Использование корреляционных связей в комплексе с ядерно-геофизическими методами

(ягфм) каротажа при опробовании сред сложного состава

Красноперов Владимир Анатольевич, доктор геол.-мин. наук, профессор, академик РАЕН, Кульдеев Ержан Итеменович, инженер, Университет Сулеймана Демиреля, г. Алматы, Казахстан

Определенные преимущества ЯГФМ каротажа по сравнению с керновым опробованием повышают возможности комплексного исследования руд и вмещающих пород. В случаях, когда необходимо оценить содержания элементов, не обладающих благоприятными ядерными свойствами, используются эмпирические зависимости между химическими или минеральными компонентами изучаемых геологических сред, которые по своей природе могут быть кристаллохимическими и парагенетическими. Первые дают устойчивую, практически функциональную зависимость химических элементов в соединении (минерале), вторые объединяют минералы, образующиеся в одних геологических условиях, дают менее устойчивую корреляционную связь, зависящую от размеров элементов опробования, местоположения изучаемого участка и т.д. [6-10, 12, 13, 15, 16, 18-20, 21-27, 30- 33, 36, 38-40, 45, 47, 49, 51, 60, 261, 65, 67-69, 71, 72, 77, 84]. Наиболее устойчивыми из парагенетических являются связи минеральных компонент в закрытых системах, характеризующихся постоянством их суммы. К таким системам относятся, в частности кварц-карбонат-флюоритовые руды, пластовые фосфориты, фосфато-карбонаты, фосфато-кремнистые породы, карбонатно-терригенные образования.

Более чем вековая история развития учения о парагенезисе свидетельствует о неослабевающем интересе исследователей к этому разделу геологических знаний, оцененному В.И. Вернадским, как одно из крупнейших обобщений прошлого века, сыгравшего принципиально важную роль в создании основ генетической минералогии и современной геохимии. Отражая одну из кардинальных закономерностей природы - устойчивое сонахождение определенных минералов и химических элементов, парагенезис сейчас широко используется как мощное средство теоретического познания многокомпонентных минералогических и геохимических систем. Парагенетический метод в процессе изучения сложных природных объектов включает следующие этапы геологических исследований [77]:

1) постановку задачи с формированием общей цели исследований и выбором средств исследования;

2) определение компонентного состава геологического объекта, его описание как системы, выделение парагенезисов минералов и элементов;

3) генетическое истолкование результатов, конструирование модели объекта, формирование гипотез;

4) испытания моделей в реальных ситуациях, проверка гипотез практикой, превращение их в рабочую теорию для прогнозирования новых свойств объекта исследования.

Во многочисленных публикациях, посвященных парагенезису, чаще всего исследуются закономерные сообщества минералов и значительно реже- химических элементов. Это вполне закономерно, т.к. в породах химические элементы представлены в виде соединений-минералов. И практически один элемент может присутствовать в нескольких минералах, имеющих разные условия образования и составляющих изучаемую геологическую природную среду-породу. Поэтому в большинстве случаев целесообразно искать связи в геологических системах между минеральными компонентами, а не между элементами.

В работе Б.И. Смирнова [77] парагенезис рассмотрен как системное явление. Необходимость системного подхода в геологии обосновывалась в работах Ю.А. Косыгина, В.А. Соловьева, П.Ф. Иванкина, И.П. Шарапова, Р.А. Жукова, В.И. Оноприенко, Б.И. Смирнова. Характер системообразующих связей определяется, если рассматривать систему с наиболее общих позиций как взаимодействие элементов между собой, так и взаимодействие системы и среды. Единство компонентного состава и структурная однородность определяют целостность системы. Выбор методов обнаружения и описания связей между системными элементами существенно облегчается, если принять следующие определения системы: "...система - это множество объектов, на котором реализуется отношение с заранее заданным свойством" [77].

Формальная запись определения системы имеет вид:

S = def [R(m)] × P

где S-символ системы, def - дефиниция (определение); m- системообразующие элементы, R - некоторые фиксированное свойства, регулирующее выбор систематообразующего отношения R и играющее в связи с этим роль системной концепции. Процедуру конструирования системы можно представить в вид:

P® R ® {m} = S

Таким образом, чтобы определить систему, вначале следует задать некоторое свойство Р, исходя из смысла решаемой задачи; затем на его основе найти класс отношений, обладающих этим свойством - R и перечислить множество элементов {m}, на которых реализованы отношения

R : {m} = S.

Выбор Р, вообще говоря произволен. Поэтому на одном и том же множестве, можно построить целый ряд различающихся систем:

{Р1S1; Р2S2; Р3S3; и тд. }

Множество вещественных компонентов {m} - субстрат системы, R - ее структура, Р- базовое свойство, системная концепция. Выбор Р имеет определяющее значение для успеха практической реализации системных исследований.

Основным видом геохимической информации являются сведения о количестве атомов того или иного химического элемента в некотором заданном объеме геологического объекта. Существуют различные формы фиксаций этих сведений, наиболее распространено представление в виде весовых процентов. Обычно объем геохимической пробы исчезающее мал в сравнении с размерами геологического объекта, что позволяет рассматривать ее как точку в этом объекте.

Следуя [77], обозначим символом J множество точек, в которых произведены измерения концентрации химических элементов (J {i}), символом А - множество химических элементов, обнаруженных в исследуемом геохимическом объекте

А = {aR: R=1,… Р}

Содержание R -го элемента в i-й точке объекта обозначим как yir; совокупность значений yir, относящихся к определенному элементу, образует множество

УR = { yir : i Î J}

Существует также более широкое множество:

У = {УR: R=1,2, … Р}

Таким образом, содержания элементов являются единственным объективно фиксируемым результатом эволюции любого геохимического объекта.

Значение концентрации R -го элемента в i -й точке объекта зависит как от величины текущих воздействий (xi), так и от состояния системы (Сi). Множество C= {Ci : i Î J} может трактоваться как совокупность внутренних факторов; в геохимических системах такими факторами являются состояния химических элементов, которые регулируются свойствами их атомов. Множество Х= {xi : i Î J} объединяет внешние факторы, действие которых связано с изменением условий среды.

Поскольку оценить степень участия каждого из множеств X и С в формировании yir затруднительно, то обычно оперируют объединенным множеством факторов F:

f = cux, f ={Fg.: g =1,2,3,…m}; Fg = {fgi : i Î J},

где Fg - множество значений некоторого природного фактора, управляющего поведением геохимического объекта (температура, давление, водородный показатель и т.п.), fgi - значения g-го фактора в i-той точке объекта, в принципе {fgi} с алгебраической точки зрения может рассматриваться как множество действительных чисел. Можно полагать, что концентрации элементов, различающихся по химическим и физическим свойствам, формируются под воздействием различных факторов. Подмножество Fs, объединяющее факторы, общие для некоторой группы элементов, выступает в качестве регулятора и если его вклад в F достаточно велик, то соответствующая группа элементов приобретает черты системного объекта. Непосредственно оценить количество и вес факторов в Fs практически невозможно, но в то же время, чем больше вклад факторов Fs в эволюцию геохимического объекта, тем выше степень общности геологической истории составляющих ее элементов. В свою очередь поведение химических элементов в геологических процессах во многом регулируется особенностями строения их атомов. Так формируется группы элементов, управляемых одними и теми же факторами, что фиксируется, в частности, сопряженностью их концентраций. Это позволяет рассматривать совокупность подобных элементов как геохимические системы. Понятие геохимической системы в соответствии с [32, 77] формируется как: “… группа сонаходящихся в конкретном геологическом объекте химических элементов, характеризующихся сопряженностью их концентраций”

В символах системного анализа это определение можно записать как:

АS = def [R(аR)] × P

где АS – геохимическая система.

Применительно к геохимическим системам свойство Р, отражающее особый характер взаимодействия системных элементов с внешними и внутренними факторами, сформулировано как сопряженность концентраций химических элементов.

Для объединения элементов в парагенетическую ассоциацию требования сопряженности явно недостаточно, необходимо еще одно дополнительное условие, а именно однонаправленность изменения содержаний ассоциирующих химических элементов при тех или иных изменениях параметров среды. Именно при одновременном выполнении этих требований можно ожидать устойчивого появления одних и тех же наборов парагенетический связанных элементов в сходных геохимических обстановках. Элементы, реакция которых на одни и те же воздействия среды противоположна по знаку, характеризуются разнонаправленным изменением их концентраций и образуют "запрещенные" парагенезисы, состоящие из элементов антагонистов. Итак в соответствии с [77] "под парагенетической ассоциацией будем понимать группу сонаходящихся в конкретном геологическом объекте элементов, сходно (как по интенсивности, так и по знаку) реагирующих на изменения параметров среды и характеризующихся в связи с этим сопряженностью и однонаправленностью изменения их содержаний в пространстве объекта".

Используя терминологию теории определений, можно отметить,

что геохимическая система и парагенетическая ассоциация химических элементов соотносятся как родовое и видовое понятия. Это позволяет рассматривать парагенетическую ассоциацию как особым образом организованную геохимическую систему. Исходя из вышеизложенного, парагенетическая ассоциация может быть представлена в виде системы:

АП = def [RП (аR)] × PП

Здесь аR- элементы геохимической системы АS, слагающие парагенетическую ассоциацию

Концепция Р дополняется при переходе к парагенетическим ассоциациям требованием, чтобы элементы, объединяемые в АП, должны реагировать на изменения внешней среды сходным образом. Целостность геохимических систем обусловлена действием общих факторов FS. При переходе к парагенетическим ассоциациям, не все факторы из множества FS сохраняют системообразующие свойства. В связи с этим, возникает необходимость выделения из FS подмножества FП, объединяющего только те факторы, которые обеспечивают однонаправленность изменения состояния аR Î АП.

Таким образом, целостность и степень структурной однородности парагенетической ассоциации как системы особого рода определяется величиной вклада, связанного с действием факторов типа FП. Специфика факторов FП обусловливает сужение семейства системообразующих отношений. Если в геохимических системах допустима любая форма зависимости между концентрациями аR Î АS (как результат действия общих факторов FS), то для парагенетических ассоциаций, удовлетворяющих приведенному выше определению, приемлем только класс монотонных зависимостей. Обычно оперируют линейными зависимостями, использование которых в парагенетическом анализе вполне обосновано, т.к. факторы FП имеют причинный статус [1, 2, 4, 11, 14, 21, 29, 37, 44, 47, 48, 51, 61, 62, 73, 76- 79, 80, 84] .

Благодаря внедрению в практику геологических исследований математических методов и ЭВМ выделение парагенезисов и определение связей между их элементами все чаще осуществляется с помощью корреляционного и регрессионного методов [4, 21, 25, 28, 34, 35, 61, 63, 64, 66, 75- 78, 79, 84] .

В рамках системного подхода наиболее типична ситуация, когда неизвестны ни значения факторов F, ни реакция объекта на их воздействия. Неопределенность поведения объекта (с точки зрения исследователя) достигает крайних пределов. Но и в этом случае можно существенным образом снизить степень неопределенности, если от функциональных связей типа УR = j (F) (строго детерминированная модель) перейти к менее четким, но более реальным соотношениям типа:

П (F) ® П(У),

где П(F) - множество подмножеств множества значений F, П(У) -множество подмножеств множества выходных результатов У. Описание предложенной модели осуществляется на основании специально вводимой меры - вероятности Р. Допустимость вероятностной трактовки содержаний элементов, составляющих множества F и У, определяется, с одной стороны их случайным характером, а с другой – относительно устойчивым появлением подмножества выходных результатов Î П(У) при неоднократной реализации некоторого комплекса внешних условий Î П(Р).

В геохимических системах в качестве случайности выступает частичная непредсказуемость результата эксперимента (при отборе и анализе проб). Действительно, истинное значение концентрации элемента в определенной точке геологического объекта совершенно определенное и является закономерным результатом геохимических процессов. Но при отборе и анализе проб (данный комплекс условий эксперимента) мы в каждой конкретной точке получаем значения концентраций, колеблющихся с определенной надежностью около определенного значения, т.е. имея многократное повторение процесса опробования можно рассматривать колеблющиеся в определенных пределах значения концентраций как случайные события. Рассматривая концентрации как случайные величины, можно выделить два случая:

а) изучаемая величина по своей природе не является случайной, но методы ее измерения (комплекс условий) обладают некоторой погрешностью, которая приводит к случайным значениям. Примером может служить анализ одной и той же пробы без расхода аналитического материала (ядерно-физический способ). Погрешность способа анализа будет выступать в качестве случайности в получении результата. Это классический пример применения вероятностных методов к теории ошибок, впервые изложенный Далласом [81];

б) Изучаемая величина является случайной относительно общего комплекса условий по своей природе. Задача определения среднего содержания в геологическом объекте по сериям отобранных проб при измерениях содержаний в отдельных пробах с абсолютной точностью. Колебания значений среднего содержания по сериям в этом случае также будут иметь место.

