtsuse mхttes jдtame selle praegu vдlja: nдit. pindala sхltuvus lineaarmххdust (ringil raadiusest vхi ruudul kьljest), kineetilise energia sхltuvus kiirusest. Kolmanda astme funktsioon ehk kuupsхltuvus, nдit. ruumala sхltuvus lineaarmххdust, nagu kera ruumala sхltuvus raadiusest, kuubi ruumala sхltuvus kьlje pikkusest. Ka pццrdvхrdeline sхltuvus on astmefunktsioon: , nдit. voolukiiruse sхltuvus takistusest, liikumiseks kulutatud aja sхltuvus teepikkusest. Pццrdvхrdelise ruutsхltuvuse nдiteks on , nдit. punktikujulise laengu vхi massi elektri- vхi gravitatsioonivдlja tugevuse sхltuvus kaugusest keskpunktist. Oluline funktsioon on eksponentsiaalne sхltuvus. Positiivne eksponent kirjeldab nдit. bakterikoloonia kasvu ajas, kapitali suurenemist firmas. Negatiivne eksponent kirjeldab nдit. radioaktiivselt lagunevate tuumade arvu, valguskvantide arvu vдhenemist neelavat keskkonda lдbides, kondensaatori laeng tьhjenemist lдbi takisti, edukate ьliхpilaste arvu kahanemist хppeaja jooksul.

Joonistada graafikud.

Diferentsiaalvхrrandid

Diferentsiaalvхrrandid on matemaatilised seosed mitte suuruste eneste, vaid nende muutuste vahel. Nдiteks vхiks olla ьhtlaselt kiireneval liikumisel lдbitud teepikkus. Liikumisel kiirusega v on igas lхpmatu lьhikeses ajavahemikus dt lдbitud teepikkus . Kui kiirus v on konstant, siis niisugune vхrrand laheneb lihtsalt: ehk , kus s₀ tдhistab liikumise alguspunkti. Esimest jдrku diferentsiaalvхrrand annab lahendina funktsiooni (s) muutuse, kuid ei ole teada, millisest algpunktist muutumist alustati. Integreerimiskonstant s₀ nдitabki, et sealt alustati liikumist ja s on siis lхpp-punkti tegelik asukoht. Veidi keerukam on juht kui integreeritav suurus, antud juhul kiirus v, ei ole konstantne, vaid muutub koos ajaga, nдiteks kui on tegemist ьhtlaselt kiirineva liikumisega . Sel juhul ja integreerides saame . Astmefunktsiooni integreerimise reeglid toome allpool.

Vдga tihti on tegu jдrgmise diferentsiaalvхrrandiga, mis baseerub teadmisel, et suuruse A muutumise kiirus (ajas) on vхrdeline suuruse A enesega. Nii on see nдit. vedeliku vдljavoolamisel reservuaarist, elektimahtuvuse tьhjenemisel, radioaktiivse aine lagunemisel, valguskvantide liikumisel lдbi neelava aine, kus

;

Siit edasi

ja ning integreerides saame ja ,

millest

Nagu panite tдhele, integreerimiskonstant kirjutati seekord logaritmi kujul, lnA₀ , et muutuse alguspunkt viia sisse suhtena, mitte vahena lхpp-punkti suhtes. Viimase valemi vхib kirjutada ka kujul

.

kus =1/k. Need valemid kujutavad eksponentsiaalseid protsesse ja  on nn. eksponendi tegur (antud juhul ajategur), k aga on kiiruskonstant. Aja  mццdudes on eksponentsiaalselt kahanev protsess vдhenenud suhtes e^-1=0.368. Kahe ajateguri mццdudes e^-2 = 0.135 ja e^-3=0.050. Seega, eksponentsiaalsete protsesside praktilise lхppemiseni kulub vдhemalt 3 kuni 5.

Kui diferentsiaalvхrrand nдitab, et suurus mitte ei kahane, vaid kasvab iseendaga vхrdeliselt, saame samasuguse eksponentsiaalse lahendi, aga positiivse astendajaga. Nii kirjeldub nдiteks populatsiooni (bakterite koloonia) kasv, taime kasv, majanduse (kapitali) kasv etc. Aja t asemel vхib esineda ka teepikkus, nдiteks kui valguskvandid lдbivad neelavat ainet vхi juhuslikult asetatud neelavaid objekte (taimkatte lehestik). Siis konstant k nдitab valguse (vхi radioaktiivse kiirguse) nхrgenemist teepikkuse ьhiku kohta.

Joonistada eksponentsiaalsete muutuste graafikud.

Kui esimest jдrku diferentsiaalvхrrand sidus omavahel argumendi ja funktsiooni muutumise kiirusi (esimest jдrku tuletisi), siis teist jдrku diferentsiaalvхrrand seob omavahel argumendi ja funktsiooni muutumise muutumise kiirusi (teist jдrku tuletisi). Teist jдrku diferentsiaalvхrrandi nдiteks on vхnkumiste vхrrand, mis baseerub teadmisel, et pendlit (vхi vedru) tagasitхmbav jхud on vхrdeline hдlbega tasakaaluseisust A. Kuna jхud pхhjustab kiirenduse, ehk kiiruse muutumise, siis vдidab see vхrrand, et vхnkuva massi kiiruse muutumise kiirus (kiirendus) on vхrdeline hдlbega tasakaaluseisust ja suunatud tasakaaluseisu poole:

Selle vхrrandi lahend on siinusfunktsioon, nдiteks pendli vхnkumine vхi murdja-ohvri populatsiooni vхnkuv olek (Volterra vхrrand). Lahendist nдhtub, et periood  vдljendub jдrgmiselt:

ehk

Selleks, et mддrata, missuguses siinuse punktis asub lahend teatud ajahetkel, on lisaks vхrrandi lahendiks olevale siinusfunktsioonile tarvis teada juba kahte algtingimust: algkoordinaati, millest liikumine algab ja liikumise algsuunda, kas tasakaalupunkti poole vхi sellest eemale.

INTEGRAALID

Ьlaltoodud diferentsiaalvхrrandite lahendamiseks pidime integreerima funktsiooni, mis mддras seose diferentsiaalide (vдikeste muutuste) vahel. Nдiteks kui keha alustab liikumist nullkiirusest ja liigub ьhtlaselt kiirenevalt kiirendusega a m s^-2 , siis aja mццdudes tema kiirus on v(t) =at (tдhistus v(t) tдhendab, et suurus v on aja t funktsioon). Selleks, et leida aga, kui kaugele keha jхudis sellesama aja t jooksul, ei saa lihtsalt lхppkiirust ajaga korrutada, vaid tuleb arvestada, et igal ajahetkel oli keha kiirus erinev. Vхib eeldada, et iga vдga lьhikese ajavahemiku dt jooksul lдbitud teepikkus . Keha asukoha muutuse leidmiseks pika ajavahemiku t₂-t₁ jooksul tuleb kasutada integraali: ehk antud juhul

Integraali on lihtne leida kui v(t) on astmefunktsioon (antud juhul esimese astme funktsioon). Reegel on jдrgmine:

, nдiteks kui v=at siis . Veel nдiteid: ; ;

Aga peame meeles et ja

Mддramatud ja mддratud integraalid

Ьlaltoodud reeglid vхimaldavad leida integraali funktsionaalse kuju, kuid selle tegeliku vддrtuse arvutamiseks tuleb teada, missugusest integreeritava funktsiooni vддrtusest summeerimist alustati ja missuguse vддrtuse juures lхpetati. Pццrdume kiireneva liikumise nдite juurde tagasi ja kьsime, kui pika tee lдbis keha alates ajahetkest t₁ ja lхpetaes ajahetkega t₂? Seda arvutatakse nii, et leitakse mддramatu integraali vддrtus ьlemisel rajal t₂ ja lahutatakse sellest mддramatu integraali vддrtus alumisel rajal t₁:

Kui t₁=0 siis iga aja t jaoks, sest x₁=0.

Kursuse jooksul kasutame integreerimist lisaks ebaьhtlase kiirusega liikumisel lдbitava teepikkuse arvutamisele veel nдiteks aatomituuma ьmbritseva elektrivдlja potentsiaalse energia arvutamiseks ja gaasi paisumisel tehtava tцц arvutamiseks.

Kinemaatika pхhimхisted

Nagu цeldud, fььsika on teadus mis kдsitleb kehade liikumist. Selleks aga tuleb defineerida liikumist kirjeldavad suurused ehk parameetrid, mis on: asukoht (koordinaadid), kiirus, kiirendus.

Asukoht (koodinaadid).

Keha asendi ja selle muutuste (liikumise) kvantitatiivseks kirjeldamiseks kasutatakse ruumikoordinaate. Koordinaadid on arvud, mis mддravad keha kauguse mingitest kindlaksmддratud kohtaest, koordinaat-telgedest. Kolmemххtmelises ruumis on asendi mдaramiseks vajalik kolm arvu (koordinaati), kahemххtmelises (tasapinnal) kaks ja ьhemххtmelises (joonel) uksainus arv. Analoogiat edasi arendades saab ette kujutada ka enama kui kolemххtmelisi ruume, nдiteks vхttes neljanda mххtmena kasutusele aja, aga kui tarvis, veel teisi muutuvaid parameetreid. Sejuures on tдhtis, et juurdetoodavad muutujad ei oleks seoste kaudu tuletatavad olemasolevatest, vaid oleksid tдiesti sхltumatud, ortogonaalsed (piltlikult oleksid kхik teljed ьksteisega risti, kuigi neid vхib olle palju rohkem kui kolm).

Kхige sagedamini kasutatav koordinaat-teljestik on sirgete ristiolevate telgedega nn. ristkoordid e. Cartesiuse koordinaadid. Selles teljestikus mддratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: esiteks liikudes piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lхpuks ristisuunas piki z-telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha riskoordinaadid. Riskoordinaadistikku kasutatakse nдiteks USA-s linnade planeerimisel, kus ‘streedid’ ja ‘avenue’d on ьksteisega risti ja nummerdatud kasvavas jдrjekorras alates linna keskpunktist. Positiivsete ja negatiivsete vддrtuste asemel kasutatakse ‘North’, ‘South’, East’ ja ‘West’ lisandeid.

Cartesiuse koordinaadid ei ole ainuke viis keha asukoha mддramiseks, vaid seda saab teha ka mхne testsuguse kolme arvu kombinatsiooni abil, peaasi, et kolm liikumist, mida need arvud kirjeldavad, oleksid ikka omavahel ristsuundades. Nдiteks tsentraalsьmmeetriliste (kerakujuliste ja kerakuju moondumisena tulenenud liikumiste) kirjeldamiseks on mugavamad nn. polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on ka kolm, kuid ainult ьks neist (raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ьlejддnut on nurgad, mis mддravad selle liikumise suuna, mida mццda minnes mддratud punkti jхutakse. Esimene on nurk (teeta), mis mддrab erinevuse vertikaalsihist ja teine on nurk , mis mдarab erinevuse kokkuleppelisest horisontaalsihist. Polaarkoordinaate kasutatakse geograafias, kus ‘pхhjalaius’ on sisuliselt 90°- ja idapikkus on Kuna mддratavad punktid asuvad kхik Maa pinnal, siis raadius oleks kхigi jaoks umbes 6000 km ja see jдetakse kirjutamata. Maapinna kohal хhus vхi maa sees olevate punktide koordinaatidele tuleks aga raadiuse vддrtus juurde lisada. Polaarkoordinaate allpool nдiteks elektroni orbitaalide kvantmehaaniliseks kirjeldamiseks vesiniku aatomis.

Liikumine, kiirus

Liikumine on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on ьhtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse absoluutvддrtus ja suund.

Kiirus (v) on fььsikaline suurus, mida mххdetakse ajaьhikus lдbitud teepikkusega. Teepikkus s on kahe asukoha vahekaugus. Kolmemххtmelises ruumis avaldub teepikkus alg ja lхpp-punkti koordinaatide kaudu jдrgmiselt

(1.1)

Pikkuse (teepikkuse) ьhikuks on meeter, m. Meeter on ligilдhedaselt 1/40000000 Maa ьmbermххtu, kuid tдpne ьhik on kokkuleppeline ja oli pikemat aega defineeritud kui kahe peene kriipsu vahe plaatina-iriidiumi sulamist siinil, mida hoiti Pariisi lдhedal, nььd aga on meeter seotud teatud aine aatomite poolt kiiratava valguse lainepikkusega. Meeter on ьks kolmest pхhiьhikust ja teda ei saa tuletada teiste ьhikute kaudu.

Kiirus

, kust ja (1.2)

Viimased valemid seovad omavahel kiiruse, teepikkuse ja aja. Aja ьhikuks on sekund, s. Sekund on ligilдhedaselt 1/(365.25x24x60x60) keskmise astronoomilise ццpдeva pikkusest, kuid tema tдpne vддrtus on praegu seotud teatud aine poolt kiiratava valguse vхnkeperioodiga. Sekund on ьks kolmest pхhiьhikust ja teda ei saa tuletada teiste ьhikute kaudu. Nдiteks kiiruse ьhik on m/s ehk m s^-1 ja see on tuletatud pхhiьhikutest. Suurem osa tuletatud ьhikuid on seotud pхhiьhikutega andes viimastele vддrtuse 1.

Nii teepikkus kui ka kiirus on vektorid, millel on x, y, ja z- suunalised komponendid. Kahemххtmelisel (tasapinnalisel juhul) vektori s kaks komponenti on s_x=scos; s_y=ssin

Ebaьhtlase liikumise kiirendus (a) on fььsikaline suurus, mida mххdetakse kiiruse muutusega ajaьhikus. Sirgjoonelise liikumise kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega teine tuletis teepikkuse muutumisest:

(1.3)

Ka kiirendus on vektor, s.t., valem (1.3) kehtib s_x, s_y ja s_z suhtes eraldi. Kiirenduse ьhik on m s^-1 s^-1 = m s^-2 (loe: meeter sekundis sekundis).

Kiirendusega liikumise kiirus

(1.4)

kui alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid v₀.

Kiirendusega liikumisel lдbitud teepikkus, kui aega hakkame lugema nullist (integraali alumine rada on null ja arvutada tuleb ainult ьlemine rada):

(1.5)

ja teepikkuse s lдbimiseks kuluv aeg (1.4)

Juhul, kui algkiirus on null, siis

, (1.5)

kust leiame aja, mis kulub teepikkuse s lдbimiseks:

(1.6)

ja kiiruse v, mis saavutatakse teepikkuse s lдbimisel

(1.7)

Maa raskuskiirendus on g=9.81 m s^-2 ja see mддrab vabalt langevate kehade liikumise kiirenduse.

Ьlesanded: Kuidas mддrata torni kхrgust ampermeetri ja stopperi abil?

Kui suure algkiirusega peab pumpama vett, et purskkaevu juga kerkiks 30 m kхrgusele?

Kui kхrgele ja kui kaugele ulatub sama juga kui see suunata 45 kraadi all kaldu?

Kuidas peab piloot juhtima lennukit, et kabiinis tekiks kaaluta olek?

Vдhemalt kui suure algkiirusega peab toimuma kaugushьppaja дratхuge ja missuguse nurga all tuleb see suunata, et pьstitada uus maailmarekord (oletame, et praegune maailmarekord on 9 m)?

Ringikujulisel (elliptilisel) trajektooril liikuvate kehade orbiidi leidmiseks tutvume kхverjoonelise liikumise kiirendusega, millest lihtsaim on ringjooneline liikumine.

Kхverjoonelise (ringjoonelise) liikumise tangentsiaal- (puutujasuunaline) kiirus

(1.8)

kus r on raadius,  on tiirlemisperiood ja  on tiirlemissagedus. Ristikiirendus

(1.9)

kus on nurk-kiirus. Nurkkiirust mххdetakse pццrdenurga suurenemise kiiruse kaudu, ьhik on radiaan sekundis. Tдisring on 2 radiaani, seega ьks tiir sekundis tдhendab nurkkiirust 2 radiaani sekundis.

Dьnaamika pхhimхisted ja seadused: jхud, impulss, tцц, energia

Newtoni esimene seadus (ka Galilei seadus, inertsiseadus): Iga keha liigub ьhtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni teiste kehade mхju (jхud) ei pхhjusta selle seisundi (kiiruse) muutumist.

Ьhtlane ja sirgjooneline liikumine on vхimalik ainult avakosmoses vдga kaugel taevakehadest. Maa pinnal on kхik kehad gravitatsioonivдlja mхjusfддris ja neile mхjub Maa kьlgetхmbejхud. Demonstratsioonkatseks on mхjudeta liikumisele ligilahedane teraskuuli veeremine horisontaalsel peegelpinnal, kus raskusjхud on liikumisega risti ja hххrdumisjхud on minimaalne. Ka piljardikuulid liiguvad kьllatki ьhtlaselt ja sirgjooneliselt kuni pхrkumiseni.

