Колебания пусковой установки

Схема установки:

Рис.1

Задание на проект:

Пусковая установка находится на корабле, совершающем колебания (угол  - стационарная функция известного вида.)

В момент времени t = tк производится пуск ракеты.

Требуется:

1.   Получить уравнение малых колебаний ракеты с направляющей с учетом воздействия со стороны корабля.

2.   Определить закон изменения момента управляющего двигателя Мупр(t), обеспечивающего минимум среднего значения угловой скорости пусковой установки к заданному моменту времени t = tк. Мощность двигателя ограничена ( | Мупр.|)

 

Расчетная схема:

 Рис.2

Где точка А считается центром масс платформы с ракетой.

 и  - кинематическое возбуждение точек основания

- угол подъема платформы в стационарном состоянии

 - приращение угла (считается малым)

Для определения функций кинематического возбуждения воспользуемся схемой:

 

 

Рис.3

Где ,  или с учетом малости воздействия

,

Тогда возмущающие функции будут иметь вид:

(1)

(2)

Кинетическая энергия системы:

(3)

- абсолютная скорость центра масс платформы,

- момент инерции платформы с ракетой, относительно центра масс.

По теореме косинусов: (4), где

Таким образом, кинетическая энергия системы запишется в виде:

(5)

Потенциальная энергия системы:

Поскольку перемещения системы считаются малыми, а пружина обладает достаточной жесткостью, потенциальной энергией силы тяжести пренебрегаем.

То есть потенциальная энергия системы будет потенциальной энергией, накопленной в пружине.

(6)

С учетом (1) и (2) получаем:

(7)

Для записи уравнения движения воспользуемся уравнением Лагранжа:

(8)

(9)

(10)

Учитывая, что  получим:

(11)

(12)

Подставляя (11) и (12) в уравнение Лагранжа, получим следующее:

(13)

Уравнение движения будет иметь вид:

(14)

Или, с учетом управляющего момента:

(15)

Считаем, что на систему действуют функция:

где А –амплитуда, а -частота вынуждающих функций.

Уравнение движения можно переписать в виде:

 (16)

где

Решение этого дифференциального уравнения состоит из двух частей: