Теория распределения информации

Министерство науки и высшего образования Республики Казахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Автоматической электросвязи

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Теория распределения информации

ШИФР:

ГРУППА:

ВЫПОЛНИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

Г. АЛМАТЫ, 1999 Г.

ЗАДАНИЕ 1.

1.   Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из V, на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а при условии, что:

а) N >> V; б) N  V; в) N, V  

2.   Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.

Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:

V= ;

целая часть полученного числа, где NN – номер варианта.

Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:

а = 0,2+0,01 * NN

Примечания:

·     Для огибающей распределения привести таблицу в виде:

Р(i)
i

·     В распределении Пуассона привести шесть – восемь составляющих, включая значение вероятности для i =  (целая часть А)

·     А = а * V

 

Решение:

Случайной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые наперед предугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей, непрерывная случайная величина – функцией распределения основными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Определим исходные данные для расчета:

V=

a = 0.2 + 0.01 * 11 = 0.31 Эрл (средняя интенсивность нагрузки)

А = а * V = 0,31 * 11 = 3,41 » 4 Эрл (нагрузка)

а) Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии N >> V (N – число источников нагрузки).

Для этого используем распределение Эрланга, представляющее собой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения и пронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.

Распределение Эрланга имеет вид:

P_i(V) =  , ,

где P_i(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V.

Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

где P_v –вероятность занятости всех линий в пучке из V.

Произведем расчет:

Р₀ =

Р₁ = Р₀ *  = 0,072 Р₂ = Р₁ *  = 0,144

Р₃ = Р₂ * = 0,192 Р₄ = Р₃ * = 0,192

Р₅= Р₄ * = 0,153 Р₆ = Р₅ * = 0,102

Р₇ = Р₆ * = 0,058 Р₈ = Р₇ * = 0,029

Р₉ = Р₈ * = 0,012 Р₁₀ = Р₉ * = 4,8 * 10^-3

Р₁₁ = Р₁₀* = 1,7 * 10^-3

 

M( i ) = 4 * (1 - 1,7 * 10^-3) = 3,99

D( i ) = 3,99 – 4 * 1,7 * 10^-3 * (11 – 3,99) = 3,94

Данные результаты вычислений сведем в таблицу 1:

Таблица 1

P( i )	0,018	0,072	0,144	0,192	0,192	0,153	0,102	0,058	0,029	0,012	0,0048	0,0017
i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

б) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии N@V. Применим распределение Бернулли (биноминальное распределение), которое имеет вид:

где: P_i(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V;

 - число сочетаний из V по i (i = 0, V)

 ,

а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию

V-линейного пучка от N источников.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться следующей рекурентной формулой:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

M( i ) = V*a; D( i ) = V * a * (1-a)

Произведем расчет:

;

Р₁ = 16,8*10^-3*

Р₂ = 16,8*10^-3*

Р₃ = 16,8*10^-3*

Р₄ = 16,8*10^-3*

Р₅ = 16,8*10^-3*

Р₆ = 16,8*10^-3*

Р₇ = 16,8*10^-3*

Р₈ = 16,8*10^-3*

Р₉ = 16,8*10^-3*

Р₁₀ = 16,8*10^-3*

Р₁₁ = 16,8*10^-3*

M( i ) = 11 * 0,31 = 3,41; D( i ) = 11 * 0,31 * (1 – 0,31) = 2,35

Результаты вычислений сведем в таблицу 2:

Таблица 2

P(i) *10-3	16,8	82,3	37,7	22,6	15	10	7,5	5,3	3,7	2,5	1,5	0,6
i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

в) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11 , при условии N,V®¥.

Используем распределение Пуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий за промежуток времени t:

, ,

где: l - параметр потока, выз/час

lt – средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий (А=lt).

Легко показать, что:

 ,

Произведем расчет:

Р₀ =  * е^-4 = 0,018 Р₁ = 0,018 *  = 0,036

Р₄ =  * 0,018 = 0,192 Р₆ = 0,018 * = 0,102

Р₈ = 0,018 * = 0,029 Р₁₀ = 0,018 * = 0,0052

Р₁₂ = 0,018 * = 0,0006

M( i ) = D( i ) = 4

Результаты вычислений сведем в таблицу 3:

Таблица 3

P( i )	0.018	0.036	0.192	0.102	0.029	0.0052	0.0006
i	0	1	4	6	8	10	12

По данным таблиц 1, 2, 3 построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) N@V, в) N, V ® ¥ ; рис. 1.

Задание 2.

На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью А.

1.     Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени [ 0, t^*]:

Р_к(t^*), где t^* = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0

2.     Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

F(t^*), t^* = 0; 0,1; 0,2; …

3.     Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [ 0, t^*]:

P_i³k(t^*), где t^* = 1

Примечание: 1. Для расчета значений A и V взять из задания 1.

2.Число вызовов к определить из выражения: к = [V/2] - целая часть числа.

3.   Для построения графика взять не менее пяти значений F(t^*). Результаты привести в виде таблицы:

F(t*)
t*

4.   Расчет P_i³k(t^*) провести не менее чем для восьми членов суммы.

Решение:

Потоком вызовов называют последовательность однородных событий, поступающих через случайные интервалы времени. Поток вызовов может быть задан тремя эквивалентными способами:

1.   Вероятностью поступления к вызовов за интервал времени [0,t).

2.   Функцией распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов.

3.   Вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [0,t).

Свойства потоков: станционарность, ординарность и полное или частичное отсутствие последействия. Потоки классифицируются с точки зрения наличия или отсутствия этих свойств.

Основными характеристиками потоков вызовов являются: интенсивность m и параметр l.

Простейшим потоком называется ординарный стационарный поток без последействия.