Newtoni teine seadus: Liikumise muutumise kiirus (kiirendus) on vхrdeline rakendatud jхuga ja toimub jхu suunas.

ehk (2.1)

kus f on jхud, m on keha mass ja a on kiirendus. Vхrdetegur, mis seob kiirenduse jхuga on pццrdvхrdeline keha massiga, s.t. ьks ja seesama jхud pхhjustab seda suurema kiirenduse mida vдiksem on keha mass. Jхud f ja kiirendus a on vektorid (suunaga suurused), m on skaalar (suunata suurus). Massi ьhik on kilogramm (kg). Ьks kilogramm on ligilдhedaselt ьhe dm³ puhta vee mass, kuid tдpne massi etaloon on plaatina-iriidiumi sulamist metallkeha, mis on hoiul Pariisi lдhedal. Kilogramm on seega ьks kolmest pхhiьhikust, mille suurus on kokkuleppeline ja mida ei saa tuletada teiste ьhikute kaudu. Tuletatud ьhiku nдiteks on jхu ьhik: ьks njuuton (N) on jхud, mis annab massile ьks kilogramm kiirenduse ьks m s^-2

Mass: kaal ja inerts

Massil on kaks omadust: inerts ja gravitatsioon. Huvitaval kombel on need kaks omadust alati vхrdelised ja massi suurust saab mддrata nii ьhe kui teise kaudu. Kaalumine on massi mххtmise viis gravitatsioonijхu kaudu. Mitu N kaalub keha massiga 1 kg? Kaal on raskusjхud, millega Maa tхmbab keha. Raskusjхud annab massile 1 kg kiirenduse 9.8 m s^-2, sel ajal kui 1 N annab kiirenduse vaid 1 m s^-2. Seega, mass 1 kg kaalub 9.8 N. Sama mass 1 kg kaaluks Kuu peal umbes kuus korda vдhem, seega umbes 1.6 N. Keha kaal sхltub ka asukohast Maal (ekvaatoril on Maa pццrlemisest tulenev tsentrifugaaljхud suurem ja see vдhendab kaalu). Kaalu vдhendab ka хhu ьleslьke. Seega, ьks kilogramm udusulgi kaalub vдhem kui 1 kg rauda, kui ei arvestata хhu ьleslьkke parandit. See parand on seda suurem, mida lдhdasemad on kaalutava keha ja хhu tihedused, kuni selleni, et vesinikuga tдidetud хhupall omab negatiivset kaalu. Хige kaalu mддramine oleks хhu ьleslьket arvestades, kuid praktikas, kui on tegu tahkete ainete vхi vedelikega, on selle tдhtsus suhteliselt vдike. Kui kьsite poest ьhe kg leiba, siis soovite te tхepoolest leiva massi, mitte selle kaalu. Seega kьsimine kilogrammides ja mitte njuutonites on fььsikaliselt хige. Kui mььja kaalub leiva vedrukaaluga, siis saab ta tulemuse njuutonites ja see sхltub laiuskraadist. Kui aga kasutatakse kangkaalu, siis vхrreldakse omavahel kaalutavat keha kaalupommide massiga ja tulemus ei sхltu laiuskraadist.

Newtoni kolmas seadus: Mхju (jхud) on vхrdne vastumхjuga (vastujхuga) . Kui esimene keha mхjutab teist jхuga f siis teine keha mхjutab esimest jхuga –f. Klassikaline nдide: paadist kaldale hьpates tхukate paati kaldast eemale. Kumb aga liigub kiiremini, teie vхi paat?

Kahe keha vastasmхjul saavad mхlemad kiirenduse pццrdvхrdeliselt nende kehade massiga:

ehk (2.2)

Newtoni kolmandal seadusel pхhineb rakettmootori tцц. Igal ajamomendil paiskab reaktiivmootor suhteliselt vдikest kьtuse massi suure kiirendusega tahapoole, selle tulemusena liigub rakett kui suurem mass vдiksema kiirendusega vastassuunas. Protsess on pidev seni kuni mootor tццtab ja kuna kiirendus mхjub mхlemale, nii raketile kui kьtusele vхrdse aja jooksul, siis lхppkokkuvхttes suhtuvad ka raketi ja ruumi vдljapaisatud kьtusemassi kiirused nii nagu valem (2.2) nдitab kiirenduste kohta. Kui nдiteks raketi ja kьtuse massid on vхrdsed, siis on lхpuks vхrdsed ja vastassuunalised ka nende kiirused. Erinevus raketi ja ruumipaisatud kьtuse vahel on aga selles, et rakett kui tahke keha omab ьhte kindlat kiirust, kьtuse pхlemisprodukt aga on gaasiline ja valem (2.2) kehtib selle ruumilise massikeskme kohta.

Ka lindude lendamine (ja isegi loomade vхi inimese ujumine) on sisuliselt reaktiivliikumine, sest teist vхimalust kui Newtoni kolmanda seaduse abil хhust raskemal kehal хhus (veest raskemal kehal vee peal) pьsimiseks ei ole. Lind lьkkab tiibadega хhku allapoole, mхjutades хhumassi jхuga ja andes хhule allapoole liikumise kiirenduse, samal ajal vastujхud tхukab lindu ьlespoole. Linnu ьlespoole liikumise kiirendus on niisama suur kui raskuskiirendus, kuid sellega vastassuunaline, nii et mхlemad kompenseeruvad ja lind lendab konstantsel kхrgusel. Matemaatiliselt, , kus m₁ on linnu ja m₂ tiibade all liikuma pandud хhu mass ning a on viimasele antud kiirendus.

Ьlesanne: Selgitada, mis ьhist on lennuki reaktiivmootoril, propellermootoril, lendamisel tiivalehvitamisega ja planeerimisel.

Ьks tдhtsamaid kiirendusest tulenevaid jхude on kesktхmbejхud ja kesktхukejхud ringlikumisel, mis on vхrdsed javastassuunalised. Keha liigub ringikujulist trajektoori mццda tдnu jхule, mis tхmbab teda keskpunkti suunas. Kesktхmbejхud vхib olla gravitatsioon (Maa tiirlemine ьkber Pдikese), elektromagnetiline (elektroni tiirlemine ьmber tuuma) vхi mehaaniline (nццr mis ьhendab lingukivi kдega, tsentrifugaalpumba korpus, mis suunab vedeliku ringtrajektoorile, aga ega nedes kehadeski esine lхppkokkuvхttes muud kui elektromagnetilised jхud). Kesktхukejхud tekib keha inersti tхttu, tema pььdest likuda sirgjooneliselt puutujat mццda. Kesktхukejхud ringliikumisel avaldub jдrgmiselt

.

kus  on nurkkiirus. Nurkkiirus seostub lineaarkiirusega jдrgmiselt:

ehk , seega

Kui suur on 100 kg-se mehe kaaluvahe poolusel ja ekvaatoril? Maakera raadius on 6000 km. Nurkkiirus on 2/(24x3600) = 7.27x10^-5 radiaani sekundis. Asendades need vдrtused valemisse (??) saame f=100x(7.27x10^-5)²x6x10⁶ = 100x52.8x10^-10x6x10⁶= 3.168 N. Poolusel kaalub 100 kg 981 N. Suhteline kaalu kahanemine on 3.17/981=0.0032 ehk 0.32%. Meie laiuskraadil ja ekvaatoril on see suhe veel umbes poole vдiksem.

Tsentrifugaaljхu praktilisi rakendusi: tsentrifugaalpumbad ja ventilaatorid. Kuidas muutub ventilaatori ja tsentrifugaalpumba arendatav rхhk mootori pццretest?

Liikumise hulk ehk impulss.

Kui pььate vдga massiivset keha, nдiteks autot, liikuma lьkata, siis tuleb jхudu rakendada kьllalt kaua, enne kui saavutate vajaliku kiiruse, nдiteks kьllaldase mootori kдivitamiseks ilma starteri abita. See tдhendab, et keha poolt saavutatud kiirus sхltub jхu mхjumise ajast. Kasutame kiiruse arvutamiseks kahte seost: , kust

Suurust mv nimetatakse liikumise hulgaks ehk impulsiks. Impulsi muutus on vхrdeline jхuga ja selle mхjumise ajaga ning toimub jхu suunas.

Impulsi jддvus liikuvate kehade vastasmхjudes on energia jддvuse kхrval ьks looduse pхhiseadusi. Nдiteks kahe piljardikuuli pхrkel vхi kahe gaasimolekuli pхrkel

Impulsi muutus kehade vastasmхjul on vхrdne ja vastassuunaline, sьsteemi summaarne impulss on konstantne. Impulsi mхistet kasutame allpool gaaside rхhu arvutamisel.

Tцц ja energia.

Tцц on fььsikaline suurus, mida mххdetakse jхu ja jхu suunas lдbitud teepikkuse korrutisega

Tцц ьhik on Dzhaul (Joule), [J] = [N]x[m]. Dzhaul on tцц, mida teeb jхud ьks njuuton ьhe meetri pikkusel teel. Tццd tehakse siis, kui liigutatakse mingit keha avaldades sellele jхudu. Nдiteks, tхstes 50 kg viljakotti maast 1m kхrgusele vankrile tehakse tцц mis vхrdub koti kaal (njuutonites !) korda vankri kхrgus, 50x9.8x1=490 J. Kui vesi langeb 20 m kхrguses joas kдivitades turbiini, siis iga kg vett teeb tццd 20x9.8=295 J.

Kui jхud on teepikkuse (koordinaadi) funktsioon (on muutuv sхltuvalt asukohast), siis tuleb rakendada integreerimist. Integreerida vхib liikumise ja jхu kui vektori komponente kolme koordinaadi suunas eraldi

Tььpiline muutuva jхu poolt tehtud tцц arvutus on seotud keha asukoha muutusega teise keha gravitatsiooni- vхi elektrivдljas. Nдiteks, Newtoni gravitatsiooniseadus vдidab, et kahe keha vahel mхjub gravitatsioonijхud, mis on vхrdeline nende kehade masside korrutisega ja pццrdvхrdeline nedevahelise kauguse ruuduga:

Elementaartцц, mida tehakse selleks, et suurendada kehade vahelist kaugust dx vхrra oleks

ja liikumisel ьle mingi pikema vahemiku tehtud tцц oleks

Kui teepikkus on mддratud, tuleb integraal vхtta radades liikumise algpunktist lхpp-punkti. Valem ??? nдitab, et kui kahe keha vaheline jхud kahaneb kauguse suurenedes pццrdvхrdeliselt kauguse ruuduga, siis tehtud tцц kasvab kauguse kasvades pццrdvхrdeliselt kaugusega. Tхmbuvate kehade vahelise kauguse suurendamiseks tuleb teha vдlist tццd, kui kehad lдhenevad, siis nad teevad ise tццd. Tхukuvate kehade, nдiteks samanimeliste laengute vahel, on olukord vastupidine: tхukuvate kehade lдhendamiseks tuleb teha vдlist tццd, kui need kehad eemalduvad teineteisest, siis nad teevad ise tццd. Viimase juhu nдiteks oleks aatomite lдhenemine, kus vдlise elektronkihi elektronid tхukuvad ьksteise elektrivдljas. Tahkete kehade kokkupuude ja hххrdumine ongi vдliste elektronkihtide tхukumine, tegelikku fььsilist kokkupuudet ei esine kunagi.

Vхimsus on fььsikaline suurus, mida mххdetakse ajaьhikus tehtud tцц hulgaga.

Vхimsust kasutatakse nдit. mootorite ja kьttekehade hindamisel, teadmaks kui palju tццd need suudavad ajaьhikus teha. Vхimsuse ьhik on Watt [W] = [J] [s]^-1 ьks Dzhaul sekundis. Elektripirnide tarbitav vхimsus on nдiteks 40 – 100 W, elektripliit 600 – 2000W, automootor 50 – 100 kW. Elektrienergia hulga mххtmiseks kasutatakse ьhikut kilovatt-tund (kWh), see on tцц, mida teeb vхimsus 1 kW ьhe tunni = 3600 s jooksul. Ьks kWh = 1000 J s^-1 x 3600 s = 3600000 J = 3600 kJ.

Energia on keha vхime teha tццd.

Energiat on kahte liiki, liikuva keha kineetiline energia ja jхuvдljas asuva keha potentsiaalne energia. Energia jддvuse seadus on looduse pхhiseadus: Energia ei teki ega kao, vaid muundub ьhest vormist teise. Seega, looduses toimub kineetilise energia muundumine potentsiaalseks ja potentsiaalse energia muundumine kineetiliseks.

Liikuva keha kineetiline energia. Arvutame, kui palju tццd tuleb teha, et keha (massiga m) kiirust suurendada paigalseisust kuni vддrtuseni v. See tцц moodustabki likuva keha kineetilise energia.

Tцц=energia:

Kui suur aga on teepikkus s mille lхpuks saavutatakse kiirus v? Kasutame seost (1.7)

, kust

Teades, et , asendame selle ja saame

Nььd on selge, et

Kineetiline energia on vхime teha tццd. Liikuva keha peatumisel vхib ta enese ees lьkata teist keha mхjudes sellele jхuga ja tehes tццd. Kui auto sхidab vastu puud, siis auto kineetiline energia liigutab plekke paigast ja murrab sхitjate luid. Tдhelepanu, et auto kiiruse suurenemisel kaks korda suureneb kineetiline energia neli korda! Niisugustel deformeerivatel pхrgetel muutub kineetiline energia peamiselt molekulide soojusenergiaks. Kineetiline energia muutub potentsiaalseks energiaks kui liikuvat keha peatab jхuvдli, nдiteks kui viskame kivi ьlespoole. Gravitatsioonivдlja jхud peatab lхpuks kivi liikumise, kuid kivi kineetiline energia on muundunud tema potentsiaalseks energiaks. Sama juhtub elektronidega, kui nad saavad lisaks kineetilist energiat (nдiteks aatomite pхrgetel vхi valguse neeldumisel): nad liiguvad tuumast kaugemale.

Jхuvдljas asetseva keha potentsiaalne energia.Vaatleme esialgu gravitatsioonivдlja maapinna lдhedal. Arvutame, kui palju tццd tuleb teha keha (massiga m) tхstmiseks kхrgusele h.

Gravitatsioonivдli ja elektrivдli on nn. potentsiaalsed vдljad, kus keha potentsiaalse energia muutus sхltub ainult alg-ja lхppasukohast, mitte aga vahepealse liikumise trajektoorist. Tehtud tцц on sama, ьkskхik millist rada mццda liigutakse samade alg- ja lхpp-punktide vahel. Vabal inertsel liikumisel jхuvдljas (ilma vдlismхjudeta) potentsiaalne ja kineetiline energia pidevalt muunduvad teineteiseks, nii et summaarne energia on kogu aeg sama:

Nдiteks kхrguselt h kukkuva keha kiiruse leiame teades et kukkumise lхpuks

, kust

Ьlesvisatava kivi maksimaalkхrguse vхime samuti leida tema algenergia (algkiiruse) kaudu.

Kineetilise ja potentsiaalse energia muundumine toimub ka lihastetццs. Nдiteks vхib teoreetiliselt arvutada, kui kхrgele saab hьpata kirp, kelle kehas keskmine ATP kontsentratsioon on 0.1 mM, eeldades, et ATP keemiline energia kхik muutub hьppel kineetiliseks energiaks.

Eelmised ьlesanded on lihtsad, sest ьlesvisatud keha kхrgus muutub suhteliselt Maa raadiusega sedavхrd vдhe, et rakusjхudu saab lugeda konstantseks. Kui aga kaugus muutub suhteliselt palju, nдiteks nagu kosmoselendudel, vхi nagu elektroni kaugus muutub tuuma suhtes, siis ei saa ei gravitatsiooni- ega elektrivдlja jхudu enam konstantseks lugeda vaid tцц (energia) arvutamisel tuleb arvestada, et jхud muutub koos kaugusega.

Jхudude tasakaal, kiirus ja energia ringjoonelisel tiirlemisel.

Looduses asuvad kхik kehad ьksteise jхuvдljades, suuremad kehad gravitatsioonivдljas, vдikeste kehade puhul on oluline elektrivдli. Ometi ei kuku tхmbuvad kehad ьksteise peale, sest sellisel juhul oleks kogu Universum ammu kokku kukkunud, elektronid oleksid kukkunud aatomituumadesse ja planeedid nende Pдikestesse. Loodust stabiliseerib see, et kehad tiirlevad ьksteise ьmber, nii et kesktхmbejхud ja kesktхukejхud on vхrdsed ja radiaalsuunalist kiirendust (jхudu) ei esine. Kasutades fььsikast teadaolevaid valemeid gravitatsioonilise (elektrilise) kesktхmbejхu ja inertsiaalse kesktхukejхu kohta saab nende tasakaalutingimustest tuletada nдiteks kui suur on tiirleva keha potentsiaalne, kineetiline ja summaarne energia.

Mхlemad, nii elektrivдlja kui ka gravitatsioonivдlja tugevus (mхjuv jхud) kirjelduvad ьhe ja sellesama seadusega:

gravitatsioonivдli: ja elektrivдli:

kus m on keha mass, e on keha laeng (indeksid nдitavad esimese ja teise keha oma eraldi), r on nendevaheline kaugus ka konstant k mддrab seose kasutatava ьhikute sьsteemiga. Kui masse mххdetakse kilogrammides, siis gravitatsioonijхu saamiseks Njuutonites omab gravitatsioonikonstant k_g vддrtust ????. Kui laenguid mххdetakse Coulombides (Kulonites, C) siis elektrostaatilise tхmbejхu saamiseks Njuutonites elektrivдljakonstant k_e omab vддrtust ????.

Muide, selles, et need konstandid ei oma vддrtust 1, vдljendub fььsikalise mххtьhikute sьsteemi ajalooliselt kujunenud ebajдrjekindlus. Sьsteemselt хige oleks olnud massiьhikuks vхtta niisugune mass, mis teist samasugust tхmbab ьhe pikkusьhiku kauguselt ьhikulise jхuga. Seesama ьhikuline jхud aga peab andma ьhikulisele massile ka ьhikulise kiirenduse. Et see aga nii tuleks, peaks nii massi, pikkuse kui ajaьhikut vastavalt muutma. Praegused pхhiьhikud ei ole ьldse seotud gravitatsiooniseadusega. Samasugune on lugu elektrilaenguьhikutega. Formaalselt peaks laenguьhik Coulomb (Kulon) olema defineeritud kui laeng mis tхmbab teist samasuurt vastasmдrgilist laengut pikkusьhiku kauguselt ьhikulise jхuga. Tegelikult on aga Coulomb defineeritud hoopis magnetvдlja kaudu: Coulomb on laeng, mis liikudes ьhe sekundi jooksul lдbi 1 m pikkuse traadi mхjutab teist samasugust traati, milles voolab niisama tugev vool, 1 m kauguselt jхuga 1 N. See definitsioon baseerub magnetvдljal, mis on liikuvate laengute ьmber ruumis. Elektrivдlja jхud avaldub nььd aga ьlaltoodud kaliibrimiskonstandi kaudu.

Leiame keha (laengu) potentsiaalse energia tsentraalsьmmeetrilises gravitatsiooni- (elektri-) vдljas. Kuna jхud on tugevasti kaugusest sхltuv, siis tuleb kindlasti rakendada integreerimist. Laengu liikumisel elektrivдljas vдga lьhikesel teepikkusel tehtud tцц on

kus liikumise teepikkust tдhistame seekod raadiuse (kugus tsentrist) muutusena dr. Kui laeng liigub raadiuselt r₁ raadiusele r₂, peame integreerima vastavates radades:

Valem nдitab, et tsentraalsьmmeetrilises elektrivдljas liikudes muutub laengu potentsiaalne energia pццrdvхrdeliselt kaugusega tsentrist. Analoogiline valem kehtib ka gravitatsioonivдlja kohta, ainult et seal esinevad kahe laengu asemel kaks massi ja elektrivдlja konstandi asemel gravitatsioonikonstant. Kui laeng liigub tsentrist eemale, siis r₂>r₁ ja negatiivne liige on vдiksemkui positiivne, seega siis potentsiaalne energia kasvab. Vastupidi, potentsiaalne energia kahaneb, kui laeng liigub tsentrile lдhemale. Potentsiaalse energia nullnivoo on aga kokkuleppeline. See vхiks olla ьks ддrmuslikest seisunditest, kas vхi (lхpmatus). Siiski, raadius ei saa olla null, sest siis lдheneb energia lхpmatusele, seega jддb kokkuleppeliseks nulliks nivoo, kus laengud asetsevad teineteisest lхpmatu kaugel. Lдhenedes aga nende potentsiaalne energia kahaneb, seega muutub negatiivseks, ja lдheneb miinus lхpmatusele kui laengud kohtuvad. Niisugune potentsiaalse energia nullnivoo definitsioon, mis on hea elektronide ja tuumade vahelise mхju kirjeldamiseks aatomites, on erinev igapдevakogemusest gravitatsioonilise energiaga, kus nulliks loeme tavaliselt energia maapinnal ja energia loeme positiivselt kasvavaks kui keha maapinnast kaugeneb. Kui valemis ??? , st. elektron lдheneb tuumale lхpmatu kaugelt, siis tema potentsiaalne energia on alguses null ja kahaneb lхpuks vддrtusele

Kuna see energia kuhugi kaduda ei saa, siis muutub ta elektroni liikumise kineetiliseks energiaks, st., lдhenedes tuumale elektron liigub kiirenevalt, nii nagu nдiteks asteroid liigub kiirenevalt lдhenedes Maa pinnale. Vahe on siiski selles, et elektron ei lange kunagi tuumale, vaid jддb tiirlema mingil kaugusel ьmber tuuma. Tiirlemise kaugus (raadius, on mддratud sellega, millal elektriline tхmbejхud vхrdub inertsiaalse kesktхukejхuga. Matemaatiliselt avaldub see tingimus jдrgmiselt:

Selle valemi vasak pool on varasemast tuttav kesktхukejхu valem keha massiga m ringliikumisel joonkiirusega v ьmber tsentri kaugusel r. Valemi parem pool on elektrostaatilise tхmbejхu valem, kuid siin on juba arvestatud, et aatomis positiivne ja negatiivne laeng on vхrdsed, mхlemad vддrtusega e.

Eelmisest valemist saab leida raadiuse, mille saab siduda nii elektroni kiiruse kui tema kineetilise energiaga:

vхi

Ьmber tuuma tiirleva elektroni kineetiline energia kasvab kui elektron lдheneb tuumale (r kahaneb). Tuletame meelde, et potentsiaalne energia samal ajal kahanes:

,

ja summaarne energia

Elektroni summaarne energia kahaneb kui elektron asub tiirlema orbiidile mis on tuumale lдhemal. Kuhu see energiavahe siis lдheb, millisesse vormi muutub (kaduda ju ei saa)?

See energiavahe peab aatomist eralduma ja seda ta ka teeb, kas valguskvandi kujul, vхi kandub ьle mхnele naaberaatomile, tхstes selle elektroni vastavalt kхrgemale energianivoole, vхi eraldub soojusena, s.o. muutub aatomi translatoorseks (kulgevaks) liikumiseks. Niisugune elektronide ja tuuma vahelise kauguse muutumine, elektronide tiirlemine erineva raadiusega orbiitidel, on peamine keemiliste ainete siseenergia, keemilise energia olemus. Ained, mille molekulides elektronid tiirlevad tuumadest kaugemal, on energiarikkamad ja vхivad seda vabastada kui keemilise reaktsiooni tulemusena toimuvad muutused, mille tulemusena elektronid saavad tuumadele lдhemale asuda. Bioloogiliste protsesside energeetika on samadel alustel: fotosьnteesis tхstetakse elektron valguskvandi abil kхrgemale energianivoole, tuumast kaugemale orbiidile, ja metabolismi kдigus ta jдrkjдrgult lдheneb tuumale, vabastades niimoodi kvandi poolt talle antud energia.

Kas aga elektronid saavad tiirelda ьmber tuuma igasugustel kaugustel? Kui see nii oleks, vхiks ju vabastada vдga suuri keemilise siseenegia koguseid lubades elektronil asuda tuumale vдga-vдga lдhedale (lastes raadiuse nulli lдhedale). Tхepoolest, klassikaline fььsika seda lubaks, kuid tegelikkuses seda ei juhtu. Siin tulevad sisse kvantmehaanilised piirangud, mis klassikalise fььsika abil ei seletu. Jдrgnevas tutvumegi atomaarse kvantteooria pхhialustega.

BOHRI AATOMIMUDEL

Eelmises lхigus tuletasime valemid, mis kirjeldavad ьmber tuuma tiirleva elektroni kiirust ja energiat. Igale elektroni kineetilise energia vддrtusele E_k vastaks kindel raadius r. Klassikalise fььsika seisukohtade kohaselt tekitab aga tiirlev elektron muutuva elektromagnetilise vдlja: elektron on perioodiliselt kord tuumast parmal, siis jдlle vasemal, seega ‘pluss’ ja ‘miinus’ vahelduvad nagu televisiooni saateantenni varrastes, vahe on ainult mххdus ja tiirlemise sageduses. Muutuva elektromagnetilise vдlja kaudu peaks elektroni tiirlemisenergia vдlja kiirguma, elektron peaks tuumale lдhenema ja lхpuks tuumale kukkuma. Tegelikult seda ei toimu, kхik aatomid maailmas on stabiilsed ja tavaliselt ei kiirga energiat. Selles on klassikalise mehhaanika pхhivastuolu tegelikkusega. Seda vastuolu ei saa eletada, see tuleb lihtsalt teadmiseks vхtta ja postuleerida, et teatud kindlate energiavддrtuste puhul on elektronide orbiidid aatomis stabiilsed ja energiat ei kiirgu, kuigi pхhjus, miks ei kiirgu, ei ole teada. Kui see aga teadmiseks vхtta, siis saab sellele ьles ehitada uut sorti mehanika – kvantmehaanika. Esimeseses jдrjekorras tuleb postuleerida, missugused on need orbiidid, millel elektron saab stabiilselt tiirelda ilma energiat kiirgamata.

Uurides kuumutatud kehadelt kiirguva valguse spektreid leidis Max Planck (1900) ka siin vastuolu, mis lahenes, kui eeldati, et valgusel on kvantiseloom: valgus kiirgub energiaportsjonite e. kvantide kaupa, millest igaьhe energia , kus  on valguslaine vхnkumise sagedus.

Lдhtudes sellest postuleeris Bohr (1913): elektroni tiirlemisel ьmber tuuma elektrmagnetilist lainet (=valgust) ei kiirgu, kui elektron tiirleb orbiitidel millel potentsiaalne on

.

Kineetiline energia oli positiivne ja pool potentsiaalsest energiast:

,

Nendes valemites  on elektroni tiirlemise sagedus, n aga mingi tдisarv 1, 2, 3, 4 jne.

Kasutades seost joonkiiruse ja nurkkiiruse vahel, mille abil sagedus teisendatakse joonkiiruseks, saame:

ja

ja vхime kirjutada

ehk

vхi vхttes mхlemad pooled ruutu saame: .

Elektrostaatilise tхmbejхu valemist (???) saame massiga m lдbi korrutades:

Kahe viimase valemi vasakud pooled on vхrdsed. Paremate poolte vхrdsustamisel saame avaldada lubatud raadiuse

.

Need nn. Bohri raadiused ongi vхimalikud raadiused millel elektron saab asuda stabiilselt ilma energiat kiirgamata.

Avaldame elektroni kineetilise energia tema massi m ja laengu e kaudu. Selleks asendame r valemisse (???) vхi (???). Saame

Samale orbiidile vastav potentsiaalne energia

ja koguenergia, mis vastab orbiidile, mida iseloomustab tдisarv n

Vхimalike naaberorbiitide energiate vahe

Elektroni tiirlemissageduste vahe kahel naaberorbiidil vхrdub vдljakiiratava (vхi neelatava) valguse sagedusega kahe orbiidi vahelisel ьleminekul:

ja lainepikkus kus c on valguse kiirus.

Arvulisi andmeid: e = 1. 6021892·10^-19 kulonit; h= 6.626176·10^-34 J·s; m_e = 9.109534·10^-31 kg

c = 299792458 m s^-1 k_e=???

Valem (???) nдitab, et elektroni vхimalikud tiirlemisraadiused suurenevad vхrdeliselt tдisarvude ruutudega, seega jada on 1, 4, 9, 16, 25, 36 ...

Valem (???) nдitab,et elektroni koguenergia vхimalikel orbiitidel suureneb raadiuse kasvades pццrdvхrdeliselt tдisarvu n ruuduga, seega jada oleks

Kхige sьgavama energianivoo (pхhinivoo) vддrtus on vesiniku aatomis -13.6 eV, nivoode jada elektronvoltides oleks siis

-13.6; -3.4; -1.5; -0.85; -0.54; -0.38 ...eV

Volt (Itaalia teadlase Volta nimest) on elektrivдlja potentsiaali (potentsiaalse energia) ьhik. Elektrivдlja kahe punkti potentsiaalide vahe on ьks Volt kui laengu ьks kulon viimisel ьhest punktist teise tehakse tццd ьks J. Ьhe elektroni viimisel lдbi potentsiaalide vahe ьks volt tehakse tццd ьks elektronvolt. Energeetiliselt elektronvolt on dzhaulist niisama palju kordi vдiksem kui elektroni laeng on vдiksem kulonist, seega 1 eV = 1. 6021892·10^-19 J.

Orbiitide ja energianivoode joonised.

Nдhtav ja nдhtamatu elektromagnetiline kiirgus, valgus.

Energianivoode-vahelisel ьleminekul kiiratakse kvant kui ьleminek toimub tuumale lдhemale ja neelatakse kvant kui ьleminek toimub tuumast kaugemale. Kvandi energia on niisama suur kui vastavate orbiitide energianivoode vahe. Vхtame teadmiseks, et vesiniku sьgavaimale energianivoole vastab 13.6 eV ja arvutame sellele ьleminekule vastava lainepikkuse.

See on silmale nдhtamatu lьhilaineline ultraviolett-kiirgus. Silm nдeb ‘valgust’, mis on defineeritud kui elektromagnetiline kiirgus lainepikkuste vahemikus 400-700 nm ehk kvandi energiavahemik 3.10 kuni 1.77 eV. Vesiniku aatomisisestest ьleminekutest kiirguks nдhtavat kiirgust ьleminekutel kхrgematelt nivoodelt teisele nivoole, teiselt esimesele nivoole ьleminek kiirgab kvandi lainepikkusega 121.7 nm.

Seega, valguse ja sellest lьhemate lainepikkustega kvandid kiirguvad elektroni ьleminekul kхrgema energiaga orbiidilt madalama energiaga orbiidile, energiavahe kiirgub kvandina. Ka vastupidine protsess, kvandi neeldumine aatomis pхhjustades elektroni ьlemineku madalamalt orbiidilt kхrgemale, on vхimalik. Nagu vesiniku aatomi analььs nдitas, on lubatud tдiesti kindlad energianivood, seega niisuguses aatomis kiirguvad ja neelduvad ainult vдga tдpselt mддratud lainepikkustega kvandid. Vesiniku aatomis on pхhinivoo nii sьgaval, et sinna ьleminekul saavad kiirguda vaid ultraviolett-kvandid. Paljelektroniliste aatomite vдliste kihtide lubatud pхhinivood ei asu mitte nii sьgaval ja neis kiirguvad/neelduvad ka nдhtava valguse kvandid. Nдiteks, tihti kasutatakse elavhхbe-auru ja naatriumi-auruga tдidetud lampe, kus elektrienergia abil sunnitakse metalliaatomeid kiirgama nдhtavat valgust. Kui aatomid asuvad gaasis tihedalt lдhestikku, siis nad pхrkuvad soojusliikumise tхttu ja need pхrked moonutavad orbiitide kuju. Tulemusena nihkub igas moonutatud orbiidiga aatomis energianivoo veidi ja kogu gaas ei kiirga enam mitte joonspektrit teatud kindlate lainepikkustega, vaid nn. ribaspektrit, kus jooned on laienenud ribadeks.

Joonis: ribaspektri nдidis kхrgrхhu elvhхbeauru-lambis.

Tahkes kehas asuvad aatomid nii tihedasti koos, et iga ьksiku aatomi energianivoo muutub vдga ebamддraseks. Kui tahket keha, nдiteks metalli vхi sьtt kuumutada, siis see hakkab valgust kiirgama. Madalamal temperatuuril on see kiirgus pikemalainelisem, nдhtavaks muutub see tumepunasena kusagil 600 °C juures. Temperatuuri edasisel tхstmisel hakkab domineerima jдrjest lьhemalainelisem kiirgus, muutudes silmale nдhtavalt kollakaks, valgeks (nagu Pдike) vхi isegi sinakaks (nagu kuumad tдhed). Niisugustes kuumutatud tahketes kehades on kiirguse energiaallikaks aatomite (molekulide) soojusliikumine, mis pхrgetel ‘ergastab’ elektrone, lьkates neid ajutiselt kхrgematele niivoodele, kust nad siis kohe jдlle alla kukuvad, kiirates kvante. Kuna aatomid asuvad vдga tihedalt, siis on ka lubatud energianiivood vдga tihedalt ligistikku, nii et igasuguse energiaga kvantide kiirgumine on vхimalik. Sellest tulenevalt on kuumutatud tahkete kehade kiirgus pideva spektriga. Kuumutatud gaasides aga kiirgub ikkagi joon- vхi ribaspekter. Nagu цeldud, on madala temperatuuriga kehades lьhilaineliste (kхrge energiaga) kvantide kiirgumine vдhetхenдone ja neis domineerivad pikemalainelised kvandid. Nдiteks Maa keskmine temperatuur on umbes 290 °K ja Maa kiirgab kosmosesse infrapunast kiirgust lainepikkuse maksimumiga umbes 10 m. Seevastu Pдikese temperatuur on umbes 6000 °K ja tema kiirgusmaksimum on 0.5 m lainepikkuse juures. Hххglampide niidi temperatuur on umbes 2000-3000 °K ja kiirgusmaksimum umbes 1 m juures. Nagu nдeme, on silm kohastunud nдgema just selles spektripiirkonnas, kus Pдike kiirgab maksimaalselt. Seevastu hххglampide spektrist suurt osa silm ei nдe. Sellepдrast ongi hххglampide valgusviljakus (valguslik kasutegur) suhteliselt madal (10-20%).

Joonised: Pдikese ja hххglampide spektri nдited.

Mateeria lainelised omadused: kvantmehaanika kui lainemehaanika

Uurides musta tahke keha kiirgusspektrit leidis Max Planck (1900), et see vastab energia juhuslikule jaotusele ainult tingimusel, et mitte igasugune kiirgumine ei ole vхimalik, vaid ainult kiirgumine portsjonite, kvantide kaupa, mille igaьhe energia ja vхnkesagedus on seotud jдrgmiselt:

kus  on vхnkesagedus ja h nn. Planck’i konstant, mis on ьks looduse universaalsetest konstantidest. Veidi hiljem leidis Alber Einstein oma ьldrelatiivsusteooriast et elementaarosakeste (prootonite, elektronide jne.) mass ja energia on omavahel seotud:

kus c on valguse kiirus. Nendest kahest valemist jдrgneb, et kvandil (footonil) kui elektromagnetiliste lainete ‘paketil’ peab siiski olema ka mingi mass

.

Seega on footon kahesuguste omaduste, nii lainepakett kui ka massiga osakene. De Brouglie (1927) arendas seda mхtet edasi, et absoluutselt iga osakene, millel on mass, omab samaaegselt ka lainelisi omadusi. Kui eelmine valem teisendada, saame

,

kust

See valem on kirjutatud footonite jaoks, mis alati liiguvad kiirusega c ja ei saa kunagi liikuda vдiksema kiiruega. De Brouglie aga oletas, et massi ja lainepikkust siduv valem kehtib iga osakese kohta, ka nende kohta, mis vхivad seista paigal vхi liikuda valguse kiirusest vдiksema kiirusega. Sellisel juhul valem sisaldaks valguse kiiruse asemel osakese (keha) tegelikku kiirust

Vaatame, mida see hьpotees tдhendaks Bohri aatomimudelis tiirleva elektroni kohta, milline oleks selle ‘lainepikkus”?

Elektroni kineetiline energia orbiidil, millele vastas tдisarv n oli

Avaldades siit kiiruse v saame

ja vastava elektroni lainepikkuse

Vхrdleme elektroni lainepikkust Bohri raadiusega

ehk

Viimases valemis lisasime raadiusele indeksi n nдitamaks, et tegu on just nimelt tдisarvule n vastava raadiusega. Valem ise aga nдitab, et tдisarvule n vastavale orbiidile mahub just nimelt n tдislainet. Tuletame meelde, et kхrgemal orbiidil on elektroni kiirus vдiksem, seega lainepikkus suurem. Siit jдreldub, et orbiidi ьmbermххt (ka raadius) suureneb kahel pхhjusel: elektroni lainepikkus suureneb ja orbiidile paigutatavate lainete arv ka suureneb. Siit tulenebki vдliste orbiitide lдbimххdu kiire kasvamine kui elektroni summaarne energia hakkab nullile lдhenema (elektron kaugeneb tuumast vдga kaugele).

Lainemehaanika algmed

Lained on ruumis edasilevivad vхnkumised. Edasilevimine tuleb sellest, et mingis ruumipunktis toimuv muutus kutsub esile sarnase muutuse naaberpunktis, aga veidi hiljem. Elektroni orbiidil ringlevad samuti lained, kuid kummas suunas? Et eelissuunda ei ole, siis levivad lained mхlemas suunas liikudes vastamisi. Kui seejuures on veel orbiidil tдisarv laineid, siis tekib resultatiivselt nagu laine seiskumine, vastassuunalised levimised kompenseeruvad. Seega, elektron aatomi orbiidil moodustab seisva laine. Ьldse, madalama potentsiaalse energiaga ruumiosas kinnihoitavad lained moodustavad alati seisvad lained, ja seda madalama potentsiaaliga ruumiosa kutsutakse ‘potentsiaaliauguks’. Gravitatsioonivдljas on kahemххtmeline potentsiaaliauk nдiteks kaev, kus ergastatud lained peegelduvad kaevu seintelt ja moodustavad veepinnal seisvaid laineid. Kolmemххtmeline elektripotentsiaali auk on nдiteks tuuma ьmbrus, mis hoiab elektrone kinni kui seisvaid laineid. Seisvat lainet kirjeldav matemaatika on lihtsam kui levivat lainet kirjeldav, sest ajalisi muutusi ei esine ja vastav diferentsiaalvхrrand aega ei sisalda.

Juba varem leidsime, et vхnkumiste vхrrand on teist jдrku diferentsiaalvхrrand. Nдiteks massi ajaliste vхnkumiste jaoks oli pхhiprintsiip, et tasakaalu poole suunatud jхud on vхrdeline hдlbega tasakaalupunktist, seega kiirendus on vхrdeline hдlbega tasakaalupunktist. Ruumilise vхrrandi pхhimхte on sama, ainult jхu ja kiirenduse mхistet siin kasutada ei saa:

Vхrrand on ьhemххtmeline, kus mingi suurus A lainetab x-telje suunas. Kui lainetus vхib esineda kolmes ruumisuunas, siis kirjutatakse lainefunktsiooni lьhidalt

, kus

Asendades saame

E_t lainete oluliseks parameetriks on mitte kiirus, vaid energia, siis avaldame kiiruse kineetilise energiaga kui koguenergia ja potentsiaalse energia vahega:

ja

See on kvantmehaanika pхhivхrrand, nn. Schrцdingeri vхrrand, ja tema kolmemххtmeline lahend esitabki lainefunktsiooni, mis kirjeldab elementaarosakest kui seisvat lainet potentsiaaliaugus. Viimane tingimus tдhendab, et lahend on olemas kui koguenergia on negatiivne. Selle vхrrandi ruumiline (kolmemххtmeline) lahend esitabki elementaarosakese kui vхnkumise. Lainetav osakene vхib esinaeda teatud tхenдosusega igas ruumipunktis. Osakese esinemise tхenдosuse tihedust kirjeldab lainefьnktsiooni ruut ja tema leidmise tхenдosus ruumiosas dV on . Tuuma ьmber tiirleva elektroni korral on koguenergia mддratud Bohri aatomi jaoks leitud tingimustega ja lainete arv mingil energianivool on vхrdne tдisarvuga n, mis iseloomustas seda energianivood.

Oluline on tдhele panna, et Schrцdingeri vхrrand ei sisalda aega, seega elektroni leidmise tхenдosus mingis punktis on kogu aeg ьks ja seesama, elektron asub kogu aeg mingis piiratud ruumiosas. Elektroni hoiab selles ruumiosas elektrivдli, mille potentsiaal on negatiivne, st., mis tхmbab elektroni. Tхmbavat, madalama potentsiaaliga (elektroni potentsiaalse energiaga) ruumiosa nimetatakse ‘potntsiaaliauguks’, analoogia pхhjal auguga maapinnas, kuhu sissekukkunud kehad sealt ise enam vдlja ei pддse. Tuumale lдhenenud elektron ongi kukkunud potentsiaaliauku. Joonisel on nдidatud lihtsaim ьhemххtmelise potentsiaaliaugu juht, kus vдljaspool ‘auku’ on potentsiaal ьhtlaselt kхrgem ja augus sees ьhtlaselt madalam, tuletades meelde nдiteks kaevu maapinnas. Elektroni lainetamist niisugune potentsiaaliaugus on matemaatiliselt lihtne arvutada, sest summaarne energia E^-E_p on augus sees kхikjal sama ja vхrrand (???) laheneb sinusoidaalsete vхnkumistena. Tдhtis on, et vхrrand ei lahene mitte igasuguse energiavддrtuse puhul, vaid ainult niisuguste puhul, mis vхimaldavad augu mххtmesse paigutada tдisarvu poollaineid. Sisuliselt tдhendab see tingimus, et augu servas, kus potentsiaal jдrsult tхuseb, peab elektroni leidmise tхenдosus olema null (vt. joonist). Siit tulenebki potentsiaaliaugus asetseva lainetava elektroni lubatud energia kvantiseeritus, mille tulemusena vхrrand laheneb ainult teatud tдisarvuliste kordajatega n seotud energiavддrtuste jaoks. Kvantarvu n mхte on sama, mis Bohri aatomis, ta seob elektroni lubatud energia Plancki konstandi h kaudu vхnkesagedusega, lainepikkusega, mis tдpselt mahub ‘potentsiaaliauku’.

Kuigi elektroni leidmise tхenдosus mingis ruumipunktis on konstant, sхltub see oluliselt, millist ruumipunkti me vaatleme. Nдiteks potentsiaaliaugu serval on see null ja on null iga poollaine jдrel. Poollaineid on seda rohkem, mida kхrgem on elektroni energia. Muide, tдpselt null on elektroni leidmine seina-ддres ainult siis kui ‘sein’ on lхpmatu kхrge, st. potentsiaaliauk on vдga sьgav, vдga madala pontentsiaaliga. Madalasse seina tungib elektron veidi sisse, ja kui see sein ei ole mitte vдga paks, siis ulatub lektroni lainetus veidi ka naaberauku (Joonis tunnelefekti kohta). Seega, elektron, mis asub piiratud madala potentsiaaliga ruumiosas vхib siiski teatud vдikese tхenдosusega sattuda ka naaberauku, kuigi nende vahel on sein. Seda nдhtust nimetatakse tunneleffektiks ja sellel on bioloogias suur tдhtsus elektroni ьlekandeprotsessides: Kui lдhestikku asuvad kaks aatomit, siis vхib elektron kanduda ьle ьhelt teisele, kuigi vahepeal on kхrge potentsiaaliga ruumiosa (‘sein’).

Nagu цeldud, on Schrцdingeri vхrrand lihtne lahendada ja annab siinusekujulised lained ainult siis kui summaarne energia on potentsiaaliaugus konstantne. Aatomituuma ьmbruses aga on potentsiaaliauk hoopis sьgava lehtri kujuline, langedes pццrdvхrdeliselt kaugusega tuumast. See teebki vхrrandi lahendamise keeruliseks ja annab tulemuseks mitte konstantse lainepikkusega siinuselised lained, vaid pidevalt lьheneva lainepikkusega lained, seda lьhema lainepikkusega, mida madalam on potentsiaal antud kaugusel. Kirjutame need lahendid vesiniku aatomi jaoks siiski vдlja, sest nendest tulenevad kvantarvud, n, l, ja m, mis mддravad elektronide vхimaliku paigutuse aatomis.

Elektroni lainetus vesiniku aatomis

Schrцdingeri vхrrandi lahendamine ьmber tuuma asetseva elektroni jaoks on eelmises punktis vaadeldust keerukam kahel pхhjusel: esiteks, lahend ei ole mitte ьhemххtmeline, vaid kolmemххtmeline ja potentsiaaliauk ei ole mitte sileda pхhjaga, vaid lehtrikujuline. Kuna probleem on ilmselt tsentraalsьmmeetriline, siis on otstarbekas Schrцdingeri vхrrand kirjutada ruumilistes polaarkoordinaatides r, ja Tuletame meelde, et rist-ja polaarkoordinaadid on omavahel seotud jдrgmiselt:

ja

Asendades need Scrцdingeri kolmedimensionaalsesse vхrrandisse saame matemaatiliselt jдrgmise ьldvхrrandi elektroni kohta vesiniku aatomis

Siin m_e on elektroni mass. Selle vхrrandi lahendamine ьldjuhul ei olegi vхimalik, vaid vaja on teha teatud eeldusi. Nimelt eeldatakse, et kolmemххtmeline lainefunktsioon avaldub kolme ьhemххtmelise lainefьnktsiooni korrutisena:

See on fььsikaliselt vдga oluline koht, eeldades, et vхnkumised kolmes eraldi ruumi suunas toimuvad sхltumatult, ьksteist mхjutamata. Elektroni summaarne energia kujuneb vдlja kolmesuunaliste vхnkumiste energiate summana. Rakendades seda eeldust ja tehes matemaatilised teisendused saame kolm eraldi vхrrandit, igaьks oma koordinaadis toimuvate vхnkumiste kohta:

Nendes vхrrandites m ei ole elektroni mass vaid mingi tдisarv, samuti nagu 

Esimene kolmest vхrrandist lahendub vдga lihtsalt. Nagu oodatud, on vхnkumised polaarnurga suunas siinuselised, sest asimuudi suunas on ju potentsiaalne energia konstantne. Tдisarv m on siin lubatud energiat mддrava kvantarvu rollis.

Samuti annab siinuselise lahendi teine vхrrand, sest ka polaarnurga suunas on potentsiaalne energia konstantne. Siin on aga lahend keerukam, sest sisldab kahte kvantarvu, m ja  Keerukaim lahend on aga raadiusesuunaline, sest siin on potentsiaalne enegia muutlik, pццrdvхrdeline raadiusega. Ometi onkasee lahendatud ja leitud tingimused kvantarvu n jaoks, mille puhul lahend on olemas (lubatud energiate vдartused).

Ьlatoodud vхrrandites on kvantarvud esitatud siiski keerukamal kujul kui lihtsas Schrцdingeri vхrrandis. Pхhjus on selles, et, nagu mainisime, on elektroni summaarne energia nььd mддratud kolme energia summaga, vastavalt igas koordinaadis toimuvale vхnkumisele. Keemiliste ja fььsikaliste protsesside jaoks on aga tihti kхige tдhtsam summaarne energia, pealegi vхimaldaks ьhe summaarset energiat vдljendava kvantarvu sissetoomine siduda kolmemххtmeliselt vхnkuva elektroni ьhemххtmeliselt tiirleva elektroni kvantiseeritud energiaga, nii nagu see oli Bohri aatomis. Seega, tuleks tuua sisse peakvantarv n, mis nдitab kхigis koordinaatides toimuvate vхnkumiste energiate summat, ja kхrvalkvantarvud, mis nдitavad, kui suur osa summaarsest energiast on jaotunud ьhe vхi teise koordinaadi suunas. Niisuguset loogikast tulenebki, et vхrrandid ja jaoks sisaldavad juba ise mingeid tдisarve, mis on allutatud tдisarvule n, mis ei sisaldu R vхrrandis vaid tuleneb selle lahenduvuse tingimusena. See alluvuste jada on jдrgmine:

Tдisarv n, peakvantarv, vхib omada tдisarvulisi positiivseid vддrtusi alates nullist: n=0, 1, 2, 3, ...

Fььsikaliselt, n nдitab vхngete (lainete) koguarvu raadiuse r ja tхusunurga suunas kokku.

Valemis ??? kus l vхib omada positiivseid tдisarvulisi vддrtusi 0, 1, 2, 3, ...n-1. Suurust l nimetatakse orbitaalkvantarvuks ja see nдitab, mitu vхnget on tхusunurga suunas. Vхnked asimuudi suunas ei muuda elektroni energiat muidu kui aatom ei asetse vдlises magnetvдljas. Seetхttu ei olegi asimuudisuunalisi vхnkeid energiat mддravate vхngete koguarvu sisse loetud ja kvantarvu m nimetatakse magnetkvantarvuks. Tema lubatud vддrtused on allutatud orbitaalkvantarvu l vддrtustele ja vхivad olla vahemikus –l..0..+l.

Seega, seoses sellega, et ruum on kolmemххtmeline, on elektronil kolm kvantarvu, mis iseloomustavad vхngete arvu iga koordinaadi suunas. Selleks, et ьks kvantarv iseloomustaks vхimalikult hдsti koguenergiat, on vхrrandid lahendatud nii, et peakvantarv n vastab kahe koordinaadi raadiuse ja tхusunurga suunas toimuvate vхngete koguarvule.Asimuudi suunas toimuvad vхnked ei mхjuta elektroni koguenergiat muidu kui aatom ei asetse vдlises magnetvдljas, seetхttu on magnetkvantarv m summast vдlja jдetud. Peame meeles jдrgmised reeglid:

n=1,2,3,4,5....

l=0, 1, 2 ...(n-1)

m=0, ±1, ±2, ...±l.

Peakvantarv n vхib omada positiivseid tдisarvulisi vддrtusi.

Orbitaalkvantarv ehk kхrvalkvantarv l vхib omada tдisarvulisi vддrtusi alates nullist kuni ьhe vхrra vдiksema vддrtuseni kui n. See tдhendab, et tхusunurga suunas ei pruugi toimuda ьhtegi vхnget, vхib toimuda ьks, kaks jne, vхnget, kuid vдhemalt ьks vхnge peab jддma raadiuse suunale, muidu kaotaks aatom raadiusemххtme, mis on ju ainuke pikkuse dimensiooniga suurus kolme polaarkoordinaadi hulgas.

Magnetkvantarv m on allutatud kхrvalkvantarvule ja vхib omada vддrtusi alates –l lдbi nulli kuni +l –ni. Keemikud on mugavuse mхttes tдhistanud kvantarvude vддrtusi ka tдhtedega:

Peakvantarvu jaoks: K(n=1); L(n=2); M(n=3); N(n=4) jne

kхrvalkvantarvu jaoks: s(l=0); p(l=1); d(l=2) f(l=3).

Joonisel on illustreeritud rariaalkomponendi R kuju sхltuvalt peakvantarvu n ja kхrvalkvantarvu l vдartustest. Kui n=1 siis on elektronil ainult ьks laine ja see peab olema raadiusesuunaline (l=0). Laine ei ole aga siinuseline, vaid muutub vдga kхrgeks ja teravaks tuumale lдhedases ruumiosas, seoses sellega, et seal potentsiaaliauk kukub kiiresti sьgavaks. Kui n=2 ja l=0, on raadiusesuunas kaks lainet, kui n=3 ja l=0, on raadiusesuunas kolm lainet. Nььd on eriti selgesti nдha, kuidas potentsiaali langemine tuuma suunas pхhjustab lainepikkuse pidevat lьhenemist. Pange tдhele ka, kui kaugele aatomi tsentrist elektroni lained ulatuvad: ьhe vхnke puhul umbes 4 A (A=Ongstrцm, = 10^-10 m= 0.1 nm), kahe vхnke puhul 6A ja kolme puhul 12 A. See arv kahekordselt on vesinikuaatomi lдbimххt sхltuvalt sellest missugusel energianivool elektron asub (kas n=1,2 vхi 3). Seega, pхhisesundis n=1 katab aatomi lainefunktsioon diameetri umbes 8A, kuid ergastatud seisundis (n=2 vхi 3) kuni 20 A. Kui l =1, on raadiuse suunas ьks vхnge vдhem, kui l=2 siis kaks vхnget vдhem, kuid aatomi ьldmххt sellest ei muutu, vaid raadiusesuunaline lainepikkus vastavalt suureneb. (Kuidas see ьhtib vдitega, et muutujate lahutamine tдhendab eeldust, et vхnked kolmes koordinaadis on sхltumatud??).

Eelmises lхigus leidsime, et elektroni leidmise tхenдosuse tihedust esitab lainefunktsiooni ruut (lainefunktsioon vхib olla ka negatiivne, kuid ruut on ikka positiivne). Tхenдosuse tihedus korrutatud vastava ruumi suurusega annab elektroni leidumise tхenдosuse selles ruumiosas. Juhul kui l=0 on lainefunktsioon maksimaalne kohal r=0, seega tuuma vahetus ьmbruses on elektroni tхenдosustihedus suurim. Kuna aga tuum ise on tohutult pisike (ruum vдheneb raadiuse kuubiga!) siis elektroni leidumise tхenдosus otse tuumas on ikkagi vдga-vдga vдike, nagu nдha ka vastavalt jooniselt. Sхltuvalt raadiusesuunaliste leinete arvust moodustab elektron tхenдosuspilve millel on ьks, kaks, kolm vхi enam suurma tihedusega kohta, tuumast keskmiselt seda kaugemal, mida suusrem on n. See langeb kokku Bohri aatomi analььsil saadud tulemusega, et elektron vхib tiirelda kindlatel kaugustel, seda kaugemal, mida suurem on energia, kuid lainemehaanikast nдeme, et elektroni orbiit ei ole mitte kindel joon vaid muutuva tihedusega tхenдosuse pilv.

Pilt lдheb veelgi huvitavamaks kui katsume lainefunktsiooni kolme koordinaadi suunalisi komponente korraga ette kujutada, seega aatomi ruumilist pilti ette kujutada. Aatom on lihtne kerakujuline ainult juhul kui vхnked on ainult raadiuse suunas (l=0 ehk s-orbitaalid). Kui l=1 (p-orbitaalid) on tхusunurga suunas ka vхnge, mis moonutab kerakujulise tхenдosuspilve kaheksakujuliseks. See kaheksakujuline moodustis vхib ruumis paikneda kolmel viisil, vastavalt m=-1,0+1, nii nagu nдidatud joonisel. Kui vдlist magnetvдlja ei ole, siis need erinevad paiknemisviisid koguenergiat ei mхjuta. Magnetvдlja olemasolul aga mхjutavad ja vastavalt jagunevad spektrijooned kolmeks. Siit siis kolmanda kvantarvu nimetuski - magnetkvantarv. Kui l=2 ja tхusunurga suunas on kaks vхnget, tekivad veelgi kummalisema kujuga moodustised viiel erineval moel. Seega, joonisel ?? toodud raadiusesuunalised tхenдosuspilved l vддrtuste 1 ja 2 jaoks on kehtivad nendes ristlхigetes kus raadiusesuunaline tхenдosus on maksimaalne.

Milleks me bioloogilises fььsikas tungime nii sьgavale kvantmehaanikasse? Selleks, et mхista, et ainult tдnu aatomite lainelisele ehitusele on elu vхimalik. Elusstruktuurid moodustuvad keerukast aatomite sьsteemist, mis seostuvad ьksteisega kindlates jдrjestustes ja kindlates suundades. Ruumiline struktuursus on ju valgu molekuli peamine omadus. Kui kхik valku moodustavad aatomid oleksid kujult ьmargused nagu herneterad (nдit. nagu Bohri aatomi ringikujulised orbiidid), siis ei oleks aatomite sidumine kindlates suundades vхimalik. Ei ole ju herneteradest vхimalik kokku panna keerulisi ehitisi, kьll on see aga vхimalik nдiteks Logo elementidest, mis ei ole ьmargused. Isegi lihtne vee molekul nдeks siis hoopis teistsugne vдlja kui aatomid oleksid ьmargused. Tдnu sellele, et p ja d orbitaalid (l=1 ja 2) moodustavad ruumilis kujundeid millel on vдljavenitused kindlates suundades, haakuvad nendega teiste aatomite p- ja d-elektronid moodustades kindlasuunalisi sidemeid. Niimoodi, ьksteisest kindlatel kaugustel ja kindlates suundades paigutatud aatomitest ehituvad ьles elusaine molekulid, nendest omakorda rakud ja koed ja organismid. Aatomite paigutus molekulis ja molekulide omavaheline haakumine mддrabki selle kuidas elusaine ьles ehitatakse. Seega, elu olemust saab mхista ainult mхistes kvantmehaanika pхhialuseid.

Mitme elektroniga aatomid

Kuigi vesinik on ьks tдhtsamaid looduses esinevaid elemente, on bioloogias siiski tдhtsad veel sьsinik, lдmmastik, hapnik ja veel mitmed teised elemendid. Sьsinikul on kuus, lдmmastikul seitse ja hapnikul kaheksa elektroni. Kvantmehaanilist lainevхrrandit saab aga tдpselt lahendada ainult kahe keha jaoks, seega ьhe elektroni ja ьhe prootoni jaoks. Mitme elektroniga aatomites on oluline veel elektronide omavaheline mхju ja selle tдpne arvestamine ei ole vхimalik. Meie siin unustame elektronide vastatstikuse mхju ja kujutame ette, missugune oleks mitme elektroniga aatom kui elektronid omavahel ьksteist ei mхjutaks vaid kхik oleksid vastasmхjus ainult tuumaga.

Kui elektrone on mitu, on ka prootoneid mitu ja vastavalt on tuuma laeng suurem ja elektriline kьlgetхmme tugevam. Seega on tuuma ьmbruses ‘potensiaaliauk’ sьgavam (potentsiaalne energia langeb kiiremini) ja pхhisesundi n=1 lainefunktsioon koondub tuumale lдhemale. Samuti on tuumale lдhemal ka teised, kхrgemale energiale vastavad orbitaalid. Kuidas aga paigutuvad elektronid, kas kхik ьhel, kхige madalama energiaga orbitaalil? Ei, selgub, et tдpselt ьhesuguse lainefunktsiooniga elektrone saab aatomis olla ainult ьks. See on nn. Pauli printsiip, mille kohaselt elektronid jaotuved erinevate energianivoode vahel tдites need madalamast kхrgemani. Seega peaks igale orbitaalile mahtuma ainult ьks elektron, mis on iseloomustatud kolme kvantarvuga n, l, m. Selgub aga, et elektronil on veel ьks omadus, mis lisab veel ьhe kvantarvu, spinn s, mis kirjeldab elektroni sisemine pццrlemise suunda. Kuigi on raske ette kujutada kuidas ьks tхenдosuspilv veel sisemiselt iseenese ьmber pццrleb nagu vдrten (inglise keeles “spin”) ilmneb see sellest, et elektronil on magnetmoment. Iga elektron on nagu pisike magnetike, mis vхib olla suunatud tuuma magnetvдlja suhtes (ka tuumal on magnetmoment) kahes erinevas suunas. Vastavatest vхrranditest tuleneb selle kvantarvu vддrtuseks kas +1/2 vхi –1/2. Ьhele ja samale orbitaalile mahub seega kaks elektroni, ьks spinniga =1/2 ja teine spinniga –1/2. Nььd on meil kдes kхik tingimused, et asuda ьles ehitama paljuelektroniliste aatomite elektronkatte struktuuri: elektrone tuleb juurde lisada orbitaalidele jдrjekorras, alates madalamate energiatega seisunditest kхrgemate suunas, mahutades igale orbitaalile mitte rohkem kui kaks elektroni. Teeme selle programmi lдbi kuni teise perioodi (n=2) kхigi nivoode tдitumiseni, sest see kaasab ka bioloogiliselt tдhtsad elemendid C, N, O.

H: n=1;l=0;m=0;s=1/2 ьks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne

He: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2 kхik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas

Li: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=0;m=0;s=1/2 ьks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne

Be: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=0;m=0;s=1/2

n=2;l=0;m=0;s=-1/2 kхik elektronid paardunud spinnidega, keemiliselt inertne

B: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=0;m=0;s=1/2

n=2;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=1;m=-1;s=1/2 ьks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne

C: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=0;m=0;s=1/2

n=2;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=1;m=-1;s=1/2

n=2;l=1;m=0;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne

N: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=0;m=0;s=1/2

n=2;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=1;m=-1;s=1/2

n=2;l=1;m=0;s=1/2

n=2;l=1;m=1;s=1/2 kolm paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne

O: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=0;m=0;s=1/2

n=2;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=1;m=-1;s=1/2

n=2;l=1;m=-1;s=-1/2

n=2;l=1;m=0;s=1/2

n=2;l=1;m=1;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne

F: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=0;m=0;s=1/2

n=2;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=1;m=-1;s=1/2

n=2;l=1;m=-1;s=-1/2

n=2;l=1;m=0;s=1/2

n=2;l=1;m=0;s=-1/2

n=2;l=1;m=1;s=1/2 ьks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne

Ne: n=1;l=0;m=0;s=1/2

n=1;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=0;m=0;s=1/2

n=2;l=0;m=0;s=-1/2

n=2;l=1;m=-1;s=1/2

n=2;l=1;m=-1;s=-1/2

n=2;l=1;m=0;s=1/2

n=2;l=1;m=0;s=-1/2

n=2;l=1;m=1;s=1/2

n=2;l=1;m=1;s=-1/2 kхik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas

Ьlaltoodud orbitaalide tдitumise jдrjekorrast nдeme, et kхigepealt tдituvad orbitaalid ьhe elektroniga ja alles nende vхimaluste ammendumisel asub teine, vastupidise spinniga elektron samale orbitaalile.

Illustratsiooniks toome tдieliku perioodilise sьsteemi tabeli, mis nдitab orbitaalide tдitumise jдrjekorda ka kхrgema n vддrtuse jaoks kui n=2. Pхhimхte on see, et s-orbitaalidele (l=0) mahub kaks elektroni 2x(m=0); p-orbitaalidele (l=1) mahub kuus elektroni 2x(m=-1,0+1); d-orbitaalidele (l=2) mahub kьmme elektroni (m=-2,-1,0,1,2). Aga juba alates komanda perioodi lхpust tekivad ebaregulaarsused, mis on pхhjustatud sellest, et vхnked tхusunurga suunas on mхnevхrra energiarikkamad kui vхnked raadiuse suunas. Seetхttu pдrast Argooni (Ar) oleks oodata elektronide asumist 3d nivoole, kuid K ja Ca aatomites tдituvad enne hoopiski 4s orbitaalid, mis asuvad energeetiliselt madalamal kui 3d orbitaalid. Alles seejдrel tдituvad jдrjekorras 3d orbitaalid, jдttes 4s orbitaalile kogu aeg 2 (vхi ьks ) elektroni. Seetхttu omab terve rida aineid Sc kuni Zn –ni keemiliselt sarnaseid metallilisi omadusi ja terve see rida kannab ьhist nimetust muldmetallid. Samasugused ebaregulaarsused korduvad veelgi enam kхrgemate n vддrtuste puhul. Bioloogias on olulised elemendid Fe, Cu, Mn, mis vхivad kergesti loovutada ьhe vхi kaks vдliskihi (n=4) elektroni, kuigi eelmises, 3d kihis on veel vabu orbitaale. Neid viimaseid, vabu 3d orbitaale, on loodus osanud kasutada nende aatomite sidumiseks valkudega, et neid paigutada kindlatele kohtadele ja seal fikseerida, samal ajal kui n=4 kihi elektrone saab aatom loovutada vхi juurde vхtta. Seetхttu on nimetatud metallid kхige tььpilisemad elektroni ьlekandjad, olles kinnistatud nn. tsьtokroomidesse (Fe) vхi teistesse valkstruktuuridesse (Cu, Mn).

Huvitaval kombel on plaatina ja kulla (Pt, Au) vдliskihi struktuur sarnane kaaliumi (K) omaga. Viimane on aga keemiliselt vдga aktiivne, samal ajal kui kuld vхib kolmsada aastat merevees pьsida tuhmumata.

Molekulide moodustumine – kovalentne side aatomite vahel.

Orbitaalil ьksi asuv elektron omab magnetmomenti ja pььab paarduda teise, vastassunalise spinniga elektroniga, nii nagu kaks pulkmagnetit tхmbuvad kui pхhja- ja lхunapoolused satuvad vastatstikku. Seetхttu on keemiliste elementide aatomid ja ka molekulid, mille koosseisus on paardumata elektrone, keemiliselt aktiivsed ja neid nimetatakse radikaalideks. Kui lдhedal juhtub olma teine aatom, millel vaba elektron on vastasmдrgilise spinniga, vхiksid need kaks elektroni pхhimхtteliselt paari moodustada, kuid selleks peavad nad enne teineteisele kьllat ligidale saama. Probleem on selles, et dipoolsed magnetid (kahepooluselised) magnetid tхmbuvad piisavalt tugevasti ainult vдikeselt kauguselt, vдlised elektronid aga tхukuvad omavahel juba suurelt kauguselt. Seetхttu molekuli moodustumiseks peavad elektronkatted alguses lдhenedes isegi teatud mддral tхukejхudude poolt moonutatud saama, enne kui tхmbuvad jхud piisava tugevuse saavutavad. Molekuli moodustumine on kvantmehaaniliselt vдga keerukas protsess ja vastavaid lainevхrrandeid tдpselt lahendada ei ole niikuinii vхimalik. Nдiteks on niisuguses kahe paardunud elektroni lainefunktsioonis elektroni maksimaalne tхenдosustihedus otse tuumade vahel. Seega, lisaks spinnide kui magnetite vastastikusele tхmbele on oluline veel mхlema tuuma tхmme nende vahel asuva elektroni suhtes. Meie kursuse piires on piisav mхista, et keemilise sideme kahe aatomi vahel saavad moodustada ainult kaks paardumata elektroni, millel on vastassuunalised spinnid, ja paardunud elektronidest tingitud tugev aatomitevaheline tхmme on mхjus ainult vдikestel kaugustel.

Vaatleme molekuli moodustumist energeetilisest aspektist. Kui kaks aatomit asuvad kaugel, vхib nende omavahelise mхju potentsiaalse energia lugeda nulliks (mхju ei ole). Lдhenedes hakkab tunda andma kхigepealt vдliste elektronide omavaheline tхukumine. Seda tхukejхudu ьletades potentsiaalne energia suureneb, muutudes positiivseks. Potentsiaalse energia suurnemine toimub loomulikult kineetilise energia vдhenemise arvel, s.t. molekulid lдhenevad inersi tхttu ja lдhenedes kiirus aeglustub. Kui algkiirus oli kьllalt suur vхivad elektronid ьksteisele nii lдhedale sattuda (potentsiaalne energia saavutab maksimumi), et antiparalleelsete spinnidega elektronide tхmme hakkab domineerima Seevastu elektronpilvede tхukumine isegi vдheneb, sest elektronid asuvad nagu ьksteise sees, orbitaalid osaliselt kattuvad. Tхmbejхu sfддris hakkab potentsiaalne energia uuesti kahanema, kineetiline seevastu aga suurenema. Tuumade teatud omavahelise kauguse puhul saabub potentsiaalse energia miinimum, aga muidugi uuesti kineetilise energia maksimum. Kui selles seisus aatomipaar energiat дra ei anna, siis stabiilset molekuli ei moodustu. Pхrgates naabermolekuliga vхi energiakvanti kiirates saab ьlearusest energiat vabaneda ja siis stabiliseerub potentsiaalse energia miinimumi seisund. Pange tдhele, et vabanenud energia muutub just kogu molekuli energiaks, mitte uuesti nendesamade aatomite kineetiliseks energiaks, mis reaktsiooni astusid. Reageerivad aatomid on oma kineetilise energia abil ьletanud nn. aktivatsioonienergia barjддri ja moodustanud stabiilse molekuli, vabanedes seejuures ьlearusest energiast. Uus energiamiinimum, mis vastab molekuli olekule, vхib olla kas madalam vхi kхrgem kui aatomite esialgne potentsiaalse energia nivoo (null). Kui lхppnivoo on madalamal kui algnivoo, siis selles reaktsioonis vabanes energiat (ka see muutus molekulide liikumise energiaks, soojuseks). Kui lхppnivoo on kхrgem kui algnivoo, siis reaktsioonis kokkuvхttes neeldus kineetilist energiat, s.t. osa aatomite kineetilisest energiast ei muutunud mitte molekulide kineetiliseks energiaks, vaid jдi molekulisiseseks potentsiaalseks energiaks. Niisuguse reaktsiooni tulemusena segu jahtub, molekulide kineetiline energia vдheneb.

Ьlaltoodud mudel ei kehti mitte ьksne molekuli moodudstumise puhul aatomitest vaid ka teiste keemiliste reaktsioonide puhul, mis toimuvad molekulide vahel ja mille tulemusena moodustuvad teised molekulid. Molekulide moodustumise puhul aatomitest on molekuli potentsiaalne energia tavaliselt negatiivsem kui reageerivate aatomite oma (energiat vabaneb). Molekulidevaheliste reaktsioonide puhul esineb nii negatiivsemat kui positiivsemat lхppseisundit.

Paarduda ja kovalentseid sidemeid moodustada vхivad omavahel nii erinevate aatomite s-p ja d-elektronid kui ka s, p, ja d elektronid kombinatsioonides. Vastavalt paarduvate elektronide orbitaali kujule vхivad sidemed kujuneda erineva pikkusega ja erinevate nurkade all. Lihtsaim juht, kui paarduvad kaks s-elektroni, annab tulemusena hantlikujulise molekuli, kus kaks kerakujulist orbitaali on osaliselt ьhinenud (Joonis). s-elektronide paardumisel moodustun nn. -side, millel ei ole kindlat suunda. p-elektronidel on kaheksakujulised orbitaalid ja need vхivad s-elektroniga paarduda otstest. Sel juhul on -side kaheksakujulise p-orbitaali otsa pikenduseks, suund on mддratud p-orbitaali poolt. p-orbitaalid vхivad omavahel paarduda kahel viisil, kas ka otstest (sel juhul on sideme nimetuseks ikkagi -side), vхi kьlgedelt. Viimasel juhul kutsutakse sidet -sidemeks. -sideme oluline omadus on see, et ta ei lase sidet moodustavaid aatomeid omavahel pццrelda, kuna side seda lubab. -sideme nдiteks s- ja p-orbitaali vahel toome vee molekuli, kus s-orbitaaliga vesiniku elektron on paardunud p-orbitaaliga hapniku elektroniga (joonis). -sidemete nдiteks toome lдmmastiku molekuli, milles N aatomites on kolm omavahel risti olevat paardumata p-orbitaali. Ьks neist paardub teise N aatomi p-elektroniga -sideme abil, kuna kaks paarduvad -sidemete kaudu, moodustades nii kolmekordse sidemega seotud (vдga stabiilse, raskesti lхhutava) molekuli.

Vхimalike kovalents-sidemete arv aatomis (aatomi vхimalik valents).

Aatomite pхhiseisundis (madalaimal energiatasemel) on nende kovalents vхrdne paardumata elektronide arvuga, mis oleks

H: 1

He: 0

Li: 1

Be: 0

B: 1

C: 2

N: 3

O: 2

F: 1

Ne: 0

Tegelikult aga ei ole valentssidemete arv alati niisugune ja vхib olla isegi muutlik sхltuvalt ьhenditest. See tuleneb asjaolust, et 2s elektronpaar ei ole mitte vдga tugevasti omavahel seotud ja termiline energia on juba vхimeline seda sidet lхhkuma, viies ьhe 2s elektronidest ьle 2p seisundisse. Selle tulemusena on nдiteks Be ja ka Ca tavaliselt kahevalentsed, kuigi mхlemad sisaldavad pхhiseisundis 2s paari ja mitte ьhtegi p-elektroni. Sama lugu on sьsinikuga: see peaks teoretiliselt olema kahevalentne (2s paar ja kaks paardumata 2p elektroni), kuid on peaaegu kхigis ьhendites, seljuures kхigis orgaanilistes hendites neljavalentne. Ьks 2s elektronidest ergastub kolmandale vabale 2p orbitaalile ja kхik neli teise nivoo elektroni osutuvad mittepaardunuiks. Kui niisugusest ergastusseisundist kiiresti moodustuvad valentssidemed, nii et lisandunud tekkinud sidemetest vabaneb rohkem energiat kui kulus ergastusele, siis on niisugune vahepealse ergastuse kaudu moodustunud neljavalentne lхppseisund energeetiliselt madalalmal tasemel kui ergastumata seisundist moodustunud kahevalentne lхppseisund. Kuna valentssidemete moodustumisel vabanenud energia vхib olla mitmesugune sхltuvalt moodustunus ьhenditest, siis ei ole ka aatomi valents mingi kindel suurus. Kьll aga on kindlam suurus maksimaalne vхimalik valents, mis on mддratud antud peakvantarvule n vastavate s ja p-nivoode ьldhulgaga, eeldades, et teatud ergastusseisundites vхivad need kхik olla asustatud paardumata elektroniga. Niisiis oleks teise perioodi elementide maksimaalne valents 4 (1 s ja 3p orbitaali) ja kolmanda perioodi elementidel 6 (1 s ja 5 p-orbitaali). Kahjuks tekib ka siin erandeid juhtudel kus kхrgema n vддrusega s-orbitaalid on energeetiliselt madalamad kui uhe vхrra madalama n-ga d orbitaalid.

Doonor-aktseptorside. Valents-sideme polariseeritus. Vesinikside.

Siiani oleme eeldanud, et kovalents-sideme moodustavad paardudes elektronid, millest ьks kuulub ьhele ja teine teisele aatomile. Kvantmehaanika lainevхrrandid aga ei tunnusta elektroni ‘kuuluvust’ vaid ainult tema kvantarve (energiaseisundeid). Seetхttu on peaaegu samavддrselt tхenдone juht, kus ьhe aatomi elektronpaar moodustab sideme kasutades teise aatomi tьhja orbitaali. Tдhtis on ainult, et kuuludes kahele aatomile korraga omaks see paar madalamat energiat kui kuuludes ainult ьhele aatomile. Niimoodi moodustuvad nn. koordinatsioonilised -sidemed, mis kasutavad nдiteks Fe aatomi vabu d-orbitaale, et fikseerida seda aatomit erilises valkstruktuuris, nn. tsьtokroomis, kus ta osaleb elektroni ьlekandjana. Tsьtokroomidel on bioenergeetikas esmajдrguline roll.

Kui elektronpaar on moodustanud valents-sideme ja kuulub seega kahele aatomile korraga, siis see ei tдhenda sugugi, et elektronid kuuluvad kummalegi aatomile vхrdselt. Aatomitel on omadus tхmmata kogu paari suuremal vхi vдhemal mддral omaenda orbitaalile, jдttes naabri orbitaali vastavalt tьhjemaks. Selle tulemusena omandab eltronpaari tхmbav aatom negatiivsema kogulaengu kui tema partner ja seda omadust iseloomustatakse aatomi elektronegatiivsusena. Hapnik on ьks elektronegatiivsemaid elemente (Tabel), seega ьhendites tхmbab ta elektronpaari tugevasti enesele, jдttes partneri orbiidi osa aega tьhjaks. Niimoodi kovalentne side polariseerub. Polariseerumise ддrmuslikuks vдljenduseks on nn. ioonside, kus ьks aatom on elektroni tдielikult teisele ьle andnud. Tььpilised ioonsidemega seotud ьhendid on leelismetallide soolad, nagu NaCl, kus Na on kaotanud elektroni ja muutunud positiivseks iooiks, Cl aga liitnud elektroni ja muutunud negatiivseks iooniks.

Kovalents-sideme polariseerituse ja doonor-aktseptor-sideme kombinatsioon on bioloogias ьlitдhtis vesinikside. Vesinikside moodustub positiivse osalaenguga aatomi vabaksjддnud orbitaali ja mingi teise aatomi olemasoleva elektronpaari kaudu. Nдiteks vees on positiivse osalaenguga aatomiks vesinik, millelt hapnik on elektroni osaliselt дra tхmmanud, ja millel seetхttu 1s orbitaal on osa aega elektroniga asustamata. Mingi vee molekuli hapnikuaatomi 2s vхi 2p elektronpaar vхib moodustada doonor-aktseptorsideme teise vee molekuli vesiniku osaliselt vaba orbitaali kasutades ajal mil see on vaba. Niimoodi saavad tekkida kovalentse iseloomuga sidemed erinevate vee molekulide vahel, mis neid seovad. Tulemusena on vesi vedelas olekus looduslikel temperatuuridel samal ajal kui tema analoog H₂S on gaasiline. Vee juurde pццrdume tagasi vedelike vaatlemisel. Teiste vesiniksidemete nдidetena bioloogias on valgu sekundaarstruktuuri kujundavad vesiniksidemed ja DNA kaksikspiraali kujundavad vesiniksidemed.

Orbitaalide hьbridisatsioon

Nagu цeldud, on sьsinik tььpiliselt neljavalentne, sest ьks tema 2s elektronidest ergastub 2p nivoole ja tekib neli paardumata elektroni, kolm 2p nivool ja ьks 2s nivool. Nende orbitaalid peaksid olema erineva kujuga, mistхttu ka koos sьsinikuga tekkinud molekulid ei tohiks olla sьmmeetrilised. Vaadeldes aga tььpilist sьsinikьhendit metaani (CH₄) on leitud, et kхik neli H aatomit on tдiesti identse energiaga seotud ja paigutatud sьmmeetriliselt tetraeedri (ruumilise nelitahuka) tippudesse. Seega peavad kхik neli orbitaali olema tдiesti sarnase kujuga. See on fakt, mis otse ei tulene kvantmehaanilisest teooriast ja millele tuli otsida seletust, pььdes leida loogilisi vхimalusi erinevate orbitaalide kombineerumiseks. Leitigi vхimalus, et uued sьmmeetrilised orbitaalid on kхik sarnased kombinatsioonid nelja erineva orbitaali lainefunktsioonidest, erinevused on ainult selles, missugused p-orbitaali funktsioonid liidetakse ja missugune lahutatakse (s-orbitaal on summas alati positiivselt). Sisuliselt tдhendab see, nagu erinevate orbitaalide lainetused liituksid ja lahutuksid erinevates kombinatsioonides, kuid igas kombinatsioonis esinevad kхigi nelja orbitaali lainefunktsioonid. Niisugune orbitaalide hьbridisatsiooninдhtus on ьsna sagedane ja isegi vee molekulis ei ole hapniku 2p orbitaalidega moodustunud s-sidemete vaheline nurk mitte 90° vaid 104.5°. See nдitab, et hapniku kaks vesinikuga paardunud orbitaali ja kaks hapniku enese paari (2s ja 2p paarid) hьbridiseeruvad kхik vхrdseteks sarnase kujuga orbitaalideks mis suunduvad tsentrist tetraheedri nurkadesse, sarnaselt nagu metaani molekulis, kuid kahel puudub partner H-aatom. Selle tulemusena on doonor-aktseptor iseloomuga vesiniksidet vхimelised moodustama kas elektronpaari, nii 2s kui 2p paarid. Nendest nдidetest on nдha, kuidas tekkiva ьhendi sьmmeetrilisus vхimaldab saavutada ьhendmolekuli kхige madalamat energiaseisundit, hoolimata sellest, et hapniku enese (samuti kui sьsiniku) elektronstruktuur ei ole minimaalse energia seisundis. Teisest kьljest tдhendab see ka seda, et individuaalsete aatomite kvantmehaanilisi orbitaalide kujusid ei saa vхtta aluseks keerukamate ьhendite stereo-struktuuri arvutamisel, vaid mддravaks jддvad keerulise molekuli struktuurist tulenevad energiaseisundid, mis on minimaalsed tavaliselt maksimaalse sьmmeetriaga olekutes.

Resonants

Resonantsi olemuse selgitamiseks vaatleme lihtsat struktuuri, nitraatiooni NO₃^-(joonis). Selles esineb lдmmastik neljavalentsena, olles saatnud ьhe oma 2s elektronidest praktiliselt tдielikult hapnikule ja vabastades nii maksimaalse koguse valents-sidemeid. Kuigi niimoodi tekkinud struktuur peaks olema ebasьmmeetriline, on katsed nдidanud, et kхikide O-aatomite seoseenergiad on vхrdsed. See on vхimalik kui kaksik- ja ьksiksidemed on pidevas vaheldumises, nii et kaksiksidet ei saa lugeda kuuluvaks kindlale O-aatomile. Sarnane nдide on ka bensooli molekul, kus niisugune kaksik- ja ьksiksidemete vahelduvus katab pikema ringi, sidudes tervelt kuus C aatomit. Kvantmehaanilises kдsitluses tдhendab resonants-ringi vхi ka lineaarse resonants-ahela lainefunktsioon, sarnaselt hьbridisatsiooniga, lineaarkombinatsiooni kхikidest osalevatest lainefunktsioonidest. Seejuures on resoneeruvad sidemed tunduvalt tugevamad kui ilma resonantsita. Samuti vхib resoneeruva lainefunktsiooni ruumiline ulatus olla tunduvalt pikem kui ьhel aatomil. Vastavalt pikeneb ka neelatava (kiirtava) elektromagnetilise kiirguse lainepikkus. Seetхttu on loodus kasutanud resoneeruvaid struktuure nдhtavat valgust neelavate pigmendimolekulide ehitamiseks. Fotosьnteesis kasutatavate pigmentide, klorofьlli ka karotenoidide molekulides on kas ringstruktuuriga vхi lineaarsed reonants-ahelad ja need ained omavad neeldumisribasid nдhtava valguse piirkonnas, samal ajal kui tavalised valgud, aminohapped ja enamik teisi bioloogilisi molekule neelavad ultravioletses piirkonnas.

Ьleminekumetallide kompleksid

Ьleminekumetallideks nimetatakse esimese suure perioodi (n=3) metalliliste omadustega aineid, millel jдrgmise perioodi (n=4) 4s nivool asub ьks vхi kaks elektroni, kuid samal ajal on vabu orbitaale veel 3d nivool (Sc, Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu). Neist bioloogias omavad elektroni edastajatena suurt tдhtsust Mn, Fe, ja Cu. Bioloogilistes struktuurides on oluline, et aktiivsed aatomid, mis tegelikult osalevad metaboolsetes protsessides, oleksid kinnstatud ja asuksid vajalikul kaugusel ja vajalikus asendis oma metaboolsete partnerite suhtes, millega neil tuleb suhelda nдiteks elektrone vastu vхttes ja edasi andes vхi mхnel muul moel. Valkstruktuurid tдidavadki seda ьlesannet, et kinnistavad metaboolselt aktiivsed aatomid vajalikesse asukohtadesse. Loomulikult ei saa valkudega seotus vдlistada aatomite termilist vхnkumist ьmber keskasendi, kuid vдlistab pццrlemise ja kindlasti translatoorse liikumise. Aatomite kinnistamiseks saab kasutada kovalentseid sidemeid, mida peab aga olema piisaval hulgal, et takistada liikumist kхikides suundades, jдttes samal ajal mхned valentsid vabaks ka metaboolse aktiivsuse tarbeks. Nendele tingimustele vastavadki kolmanda perioodi ьleminekumetallid, millel on piisavalt tдidetud vхi tдitmata d-orbitaale (kokku viis), et aatomit kinnistada. Seejuures sidemete sьmmeetria kindlustatakse s, p ja d-orbitaalide hьbridisatsiooniga. Tabelis toome mхned andmed bioloogiliselt oluliste aatomite jaoks.

Elektronkonfiguratsioon Mn Fe Cu

M 3d⁵4s² 3d⁶4s² 3d¹⁰4s¹

M²+ 3d⁵ 3d⁶ 3d⁹

M³⁺ 3d⁴ 3d⁵ -

Ionisatsioonipotentsiaal (eV)

esimene 7.43 7.87 7.72

teine 15.64 16.18 20.29

kolmas 33.69 30.64 37.08

Iooni raadiused (A)

M 1.17 1.16 1.17

M²+ 0.80 0.77 0.72

M3+ 0.66 0.63 -

Orbitaalide hьbridisatsioon ja aatomi geomeetriline struktuur

Hьbridisatsioon Aatomi kuju Sidemetevaheline nurk

sp Lineaarne 180°

sp² Tasapind, kolmnurk 120°

sp3 Tetraeeder 109°28’

dsp² Tasapind, ruut 90°

dsp³ Trigonaalne kaksikpьramiid 90°

120°

d²sp³ Oktaeeder 90°

Rauaaatomi kasutamise nдiteks bioloogias on heemid, kus Fe aatom (klorofьllis aga raua asemel Mg) asetseb tasapinnalise porfьriiniringi keskel, olles kinnitatud koordinatsioonisidemetega. Heemid moodustavad aktiivosa sellistes valksьsteemides nagu hemoglobiin, mьoglobiin, tsьtokroomid ja mхndes fermentides, nagu katalaas, peroksьdaas. n_II nagu aromaatilistes molekulides (nдit. bensool) tavaliselt, on ka porfьriiniringis pikk resonants-ahel, mille tulemusena elektronid on ‘delokaliseeritud’ ja nende lainefunktsioonid haaravad tervet ringi. Ringis osalev N aatom, sхltuvalt asukohast, on ise ringi seotud kas kahevхi kolme sidemega ja moodustab sideme rauaga vastavalt kas ьhe paardumata elektroni vхi oma 2s elektronpaari abil, doneerides selle raua vabale 3d orbitaalile. Nii fikseeritakse N aatom neljast nurgast nelja ligandiga. Viiendaks ligandiks ristisuunas on tihti aminohappe histidiini ьks N aatomitest mis doneerib oma elektronpaari teisele Fe 3d orbitaalile. Niisiis on Fe aatom fikseeritud jдttes selle 4s² elektronid vabaks bioloogilistereaktsioonide tarbeks. Tavaliselt on need elektronid lahkunud ja aatom asub F²⁺ seisundis. Hemoglobiinis, mille molekulmass on 65000, on neli subьhikut nelja heemiga. Mьoglobiinis on ьksainus subьhik ьhe heemiga. Hemoglobiinis on kuuendaks ligandiks kas hapnik vхi vesi, sхltuvalt kas hemoglobiin on hapnikuga rikastatud vхi mitte. Ka siin moodustub side sel teel, et hapnik doneerib oma elektronpaari Fe orbiidile, jдttes O₂ molekuli (vхi H₂O molekuli) terveks. Vee ja O₂ kхrval on seostumisaktiivsed veel CO ja NO, kusjuures CO seostub mьoglobiinile umbes 50 korda ja hemoglobiinile isegi 200 korda tugevamalt kui O₂.

Tsьtokroomides on Fe viis ligandi samad kui hemo- ja mьoglobiinis, kuid kuna tsьtokroomid ei kanna molekule, vaid ainult elektrone, siis on ka kuues suund seotud bioloogiliselt passiivse ligandiga, kasutades selleks tavaliselt aminohappe metioniini S aatomi elektronpaari. Elektronide vahetus toimub F²⁺/F³⁺ seisundite vaheldumise teel.

Peptiidside

Valkude struktuur on suuresti mдaratud peptiidsideme omadustega, mis seob aminohapped pikaks ahelaks, polьpeptiidiks. Side moodustub ьhe aminohappe karboksььlrьhma –COOH ja teise aminohappe aminorьhma –NH₂ vahel, vee eraldumise teel, andes tulemuseks -CO-NH- sideme. Struktuurselt nдeb side vдlja jдrgmine:

Rцntgenstruktuuranaььs aga nдitas, et C-N side, mille tavaline pikkus on 0.147 nm, on peptiidsidemes lьhem, 0.132 nm. See tдhendab, et ьhekordse sideme asemel moodustub tegelikult kahekordne side, vдhemalt osaliselt. Seletus on siin jдrgmine. Tдnu oma elektronegatiivsusele tхmbab O aatom kogu struktuuri elektronpilve eneda suunas jдrjekorras N->C->O. Selle tulemusena O paardumata elektron saab endale paarilise ja ьks kovalentsetest sidemetest O-C vahel osaliselt katkeb. Selle asemel aga N jддb ьhest elektronist osaliselt ilma ja tema elektronpaar pььab uut paarilist leida. See on saadaval C aatomis, mis kaotas sideme O-ga ja loob uue sideme N-ga. See uus side aga vaheldub pidevalt vanaga, nii et tegelikult on O=C=N sьsteem seotud nagu pooleteise sidemega pidevalt. Seejuures kхik kolm aatomit hьbridiseeruvad ьhesugusteks sp hьbriidideks. Orbitaalid O(sp²) ja C(sp²), samuti nagu C(sp²) ja N(sp²) kattuvad pikisuunas, moodustades -sidemed. Kolm p-orbitaali N, C ja O aatomites kattuvad kьlgsuunas -sidemetega risti ja moodustavad delokaliseeritud -elektronide sьsteemi. -sidemed keelavad C-N aatomite vahelisel sidemel pццrlemise. Joonis nдitab, kuidas lхpptulemusena O-C-N-H aatomid paigutuvad ьhte tasapinda, jдigalt fikseerides nende omavahelise asendi. Pange tдhele, et O ja H aatomid asuvad ahela vastaskьlgedel (nn. trans-konfiguratsioon), mis valgu sekundaarstruktuuri moodustumiseks on oluline. Niisugused fikseeritud sidemed moodustavad ьhe kolmandiku kogu peptiidahela sidemetest. Pццrlemisvхimalus jддb alles kahel kolmandikul ьlejдanud sidemetest, aminohapete sisemistel C-N ja C-C sidemetel. Niisugune piiratus jдtab oma jдlje valgu sekundaarstruktuurile. Kui ьlejддnud sidemed pццrduvad, tekib peagi olukord, kus iga mingi aminohappe O-aatom satub piisavalt ligistikku jдrjekorras kolmanda aminohappe H-aatomiga, et nende vahel moodustuks vesinikside (tдnu ьlalmainitud trans-konfiguratsioonile). Need vesiniksidemed fikseerivad pццrlemis-sammu ja kokkuvхttes moodustub aminohapetest spiraalne struktuur, nn. -spiraal (alternatiivne vхimalus on siiski ka nn. -voldik).

Seega, valgu moodustumisel osalevad kхik eespool kirjeldatud kovalents-sidemete omadused, nagu - ja - konfiguratsioon, polariseeritus (elektronegatiivsus), doonor-aktseptor-iseloom, hьbridiseerumisvхime, delokaliseerumine (resonants). Kuigi kvantmehaanika ei ole vхimeline tдpselt ette ennustama kхiki neid kombinatsioone, on tema abil nende esinemine vдhemalt seletatav. See demonstreerib veel kord, kuivхrd olulised on kvantmehaanilised nдhtused elu alusena. Pealegi, tundub, et sedalaadi kombineeritud sidemed vхivad esineda ka molekulide vahel, avardades molekulaarstruktuuri mхistet kхrgematele organisatsioonitasemetele, ja miks mitte kuni organismi tasemeni vдlja. On ju vдga raske uskuda, et pдrilikkuse detailid, nagu nдojooned, kхnnak, hддlekхla jne. on ainult geenide ekspressiooni regulatsiooni tulemusel sьnteesitud valkude erinevate koguste kombineerumise tulemus. Ehk on siingi mдngus suunatud sьntees, struktuuride laienemine kindlates suundades, mis on vхimalik ainult molekulidevaheliste sidemete suunatuse tulemusena. Kursuse jдrgnevates osades vaatlemegi molekulide ьhendusi, kuid siiski kхige lihtsamaid, neid mida fььsika seaduste alusel veel kьllalt hдsti kirjeldada saab. Need on gaasid, vedelikud ja tahkised ьldises mхttes.

Gaasid

Aine on gaasilises olekufaasis kui molekulid ei ole omavahel seotud, vaid liiguvad vabalt ruumis, elastselt pхrkudes nii omavahel kui nхu seintega. Elastsed pхrked on niisugused, kus impulsi jддvuse seadus on rahuldatud, s.t. molekulide liikumise energiast osa ei muutu molekuli siseenergiaks (nдiteks nagu piljardikuulide pхrked). Nхu peab gaasi ьmbritsema selleks, et molekulid ei liiguks ruumis laiali lхpmatu kaugele. Niisugusel nхus oleval gaasil on rida omadusi, mida saab mххta ja mis on omavahel fььsikaseadustega seotud. Need omadused iseloomustavad mitte enam individuaalset molekuli, vaid molekulide kollektiivi tervikuna.

Gaaside nдited. Toatemperatuuril on gaasilised ained nдiteks H2, He, N₂, O₂, F, Ne, Cl, Ar. Tдhtsaim on хhk, mis on gaaside segu (ruumala protsentides, kuiv хhk): N₂ (28%), O₂ (21%), Ar (1%), CO₂ (0.037%). Tavaliselt aga on хhus veel veeauru kuni 2-3%, vastavalt siis teiste komponentide osa vдheneb. Nagu nдeme, vхivad gaasid koosneda ьheaatomilistest (n. vддrisgaasid), kahe- ja kolmeaatomilistest molekulidest.

Gaasi mass. Gaasi hulga mххtmiseks vхib kasutada tema massi kilogrammides. Kuna erinevate gaaside ьksikmolekulid on erineva massiga, siis erinevate gaaside puhul vastab ьhele kg-le erinev hulk molekule. Gaaside fььsikaliste omaduste mддramisel on aga molekulide arv ruumiьhikus olulise tдhtsusega. Seetхttu on massi mххtьhikuks sobiv valida niisugune, mis jдtaks molekulide arvu konstantseks (loomulikult ei ole siis mass kg-des konstantne). Massi mххdetaksegi seetхttu gramm-aatomites vхi gramm-molekulides (gramm-molekuli kutsutakse lьhidalt mooliks). Gramm-molekul on aine hulk grammides, mis on arvuliselt vхrdne selle aine molekulkaaluga. Gramm-aatom on siis vastavalt aine hulk grammides mis on arvuliselt vхrdne selle aine aatomkaaluga. Aatomi ja molekuli kaalu mддrab peamiselt tuuma(de) kaal. Tuumas on nii prootonid kui neutronid, kusjuures element (aine) on mддratud prootonite je elektronide arvuga, neutronite arv ei ole aga pдris kindel. Erineva neutronite arvuga kuid sama prootonite arvuga aineid nimetatakse isotoopideks, ja neil on vastavalt erinev aatom-mass. Seetхttu tuleb erinevate isotoopide segu puhul gramm-mooli arvuliseks vддrtuseks lugeda keskmine aatom-mass. Aatom-massi ьhikuks loetakse 1/12 sьsiniku isotoobi ¹²C aatomi massist. See ьhik on ьsna lдhedane vesiniku aatomi massile (vдike erinevus tuleb sellest, et prootoni ja neutroni massid ei ole pдris vхrdsed, vesinikus aga neutron puudub). Keskmiste aatom-masside nдited (sulgudes tдhtsamad isotoobid, nurksulgudes radioaktiivsed, tehislikud):

H: 1.008(1,2,[3]); C: 12.011(12,13,[14]); N: 14.007(14,15); O: 15.999(16,17,18); P: 30(31,[ 32])

6800/1 98.89/1.108% 99.4/0.4% 99.76/0.037/0.204% 100%

Nagu nдeme, on isotoopide segus domineeriv ьks ja aatomkaalude erinevused tдisarvudest on suhteliselt vдikesed. Gaasidena esinevad H₂, N₂ ja O₂, nende gramm-molekul on siis vastavalt 2, 28ja 32g ainet.

Kuna mooli mass suureneb proportsionaalselt ьhe molekuli kaaluga, siis on moolis alati ьhepalju molekule, sхltumata molekuli massist. See arv on 6.0228x10²³ ja on tuntud Avogadro arvuna.

Gaasi olekuparameetrid

Kuna gaasis molekulid ei ole ьksteisega seotud vaid liiguvad vabalt, pхrkudes omavahel janхu seintega, siis on gaasi ruumala alati mддratud seda mahutava nхu ruumalaga. Peale ruumala on gaasi olekuparameetriteks veel rхhk ja temperatuur. Rхhk on fььsikaline suurus, mida mххdetakse pinnaьhikule mхjuva jхuga, ьhikuks on N/m² = Pascal (Pa). Gaasi rхhk tuleneb sellest, et molekulid pхrkuvad nхu seintelt tagasi, mхjutades sellega seinu (Newtoni III seadus). Temperatuur iseloomustab gaasi molekulide liikumise kineetilist energiat. Temperatuur on null kui molekulid on paigal ja kasvab vхrdeliselt molekulide ruutkeskmise kiiruse ruuduga (E=mv²/2). Temperatuuri mххdetakse Kelvinites (absoluutse temperatuuri kraadides), igapдevases elus aga Celsiuse skaala jдrgi, kus vee kьlmumistemperatuur loetakse 0° ja keemistemperatuur 100°. USAs mххdetakse temperatuuri Fahrenheiti skaala jдrgi, mille kohaselt 0°C=???°F ja 100°C=???°F. Pange tдhele, et ka temperatuuri puhul on ьhikute sьsteem ebajдrjekindel, temperatuur ei vхrdu ьhe ьhikuga kui molekulide kineetiline energia on ьks J.

Gaasi olekuvхrrand

Kui gaasi ruumala vдhendada sel teel, et nхu ruumala vдhendatakse (nдiteks kui kolb liigub silindris vхi kui pall jддb auto ratta alla), siis rхhk tхuseb pццrdvхrdeliselt ruumala vдhenemisega, nii et

Kui aga gaasi temperatuuri langetada jдttes ruumala konstantseks, siis rхhk langeb vхrdeliselt absoluutse temperatuuriga:

Neid kahte valemit saab kombineerida ja konstandile saab leida absoluutvддrtuse, nii et saame seose, mida nimetatakse gaasi olekuvхrrandiks:

kus R on nn. ggaside universaalkonstant ja n on gaasi moolide arv vaadeldavas nхus. Gaaside universaalkonstandi vддrtus on 8.3147 ja dimensioon on

Rakendades olekuvхrrandit arvutame ьhe mooli gaasi ruumala 0°C ja 101300 Pa juures, mis on normaalne atmosfддrirхhk merepinnal.

Peame meeles, et ьhe mooli gaasi ruumala standard-tingimustel (0°C, 101.3kPa) on 22.5 l. Rхhu tхustes see ruumala vдheneb pццrdvхrdeliselt rхhuga, temperatuuri tхustes suureneb vхrdeliselt absoluutse temperatuuriga. Nдiteks toatemperatuuril ja standardrхhul on mooli ruumala

Keemias kasutatakse ainete kontsentratsioonide vдljendamiseks ьhikut mooli/liitris (molaarsus, M). Mitmemolaarne on хhk toatemperatuuril? Kui ьks mool on 24.15 l siis ьhes liitris on 1/24.15=0.041 M = 41 mM. Kui suur on seejuures hapniku kontsentratsioon? [O₂] = 0.21x41 = 8.61 mM. Kui suur on CO₂ kontsentratsioon? [CO₂]=0.000365x41= 0.0149 mM =15M.

Gaaside molekulaarkineetilise teooria alged

Gaaside molekulaarkineetiline teooria seob makroparameetrid (rхhk, temperatuur) molekulide energiaga. Tuletame nдitena gaasi rхhu molekulide liikumise kiirusest.

Rхhu seos molekulide kineetilise energiaga. Gaasi rхhk nхu seinale tekib sellest, et molekulid pхrkudes avaldavad seinale jхudu. Jхud mхjub tegelikult iga ьksikpхrke ajal, aga suure hulga molekulide puhul hetkelised jхud keskmistuvad.

Olgu meil n molekuli kuubis kьljega l. Kuigi nad liiguvad igasugustes suundades, vaatleme x, y ja z-suunalisi liikumise komponente eraldi. Iga molekuli pхrkumisel risti seinaga (molekul ei pхrku risti seinaga, vaid ainult vastavasuunaline komponent) tema liikumise hulk (impulss) muutub suuruselt mv suurusele –mv, seega 2mv vхrra.

Kahe jдrjestikuse pхrke vahelise aja leiame, arvutades selle kui aja, mille jooksul molekul liikus teise seinani ja sealt uuesti tagasi.

Kuigi molekul liikudes pхrkub paljude teistega, vхib impulsi jддvuse seaduse alusel ette kujutada, nagu liikumise x, y ja z-suunalised komponendid kanduksid ьheklt molekulilt teisele ьle ja kuigi lхpuks ei saabu seina juurde tagasi enam seesama molekul, on kulunud aeg siiski seesama, mis oleks olnud ьhe molekuli likumisel ilma pхrgeteta. Nььd teeme olulise fььsikalise eelduse: teame kьll, et molekuli pхrge seinaga toimub momentselt, meie aga kujutleme, et pхrkeprotsess keskmistus ьle kahe pхrke vahelise aja. Rakendame selle aja kohta eespool tuletatud seost impulsi muutuse ja jхu mхjumise aja vahel:

ehk asendades

,

kust

Kuna me keskmistasime pхrkeprotsessi ьle kahe pхrke vaheaja, siis niisugune oleks keskmine jхud ьle kahe pхrke vaheaja, seega pidevalt mхjuv jхud, mis mudaks molekuli liikumise vastassuunaliseks. Newtoni kolmanda seaduse kohaselt mхjub samasuur jхud ka seinale. Meie kuubis kьljega l oli n molekuli. Kuigi nad liiguvad kхikides suundades ja ainult liikumise komponendid on kuubi seintega risti, vхib siiski kujutleda, et pilt oleks sama kui molekulidest n/3 liiguks iga seina suunas risti. Seega oleks kхigi molekulide poolt kuubi kьljele avalduv jхud

Rхhu arvutamiseks tuleb jхud jagada kьlje pindalaga:

Paneme tдhele, et n/l³=n₀, mis on molekulide arv ruumalaьhikus. Seega

Viimane valem eeldab, nagu liiguksid kхik molekulid ьhesuguse kiirusega v. Kui molekulide kiirused on erinevad, tuleb arvutada kiiruste ruutude keskvддrtus

ja asendades saame

Gaasi rхhk on vхrdeline molekulide tihedusega ruumalaьhikus ja ьhe molekuli keskmise kineetilise energiaga. Kas dimensioonid klapivad?

Temperatuuri seos molekulide kineetilise energiaga. Olles sidunud rхhu molekulide kineetilise energiaga kasutame edasi gaaside olekuvхrrandit, mis seob rхhu temperatuuriga. n_II saame temperatuuri siduda molekulide kineetilise energiaga. Kuna

siis vхime viimase valemi kirjutada kujul

Siin l³ on nхu ruumala n on selles nхus olevate molekulide arv. Kui vхtame molekulide arvuks ьhe mooli ehk n = N_a, siis on nхu ruumala vхrdne mooli ruumalaga V₀ ja selle rхhk on seotud temperatuuriga olekuvхrrandi kaudu:

Valemi keskmises liikmes on ьhe mooli gaasi kхigi molekulide kineetiliste energiate summa, E_k

Seega,

Oleme leidnud vдga tдhtsa suuruse, ьhe mooli gaasi keskmise kineetilise energia sхltuvalt temperatuurist. Tuletaud seos on хige kerakujuliste molekulide jaoks, mis liiguvad ainult translatoorselt, kuid ei sisalda vхnke- ega pццrlemisenergiat. Tegur 3/2 tuleneb sellest, et iga teljesuunaline liikumise komponent kannab energiat RT/2. Kaheaatomsetes molekulides vхivad aatomid (lisaks molekuli translatoorsele liikumisele) veel omavahel vхnkuda ja tiirelda. Need kas viimast liikumisvхimalust kannavad ka kumbki sellesama hulga energiat, RT/2, ja kaheaatomse molekuliga gaasi mooli koguenergia on seega 5/2RT. Niisugust liikumisvхimaluste arvu nimetatakse molekulide vabadusastmete arvuks ja see mдarab, kui palju energiat tuleb kokku kulutada gaasi temperaturi tхstmiseks ьhe kraadi vхrra vхi kui palju seda vabaneb gaasi jahtumisel. Peame meeles suuruse RT vддrtuse toatemperatuuril:

Selle suurusega tuleb vхrrelda keemilistes reaktsioonides mooli kohta vabanevat vхi nхutavat energiat, et mхista nende kulgemise vхimalikkust. Vхrdleme seda suurust veel energiaga elektronvoltides. Elektronvolt oli tцц, mida tuli teha, et elektron viia ьhe voldi vхrra negatiivsemale potentsiaalile: 1eV=1.602x10^-19 J. Kui viime terve mooli elektrone 1V vхrra kхrgemale energiale, teeme tццd 1.602x10^-19x6.023x10²³=96480 J mol^-1V^-1. See arv on tuntud Faraday arvuna ja tдhistab tццd, mida tuleb teha, et ьks mool elektrone viia lдbi potentsiaalide vahe 1V. Vхrreldes sellega on RT vдike suurus, RT(V) = 2436/96480=0.0253V = 25.3 mV. Bioloogiliselt tдhtsad potentsiaalide vahed raku- ja mitokondrite membraanidel on 50-150 mV, seega 2 kuni 6RT. Vхrdleme RT veel valguse kvandi energiaga. Punase kvandi energia oli 1.8 eV, seega kukkus elektron punat kvanti kiirates 1.8V vхrra. Punase valguse lainepikkus on 680 nm. RT (25.3mV) moodustab ainult 1.4% punase kvandi energiast. RT vхrra erinev energia vдljenduks lainepikkuse muutusena 1.4% vхrra ehk 9.6 nm vхrra. Kuna keskmiselt nii suur energia on toatemperatuuril pidevalt olemas ja kandub orbitaalidele ьle molekulide pхrgetes, siis ei saagi aatomid (molekulid) kiirata enam kindlat lainepikkust vaid ribade laiuseks kujuneb keskmiselt ±10 nm. Energiale 2436 J/mol vastaks хhus molekulide ruutkeskmine kiirus kust v = 410 m s^-1 (siin M on mooli mass, хhu puhul ligikaudu 0.029 kg).

Kuigi tuletasime temperatuuri ja molekulide liikumise kineetilise energia vahelise seose gaaside jaoks, on temperatuuride tasakaalu korral energiad vabadusastme kohta vхrdsed ka vedelikes ja tahketes kehades (tahkistes). Molekulide vabadusastmete arv gaasides, vedelikes ja tahkistes on aga erinev.

Soojamahtuvus, erisoojus

Eelnevast on selge, kui palju energiat tuleb kulutada ьhe mooli gaasi soojendamiseks ьhe kraadi vхrra. Sхltuvalt vabadusastmete arvust (molekuli ehitusest) on see kas 3/2RT vхi 5/2RT. kus T tдhistab temperatuuri tхusu. Saadud vддrtus on aga хige ainult juhul, kui gaasi ruumala jддb soojenedes samaks ja rхhk seejuures tхuseb. Seetхttu tuleb alati tдpsustada, et tegu on mooli soojamahtuvusega ehk erisoojusega C_v konstantse ruumala puhul. Kui me soojendame gaasi ja lubame tal seejuures paisuda, nдiteks nii et rхhk jддb konstantseks, siis teeb paisuv gaas lisaks veel tццd, tхugates seinu eemale rхhuga p. Gaasi paisumisel tehtud tцц on pV. Teame aga, et ьhe mooli gaasi puhul

Arvestades ka gaasi paisumisel tehtavat tццd tuleb konstantsel rхhul (suurenrval ruumalal) gaasi soojendamisel teha rohkem tццd: ьheaatomse gaasi puhul 3/2RT+ RT=5/2RT ja kaheaatomse gaasi puhul 5/2RT+RT=7/2RT. Seega on gaasi erisoojus konstantsel rхhul (C_p) suurem kui konstantsel ruumal (C_v). Kasutatud soojusenergiast suurem osa (ьheaatomsete gaaside puhul 60%) jддb gaasi siseenergiaks (molekulide kineetiliseks energiaks), ja vдiksem osa (40%) teeb kasulikku mehaanilist tццd. Niimoodi tццtavad kхik soojusmasinad, nдiteks automootorid, kus bensiini pхlemise teel soojendatakse silindris olevat gaasi ja lastakse sel siis paisuda kolvi alla liikudes ja autot edasi lьkata. Ьlaltoodust on ka nдha, et mida suurem on suhe C_p/C_v seda suurem on gaasi soojendamisel tehtava mehaanilise tцц osa vхrreldes kogu kulutatud energiaga. Ьheaatomsetel gaasidel on see suhe 5/3 kaheaatomsetel aga 7/5.

Gaasi kokkusurumisel tehtav tцц.

Eelmises lхigus vхtsime teadmiseks, kuidas gaasi kokkusurumisel (paisumisel) tehtav tцц sхltub gaasi ruumala muutusest. Tuletame siiski selle valemi. Tцц on jхu ja jхu suunas kдidud teepikkuse korrutis. Gaasis mхjub nхu pinnaьhikule jхud p. Mingile pinnale S mхjub jхud pS. Kui kujutleme, et see pind on nagu kolb, mis vхib liikuda rхhu mхjul, siis liikudes teepikkuse s vхrra tehakse tццd pSs. Aga Ss=V ja tehtud tцц ongi A=pV. Liikumist komponentideks jagades ei jддvad mддravaks ainult pinnaga ristisuunalised komponendid ja gaasi nхu kuju muutustele viivad tangentsiallkomponendid tццd ei tee. Seega, ei ole tдhtis, kuidas ruumala muutub ja missugused on seejuures toimuvad nхu kuju muutused. Kьll on aga oluline, et gaasi rхhk jддks ruumala suurenemisel samaks. See on aga vхimalik ainult siis kui gaasi samal ajal soojendada.

Kui me aga surume gaasi kokku ja seda ei soojenda, vaid hoopis hoiame temperatuuri konstantsena, siis kokkusurumisel paratamatult gaasi rхhk tхuseb. Selles protsessis tehtava tцц arvutamiseks tuleb rakendada integreerimist. Elementaartцц vдikesel ruumala muutusel

Aga gaasi olekuvхrrandist saame rхhu avaldada ruumala kaudu:

.

Asendades ja tuues konstantsed liikmed integraali ette saame

Gaasi oleku vхrrandit kasutades saab avaldada sellesama tцц ka alg ja lхpprхhkude kaudu:

Kuna konstantsel temperatuuril rхhk ja ruumala on pццrdvхrdelised,

^,

siis

Viimast valemit kasutame allpool, et leida rakumembraanil ainete kontsentratsioonide erinevusest tulenevat energiat, nn. membraani eneergiseritust. Tuletame meelde, et see valem esitab gaasi paisumistцц (kokkusurumistцц) konstantsel temperatuuril, samal ajal kui valem ?? esitas selle konstantsel rхhul.

Adiabaatne protsess.

Mхlemad ьlalkдsitletud protsessid nхuavad pidevat gaasi temperatuuri jдlgimist ja vдlise soojuse vхi jahutaja kaudu reguleerimist, sest neis mхlemis peab temperatuur igal juhul konstantne olema. Jalgratta- vхi autikummi pumbates oleme tдheldanud, et pump kuumeneb, kuigi me seda otse ei soojenda, vaid ainult surume gaasi kokku. Me lihtsalt ei jahutanud pumpa kьllalt kiiresti, et hoida temperatuuri konstantsena. Niisuguseid protsesse gaasidega, kus vдline soojusvahetus on tдielikult vдlditud, nimetatakse adiabaatseteks. Gaasi adiabaatsel kokkusurumisel gaasi temperatuur tхuseb. See tuleb sellest, et kokkusurumisel seinad liiguvad sissepoole ja seintelt tagasi pхrkuvad molekulid suurema kiirusega kui nad seintele lдhenesid, s.t., seina liikumise kiirus liitb molekuli liikumise kiirusele. Kokkuvхttes gaasi molekulide kineetiline energia suureneb. Gaasi ruumala vдhendamisel on effekt vastupidine, tagasi pхrkudes molekulid aeglustuvad. Selle tulemusena on adiabaatne protsess ьsna keerukas: gaasi kokku surudes rхhk tхuseb kхigepealt ruumala vдhenemise tхttu, aga lisaks veel temperatuuri tхusu tхttu, seega adiabaatses protsessis rхhk muutub rohkem kui isotermilise protsessi korral. Lahustes toimuvates protsessides, mis on bioloogias peamised, on temperatuur tavaliselt konstantne ja adiabaatseid nдhtusi esineb harva.

Molekuli suurus, molekulidevaheline kaugus, vaba tee pikkus

n_II kaua kui gaasi kokkusurumisel molekulide elektronkatted ei asu pidevalt ьksteise mхjusfдaris (molekulid ei ‘puutu kokku’), on rхhu ja ruumala vaheline sхltuvus vastavuses gaasi olekuvхrrandiga. Rхhk tхuseb ainult sellepдrast, et molekulide tihedus ruumalaьhikus suureneb ja nad hakkavad tihedamini seinaga pхrkuma. Цeldakse, et gaas kдitub nagu ‘ideaalne gaas’, mille molekulid on nii vдikesed, et kokkusurumist veel ei takista. Vaatame, kui suured on molekulid pхrkumisraadiuse seisukohast. Vхtame nдiteks vee molekuli. Vedelas olekus on ьhe mooli vee mass 18 g ja ruumala 18 cm³. Seega, N_a molekuli tдidavad 18 cm³. Ьhe molekuli all olev ruumala on 18/6.023x10²³= 2.989x10^-23 cm³. Sellise ruumalaga kuubi kьlje pikkus oleks 3.10x10^-8 cm = 3.10 A. Pхrkeraadius oleks seega 1.55 A. Ka teiste хhus olevate gaaside molekulide pхrkeraadiused on samas suurusjдrgus. Toatemperatuuril on хhu moolruumala 24.15 l = 0.02415 m³. Ьhe molekuli kohta tuleb ruumala 0.02415/N_a = 4.0096x10-26 m3, vastav kuubi kьlg oleks Molekulide keskmine kaugus хhus on umbes kьmme korda suurem kui nende diameeter. Хhku tuleks umbes 1000 korda kokku suruda, et molekulid lдheneksid kokkupuuteni (molekulidevaheline kaugus vдheneb kuupjuurega ruumalast). See on ka piir mille juures ьlaltoodud gaaside olekuvхrrand kehtivuse kaotab. Tдpsuse kaotab ta aga juba kьmme korda madalamal rхhul, mхnede gaaside puhul, nagu CO₂ ja veeaur, isegi palju varem.

Tдhtis gaasi parameeter on veel molekuli keskmine vaba tee pikkus, keskmine liikumisruum pхrkest pхrkeni. See mддrab nдiteks difusiooni kiiruse. Olgu meil gaas kus on n molekuli m³ kohta. ьhe molekuli raadius olgu r. Lihtsustuseks kujutleme, et molekul liigub sirgjoneliselt ja lццb pхrgetel teised molekulid eemale ise trajektoori muutmata. Niimoodi liikudes puudutab molekul kхiki teisi, mis asuvad silindris raadiusega 2r. Kui molekul liigub 1 m pikkuse tee, siis puudutab ta molekule, mille keskpunktid asuvad silindris ruumalaga m³, ja neid oli . Kuna 1 m tweepikkusel oli nimitu pхrget, siis iga pхrke vaheline keskmine vaba tee pikkus oli

,

kus d tдhistab molekuli pхrkediameetrit. Tдpsem arvutus, mis arvestab ka pхrgetel toimuvat trajektoorimuutust, annab veidi suurema keskmise vaba tee pikkuse:

Arvutame jдrgmiste andmetega:

Molekuli vaba tee keskmine pikkus on 1000 A =100 nm, kui molekulide keskmine kaugus on 33 A ja diameeter 3 A.

Difusioon

Nagu nдgime, on molekulide kiirus toatemperatuuril ьle 400 m/s ja pхrkumisteta kataksid nad ka sellesama vahmaa sekundi jooksul. Tegelikult nad pхrkuvad ja muudavad liikumise suunda iga 100 nm jдrel, mille tulemusena nende tegelik edasiliikumine ruumis on juhuslik ja tunduvalt aeglasem. Aga nad liiguvad siiski ja niisugune molekulide juhuslik ьmberpaiknemine ruumis kannabki nimetust difusioon. Difusioonil on bioloogias suur tдhtsus, olles peamine ainete transpordi mehhanism raku piires, samuti taime ja keskkonna vahel. Difusiooniprotsessis molekulid liiguvad juhuslikult igas suunas. Seejuures kхrgema tihedusega (kontsentratsiooniga) piirkondadest eemale toimub likumine suurema tхenдosusega kui madalama kontsentratsiooniga piirkondadest kхrgama kontsentratsiooniga piirkondadesse. Niimoodi toimub difusiooni kдigus aine kontsentratsiooni ьhtlustumine. On loogiline, et molekulide difusiooniline ьmberpaiknemine ruumis toimub seda kiiremini, mida kiiremini molekulid liiguvad ja mida suurem on kskmine pхrgetevahelise vaba tee pikkus. Kontsentratsiooni ьhtlustumine toimub seda kiiremini, mida jдrsem on kontsentratsiooni muutus ruumis, s.t., mida suurem on kontsentratsiooni gradient. Gradient on mingi pideva suuruse muutumise kiirus ruumi koordinaadi jдrgi.

Nдiteks toome valemi difusioonikiiruse kohta silindrilises torus, kus ьhes otsas hoitakse kontsentratsiooni C₁ ja teises otsas C₂, toru pikkus on l ja ristlхikepindala on s:

kus

Nendes valemites l ja S on geomeetrilised parameetrid, mis iseloomustavad difusiooniteed, difusioonikonstant D aga iseloomustab difundeerivat ainet ja difusioonitingimusi:

Nagu nдeme, on difusioonikonstant sхltuv molekulide lineaar-keskmisest kiirusest ja vaba tee pikkusest, kordaja 1/3 tuleneb jдllegi sellst, et liikumist vaadeldakse iga koordinaadi suunas eraldi. Difusioonikiiruse valem, nn Fick’i seadus, on sarnane Ohmi seadusele, mis mддrab elektrivoolu kiiruse lдbi takistust omava traadi.

Difusiooni kiirus ajas ja ruumis

Eelnevad seosed vхimaldavad arvutada difusioonivoo kiirust ruumis konstantse kontsentratsioonivahe (vхi gradiendi) puhul. Gradiendi konstantsuse sдilitamiseks peab molekule pidevalt kuhugi дra kaduma. Nдiteks, taimelehes sьsihappegaas pidevalt neeldub fotosьnteesi kдigus ja seetхttu sдilib lehes madalam CO₂ kontsentratsioon kui vдlisхhus. Kui molekule дra ei kao, siis esialgu tekitatud kontsentratsioonivahe kaob mхninga aja pдrast. Aga kui kiiresti see toimub? Difusioonilise liikumise kiiruse teadmine vхimaldab hinnata kui kiiresti molekulid raku sees ьmber paiknevad.

Vaatleme lihtsuse mхttes ьhemххtmelist juhtu. Oletagem, et sьnteesisime mingi kogse metaboliiti raku keskel asuval tasandil ja kьsime, kui kiiresti see difundeerub rakus laiali? Tuletame kхigepealt meelde Fick’i seaduse statsionaarse difusioonivoo J kohta ja defineerime voo tiheduse:

Siin dC/dx on kontsentratsiooni gradient e. kontsentratsiooni muutumise kiirus x-telje suunas, J on defineeritud kui aine voo tihedus, mida mххdetakse pinnaьhikut ajaьhukus lдbinud aine hulgaga, seega mooli m^-2 s^-1. Voo tiheduse mхiste sissetoomine vхimaldab Fick’I seaduse lihtsasti kirjutada, ilma difusioonitee pikkust ja ristlхiget kasutamata.Valime kaugusel x meie tasapinnast, kus aine eraldus, ьhe ьhikulise pindalaga ruudu ja selle kхrvale kaugusele x+dx kohe teise ruudu, nii et saame nagu хhukese kasti (Joonis). Kohal x, kasti sisenedes, on voo tihedus J, kohal x+dx, kastist vдljudes, on voo tihedus muutunud. Kuna see muutus on vдike, kasutame Taylori ritta arendust ja avaldame

Kuna vдljavoolukiirus ei vхrdu sissevoolukiirusega, peab kasti ainet kogunema (vхi sealt kaduma), sest ruumilisi neeljaid me praegu ei arvesta. Meie ьhikulise pinnaga kastikeses olgu aine hulk alguses Cdx (C on kontsentratsioon, pindala=1). See muutub tдnu aine kogunemisele (lahkumisele) jдrgmise kiirusega

Pдrast dx ja J taandamisi saame nn. pidevuse seaduse:

Seadus pхhineb aine jддvusel ja vдidab, et kui voo tihedus ruumis muutub, siis aine koguneb. Asendame nььd J Fick’i seadusest

See on difusiooni ьldine ajalis-ruumiline diferentsiaalvхrrand. Kolmemххtmelisel juhul tuleb teised tuletised vхtta kolme koodinaadi suunas. Meie ьhemххtmelisel juhul on selle vхrrandi lahendiks funktsioon

Kus M on aine kogumass, mis eraldus protsessi alguses tasapinnal x = 0.

Vхrrandi lahend on eksponent, mis kahaneb x kasvades ruumis kiiresti, kuid ulatub siiski kхikjale, seega peame konkretiseerima kьsimust, ‘kui kaugele aine difundeerub mingi aja jooksul’. Utleme, et meid huvitab, kui kaugel on frondi kхige jдrsem osa, seal kus funktsiooni vддrtus on e^-1=0.36. Tingimus, et e astendaja = 1 tдhendab, et

vхi

Difusioonifrondi levides selle kхige jдrsem koht kaugeneb vхrdeliselt ruutjuurega ajast, nдiteks 2 korda kui aeg kasvab neli korda. Aeg, mis kulub mingi distantsi lдbimiseks kahaneb vхrdeliselt kauguse ruuduga. Siit tulenebki, et vдikestel distantsidel on difusiooniline transport efektiivne, kuid kaotab efektiivsuse distantsi kasvades vдga kiiresti.

Anname mхned difusioonikonstandi vдartused (ьhikutes cm^2s-1):

Vees: suhkur 0.52 10^-5 Хhus: CO₂ 0.16

glьkoos 0.67 veeaur 0.24

glьtsiin 1.1 O₂ 0.20

Ca(Cl)₂ 1.9

Proteiin 0.1

DNA 0.01

Rusikareegel on, et хhus on difusioonikiirused ligikaudu 10000 korda suuremad kui vees. Vahe tuleneb vдga vдikesest molekuli vaba tee pikkusest vees vхrreldes gaasiga. Raskemad molekulid difundeeruvad aeglasemalt, sest nende liikumise kiirused on vдiksemad, kuna samal temperatuuril on energiad samad, suurema massiga molekulid aga liiguvad aeglasemalt. Kui vхtame difusioonikonstandiks 10^-5 cm² s^-1 siis difundeerumiseks kulub jдrgmine aeg:

5 m (raku organellid) 0.006 s = 6 ms

50m (rakud) 0.6s

1 m (organism) 8 aastat

Nagu nдeme, on organellis difusioonikiirus sedavхrd suur, et molekul vхib umbes 200 korda sekundis lдbi organelli difundeeruda. Terve raku mххtmes on see aga ainult paar koda sekundis. Difusiooniline ainete transport organismi piires on aga lootusetult aeglane. Seetхttu metaboliitide kaugtransport toimubki peamiselt voolamise abil, nдrvierutus aga liigub elektri-impulsside abil.

Soojusjuhtivus

Tahkes kehas on eriti hдsti nдha, et soojendades keha ьhte osa jхuab soojus varsti jaguneda ьhtlaselt ьle kogu keha. Soojus nagu difundeeruks laiali. Sama toimub ka gaasides ja see ongi kehade soojusjuhtivus. Kuna soojus on pхhimхtteliselt molekulide kineetiline energia, siis selle ‘laialidifundeerumine’ tдhendab energia ьlekannet pхrgetel, kus kiiremini liikuvad molekulid jagavad oma energia teiste molekulidega. Nii kujuneb kehas lхpuks ьsna ьhtlane molekulide kiiruste jaotus. Et soojusjuhtivuse mehhanism on difusioonile sarnane, siis on ka vastavad valemid sarnased. Nдiteks soojuse liikumine lдbi varda pikkusega l ja ristlхikepinnaga S on

kus kontsentratsioonide vahet asendab temperatuuride vahe ja difusioonikonstanti soojusjuhtivuse konstant

Soojusjuhtivuse konstant on difusioonikonstant korrutatud erisoojusega, mis on tihedus korda massiьhiku soojusmahtuvus .

Sisehххrdumine, viskoossus

Voolamine on molekulide samaaegne ьhesuunaline liikumine. Voolamine toimub nдiteks torudes rхhkude vahe mхjul. Elusolendites toimub voolamine veresoontes loomadel ja juhtsoontes (ksьleem, floeem) taimedel. Voolamine on peamine viis molekulide transportimiseks pikematel distantsidel kui ьhe raku piires. Voolamine vхib olla laminaarne ja turbulentne. Laminaarse voolamise puhul vedeliku vхi gaasikihid torus segunevad ainult difusiooni tхttu, seega vдhe, ja kihid, mis alustasid teekonda toru seinte lдhedal, on seal toru lхpuni. Molekulid, mis alustasid teekonda toru keskosas jддvad samuti sinna kuni lхpuni. Laminaarne voolamine on tavaline peentes torudes, nagu kapillaarsooned ja taimede juhtsooned. Tubulentsel voolamisel toimub pidev keeriseline liikumine toru sees, selgeid kihte asendavad keerised, milles molekulid liiguvad kord sente lдhehedale, kord jдlle kaugemale. Turbulentne voolamine on tavaline jдmedates torudes. Vaadake nдiteks korstnast vдljuvat suitsu, aga sarnane keeriselisus on ka vere voolamisel jдmedamates veresoontes.

Ka voolamine allub sama tььpi proportsionaalsele seadusele nagu difusioon ja soojusjuhtivus, ainult siin on liikumapanevaks jхuks rхhkude vahe:

Pange tдhele, et voolamise puhul on tavaks vхrdetegurit esitada pццrdsuurusena, viskoossusena. Mida suurem on viskoossus , seda aeglasem on voolamine sama rхhkude vahe ja sama voolu geomeetria puhul. Vedelike puhul on viskoossus pхhjustatud peamiselt molekulidevahelistest sidemetest (tхmbejхududest). Kuna need temperatuuri tхustes nхrgenevad (molekulid liiguvad kiiremini ja kaugenevad ьksteisest, keha paisub), siis vedelike viskoossus temperatuuri tхustes vдheneb, voolamine kiireneb. Gaaside viskoossus pхhineb teisel alusel, kuna nendes molekulidevahelised tхmbejхud ei ole tдhtsad. Toru seinte lдhedal liikuvad molekulid pхrkuvad sageli seintega ja nende edasiliikumine piki toru on takistatud. Soojusliikumine aga pillutab molekule ka toru seintest eemale ja vastupidi, eemal olevaid molekule seinte suunas. Nii jдavad seinte poolt tulevad molekulid tsentri pool liikuvatele jalgu ja pidurdavad neid, aga tsentrist seinte poole liikuvad molekulid kiirendavad seinte lдhedal asuvate voolusuunalist likumist. Kujuneb vдlja keskmine kiiruste profiil, mis on ruuthьperbooli kujuga, kusjuures kхige kiiremini voolavad molekulid toru keskel ja seinte дares on need peaaegu paigal (voolamise mхttes, mitte termilise liikumise mхttes). Kuna gaaside puhul viskoossus on tingitud molekulide difusioonist risti voolu suunaga, on ka viskoossustegur seotud molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega ja vaba tee pikkusega:

,

kus  on gaasi tihedus. Viskoossus ei sхltu gaasi rхhust, kuna rхhu suurenedes tihedus kьll kasvab, kuid vaba tee pikkus proportsionaalselt kahaneb.