Таким образом, в геохимии имеют место случайные события, и это совершенно не противоречит физико-химическому подходу к изучению геологических объектов.

В общем случае значения концентраций в геохимических системах из-за частичной непредсказуемости результатов по вышеуказанным причинам могут рассматриваться как случайные величины, к которым применимы вероятностные методы изучения, с помощью статистических моделей, которые бывают двумерными и многомерными [44, 47] .

Для кристаллохимических связей характерна двумерная модель, в которой объект исследования рассматривается как двумерная статистическая совокупность с двумерной функцией распределения случайных величин X и У. В данном случае связи близки к функциональным, элемент случайности возникает из-за ошибок измерений коррелируемых величин. Между двумя случайными величинами проявляются стохастические (вероятностные) связи, когда заданному значению случайной величины X = х соответствует не определенное значение У, а некоторый набор ее значений –у1, у2, у3 …уn; каждое из которых характеризуется определенной вероятностью -p1, p2, p3 …pn. Функция распределения величины У, соответствующая значению Х=х характеризуется математическим ожиданием ` Ух и дисперсией .

Распределения величины У соответствующие выбранным значениям величины X, называются условными распределениями, а дисперсии условными дисперсиями. Геометрическое место точек, соответствующих центрам условных распределений ` ух называется регрессионной зависимостью, а уравнение ее - уравнением регрессии. Аналогично каждому значению распределения величина У=у соответствует некоторая функция распределения величины X с математическим ожиданием ` ху и дисперсией .

Система из двух случайных величин всегда будут соответствовать две регрессионных зависимости:

ух=f (x) и ху=f (у)

В частном случае зависимости могут быть линейными, в общем случае - нелинейными.

Для линейной регрессии система уравнений имеет вид:

у = а1+в1× х (регрессия у на х);

х = а2+в2× у (регрессия х на у).

Уравнения нелинейной регрессии соответствуют более сложной зависимости, но практически всегда могут быть аппроксимированы по частям уравнениями прямых или полиномами до третьего порядка.

В общем, регрессия может быть однозначно описана, если известей вид уравнения и значения коэффициентов при неизвестных. Остановимся на анализе линейной регрессии. В системе двух уравнений линейной регрессии коэффициенты а1 и а2, определяют положения начальных точек уравнений и называются коэффициентами пересечения или свободными членами уравнений [2, 34, 44, 48]. При а1 = а2, =0 уравнения исходят из начала координат.

Степень зависимости (тесноты связи) случайных величин определяется коэффициентами линейной регрессии - в1 и в2, геометрически они представляют собой тангенсы углов наклона прямых регрессии к осям абсцисс и ординат (a и b ). В общем случае прямые регрессии имеют общую точку пересечения с координатами в виде математических ожиданий величин X и У , а угол g между ними изменяется в пределах (0-90°) и характеризует также связь между величинами (чем меньше g , тем теснее связь, g =0 связь - функциональная, т.к. обе линии сливаются, в1= 1 / в2 или в1× в2=1)

Основными числовыми характеристиками двумерного распределения случайных величин являются показатели их связи: для линейной регрессии - коэффициент корреляции и корреляционный момент (ковариация); для нелинейной регрессии - корреляционное отношение [2, 44, 75].

Коэффициентом корреляции r между случайными величинами х и у называется математическое ожидание произведения их нормированных отклонений:

где Мх и Му – центры распределения величин х и у, и - их дисперсии. Коэффициент корреляции r может быть представлен в следующей форме:

Величина М(х-Мх)(у-Му) называется корреляционными моментом (ковариацией) – COV (x;y).

Коэффициент корреляции – величина безразмерная с пределами изменения - ± 1. При r =0 линейная связь полностью отсутствует. Знак r (+) или (-) указывает на характер связи (прямая или обратная).

Равенства | r | =1 означает наличие линейной функциональной зависимости между величинами х и у.

Несмещенными и состоятельными оценками математических ожиданий Х= Мх и У=Му служат эмпирические средние значения:

;

Несмещенными и состоятельными оценками дисперсии и служат эмпирические дисперсии:

Несмещенной и состоятельной оценкой корреляционного момента служит эмпирический корреляционный момент (ковариация)

По этим оценкам определяют эмпирический коэффициент корреляции:

который дает состоятельную, но смещенную оценку теоретического коэффициента корреляции r (смещение, при n>50 составляет менее 1%).

Значимость r проверяется путем сравнения величины |r| × с его критическими значениями Н при заданной надежности r . При |r| × > H гипотеза о корреляционной связи подтверждается с надежностью r . Доверительные оценки r сложны и разработаны для случая нормального совместного распределения вероятностей величин X и У. Для приближенных доверительных оценок истинного значения коэффициента корреляции имеются номограммы[322]. Эмпирический коэффициент r может быть оценен оперативно графическим способом [44]. Доверительные интервалы для эмпирического коэффициента корреляции r, при малом количестве наблюдений n позволяет определить следующее преобразование, предложенное Р. Фишером:

Величина Z при небольших n с хорошим приближением следует нормальному закону cо средним

и дисперсией

Это позволяет построить доверительный интервал [ Z1, Z2] для MZ по формуле:

откуда следует, что истинное значение r с той же доверительной вероятностью ( 1-a ) заключено в пределах:

th Z1 < r< th Z2

где th - гиперболический тангенс аргумента, определяемый по таблицам. Использование Z-преобразованной величины r-оказывается более предпочтительным [76]. Параметры эмпирической прямой регрессии у на х оцениваются по формулам:

где ву/х - эмпирический коэффициент регрессии у на х.

Параметры линейной функции удовлетворяют принципу наименьших квадратов

по у: сумма квадратов отклонений наблюденных значений уi от

рассчитанных по уравнению прямой регрессии меньше, чем сумма квадратов отклонений их от любой другой прямой, т.е. имеет место не

равенство:

Наименьшая сумма квадратов отклонений наблюденных значений уi от линейной функции Ахi + B, т.е. сумма квадратов отклонений их от значений может быть выражена через эмпирический коэффициент регрессий по формуле:

Аналогичен подход по оценке параметров прямой регрессии x на у. Доверительные оценки параметров прямой регрессии у на х (аналогично х на у) выполняются с использованием суммы квадратов отклонений измеренных значений yi от рассчитанных по уравнению прямой регрессии. Принято, что все ошибки измерения независимы и следуют нормальному закону распределения около нуля с дисперсией s 2. Для теоретической прямой регрессии y =` y – ву/х (х-` х) доверительными границами для ` у служат:

а доверительными границами для ву/х служат

где t - значение коэффициента надежности из таблиц распределения Стьюдента при числе степеней свободы R =n-2 [134].

Доверительные оценки отклонения теоретической прямой регрессии от эмпирической для фиксированных значений аргумента x-x0 определяются как:

Необходимо отметить, что эта оценка значительно ухудшается при удалении от среднего значения Мх-` x, это указывает на опасность экстраполяции прямой регрессии за пределы интервала значений аргумента.

Для проверки гипотезы о том, что значения ` у /х подсчитанные по уравнению для каждого х, лежат на прямой, проводят поинтервальную оценку. Для каждого интервала (их количество l>8-10) подсчитывают условное среднее значение ` у /хj и условную дисперсию по формулам:

где mj - число точек ( xij, yij,) в j -том интервале, а затем вычисляют параметр:

Если F превосходит критическое табличное значение при числах степеней свобода K1=l-2; K2=n-l надежностью P гипотезу о линейном характере усредненной зависимости y от x следует поставить под сомнение [70, 76, 80].

В случае нелинейной корреляции в качестве меры тесноты связи, т.е. меры концентрации экспериментальных точек около усредненных кривых регрессии, применяется корреляционное отношение h y/x для зависимости у от x или h y/x для зависимости x от y.

Корреляционные отношения вычисляются по формулам:

где обозначения, те же, что в приведенных выше выражениях, причем mj’ и l’ имеют тот же смысл для x, какой mJ и l - для у. Корреляционные отношения удовлетворяют неравенствам: