Построение производной

3.2 Построение производной

Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле:

Xґ(t_i) = (X_i – X_i-1)/(t_i – t_i-1) .

Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени. Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во времени увеличивается.

Эмиграция в США из Эмиграция в США из СССР и

Центральной Европы стран Балтии

3.3 Построение темпа производной

График изменения темпа производной строится с использованием формулы:

Xґ(t_i)/X(t_i) = (X_i – X_i-1)/X_i(t_i – t_i-1) .

Эмиграция в США из Эмиграция в США из

Центральной Европы СССР и стран Балтии

В результате построений получен график, представляющий собой колебания с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности.

4. Исследование на приближение к степенной зависимости

4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости

Степенная функция имеет вид:

X = X₀(t – t₀)^B ,

который является решением дифференциального уравнения следующего вида:

dX\dt = BX/(t – t₀) .

Производная степенной функции равна:

Xґ = BX₀(t – t₀)^B-1 .

Темп роста степенной функции равен:

Xґ/X = B/(t – t₀) ,

а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид:

X/Xґ = (t – t₀)/B .

Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие этого будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции, имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая пересекает ось абсцисс в точке t₀.

Интеграл степенной функции вычисляется по формуле :

Y = Xґ(t – t₀)^B+1/B+1 .

А обратный темп роста интеграла равен:

Yґ/Y = X/Y = (B+1)/(t – t₀) .

Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле:

B = ctg - 1 ,

или, другими словами, разности отношения приращения аргумента (1) к приращению функции (2) и 1.

Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по формуле:

Y/Yґ = (Xt)/X .

Эмиграция в США Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и стран Балтии

Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение).

Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших квадратов.

На основе данных графиков получены следующие значения параметров прямой:

График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из Центральной Европы: t₀ = 1877, B = 2.5

График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и стран Балтии: t₀ = 1875.5, B = 2.9

4.2 Построение графика ^BX

Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального времени t₀, построен график зависимости ^BX от времени.

Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение).

Поскольку, как и в предыдущем случае, невозможно выделить четкую линейную тенденцию графиков эмпирических последовательностей. Поэтому путем проведения прямой через минимумы графика и прямой через максимумы графика, ищется прямая, расположенная на одинаковом расстоянии от обеих прямых.

В результате проведенных построений определились значения t₀. В обоих случаях они не совпадают со значениями, полученными в результате предыдущих построений.

Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы новое значение t₀ = 1890.

Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии новое значение t₀ = 1883.

Эмиграция в США Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и стран Балтии

4.3 Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах

Как было сказано выше, степенная функция имеет вид:

X = X₀(t – t₀)^B .

Прологарифмировав обе части, получаем линейную зависимость lnX от lnT, где Т = t – t₀:

LnX = lnX₀ + Bln(t – t₀) .

Графики зависимости lnX от lnТ построены с учетом обоих значений t₀.

Для значений t₀ (t – t₀ = T1, t₀= 1877 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t₀ = 1875,5 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков обратного темпа роста интеграла эмпирической последовательности, графики имеют вид, представленный на листе 7 (см. Приложение).

Эмиграция в США Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и стран Балтии

Как и в предыдущем случае, проводится прямая, находящаяся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через минимумы графика и прямой, проведенной через максимумы графика. Коэффициент наклона данной прямой в этом случае будет равняться

Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,39;

Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 2,73.

Для значений t₀ (t – t₀ = T2, t₀ = 1890 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t₀ = 1883 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков ^BX , графики имеют вид, представленный на листе 8 (см. Приложение).

Эмиграция в США Эмиграция в США

из Центральной Европы из СССР и стран Балтии

Из аналогично обработанноых графиков эмпирических последовательностей получены новые значения коэффициентов наклона прямых, равные

Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,44;

Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 1,82.

5.Заключение

В результате проведенных исследований были построены графики эмпирических зависимостей и из них получено:

эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,11

эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,13

эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к степенной зависимости с параметрами В и t₀. При построении графиков были получены следующие значения параметров:

В=2,5 t₀= 1877

В=2,39 t₀= 1890

В=2,44

эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к степенной зависимости с параметрами В и t₀. При построении графиков были получены следующие значения параметров:

В= 2,9 t₀= 1875,5

В= 2,73 t₀= 1883

В= 1,82

6. Используемая литература

1. Statistical History of USA.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