Навигация
Множество натуральных чисел
124889
знаков
11
таблиц
2
изображения
1. Множество натуральных чисел
Определение: Множество называется числовым, если его элементами являются числа.
Известны следующие числовые системы:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел;
С - множество комплексных чисел.
Между этими множествами установлены следующие отношения:
N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.
В основе расширения числовых множеств лежат следующие принципы: если множество А расширяется до множества В, то:
1) А Ì B;
2) операции и отношения между элементами, выполнимые во множестве А, сохраняются и для элементов множества В;
3) во множестве В выполняются операции, не выполнимые или частично выполнимые во множестве А;
4) множество В является минимальным расширением множества А, обладающим свойствами 1) – 3).
|
| Минимальность расширения множества А обладающее свойствами 1–3 понимается в том смысле, что: 1. выполняются свойства 1–3; 2. В – наименьшее множество для которого выполняются свойства 1–3 и для которого выполняется операция невыполнимая или частично выполнимая во множестве А. |
Множество натуральных чисел N строго определяется с помощью аксиом Пеано.
1. Существует натуральное число 1, не следующее ни за каким натуральным числом (натуральный ряд начинается с 1).
2. Каждое натуральное число следует только за одним и только одним натуральным числом (в натуральном ряду нет повторений).
3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число (натуральный ряд бесконечен).
4. Аксиома индукции. Пусть М Ì N. Если:
1) 1 Î М;
2) " а Î М множеству М принадлежит и следующий за а элемент а1 то множество М совпадает с множеством натуральных чисел.
Итак, множество N = { 1, 2, 3, 4,...}.
На аксиоме 4 основан метод математической индукции. Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему, а затем делается вывод о справедливости данного утверждения.
П р и м е р. Доказать методом математической индукции следующее равенство:
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1. Проверим справедливость данного утверждения для n = 1: 
, т.е. 1 = 1.
|
| Проверка при n=1 ОБЪЯЗАТЕЛЬНА! |
2. Предположим, что данное равенство выполняется для k слагаемых, т.е. при n =k: 
3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства для n = k+1:
Ho 
, а потому 
, а так как 
, следовательно 
Теперь можно сделать вывод о том, что данное равенство справедливо " n Î N.
2. Множество целых чисел
Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z.
|
| Расширяя – определяя новую алгебраическую операцию. |
Поэтому Z=N È {0, -1, -2,...} или Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, т.е. множество целых чисел Z содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.
Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.
Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0 £ r < | b |.
О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.
О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: 
, где p1, p2, ..., pk – простые числа, а 
- натуральные числа. Разложение называется каноническим.
|
| Единственность разложения понимается с точностью до порядка следования сомножителей. Например Если сказано, что простые числа расположены в порядке возрастания, то данная оговорка не нужна. |
.О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а1, а2, ..., аn называется целое число d, такое, что a1 : d, а2 : d, ..., аn : d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а1, а2, ..., аn называется такой положительный общий делитель чисел а1, а2, ..., аn, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.
|
| Наибольший общий делитель – это наибольший из их общих делителей. |
Обозначается: d = (а1, а2, ..., аn).
Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.
П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:
1173 = 323´3 + 204;
323=204´1+119;
204=119´1+85;
119=85´1+34;
85=34´2+17;
34=17´2;
так что (1173, 323) = 17.
О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а1, а2, ..., аn, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.
|
| Наименьшее общее кратное – это наименьшее из их общих кратных. |
Обозначают: m=[ а1, а2, ..., аn].
Пусть а и b целые числа, тогда 
П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.
Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] = 
Похожие работы
... также невысока и обычно составляет около 100 кбайт/с. НКМЛ могут использовать локальные интерфейсы SCSI. Лекция 3. Программное обеспечение ПЭВМ 3.1 Общая характеристика и состав программного обеспечения 3.1.1 Состав и назначение программного обеспечения Процесс взаимодействия человека с компьютером организуется устройством управления в соответствии с той программой, которую пользователь ...
... неподготовленный пользователь (в частности учащийся, с минимальным багажом знаний ПК), при запуске программы буквально за считанные минуты овладевает теми знаниями, требованиями необходимыми при работе с программой, что немаловажно при использовании компьютера при обучении математики. Курс ОИВТ в средней школе изучается в 10-11 классах, а если учесть, что программа написана для 5 или 6 класса, то ...
... и менеджмента Санкт-Петербургского Государственного технического университета соответствовал поставленной цели. Его результаты позволили автору разработать оптимальную методику преподавания темы: «Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов». Выполненная Соловьевым Е.А. дипломная работа, в частности разработанная теоретическая часть и план-конспект урока представляет ...
... воспринимаются даже на высоком научном уровне. Стремление упростить материал вряд ли целесообразно. Глава 3. Методические рекомендации курса «Математические основы моделирования 3D объектов» базового курса «компьютерное моделирование» для студентов педагогических ВУЗов специальности преподаватель информатики §1. Принципы построения электронного учебника Прежде чем рассмотреть ...
0 комментариев