Волновое уравнение

1.   Волновое уравнение.

 Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непре­рывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смеще­нием  мы здесь понимаем (как и в § 1) общее смещение вещества, запол­няющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой парал­лельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню (§ 1). Мы придем, таким образом, к уравнению

(2.16)

где р = — есть давление в газе или жидкости. Здесь — значение плот­ности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р₀. Ве­личины р₀,  не зависят ни от х, ни от t.

Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограничен­ной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилин­дрический столб, параллельный направлению распространения и при­менить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою оче­редь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.

 При заданной деформации  в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расшире­нии.

Есть однозначная функция плотности:

p=f(p). (2.17)

Введем обозначения

,  (2.18) где и — соответственно изменения давления и плотности при нару­шении равновесия.

Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

получаем:

 (2.19)

Найдем теперь связь между  и деформацией  = . Мы сначала выразим через , а затем  через :

а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:

P₀+=f(+)

разлагая f(+) в ряд по степеням ,

P₀+=f()+f’()+1/2f’()()²......

Так как P₀=f(), то получаем:

=f’()+1/2f’’()()²..... (2.20)

Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплот­нения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в раз­ложении (2.20) членами, пропорциональными ()², ()³, . . ., и заменить (2.20) линейным соотношением

=f’()

Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интен­сивности.

f’() —постоянный при данных условиях опыта коэффициент, опреде­ляемый состоянием среды при равновесии.

б) Объем V₀ в результате деформации превращается в объем

V=V₀ (1+), (2.21)

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:

Таким образом,

(2.22)

Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое урав­нение

(2.23)

(2.24)

Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации рас­пространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость рас­пространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны ( ).

2. Случай идеального газа. Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния

pV=RT,  (2.25)

где p – давление, V—объем одного моля, R—универсальная газовая по­стоянная, равная 8,3143 эрг/град, T—температура, измеренная по термодинамической шкале («абсолютная температура»), или

где М— масса 1 моля, = M/V— плотность.

Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.

Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид

(2.26)

где

постоянная величина (С и С — теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь

(2.27)

 (формула Лапласа).

Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе зани­мался Ньютон. Он считал, что

(2.26а)

т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соот­ношение

(2.27а)

Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него (2.26а) вместо (2.26).

Для воздуха ( =1,4) при комнатной температуре (20° С, Т =293°) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, § 3), мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах.

Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.

Список использованной литературы.

 

à   Горелик, Колебания и волны,

à   И.В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.

à   Б.М. Яворский, А.А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

Задача №1.

Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а при резонансе 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определить его.

Задача №2.

Две волны Х₁=Аsin(wt-kl) и Х₂=Аsin(wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц распространяются со v=960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см, начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек для момента времени 7/24 сек.

Задача №3.

Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой – 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v=7 м/с. Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.

Для рецензии и заметок: