Междисциплинарный подход в преподавании математики

А.В. Ястребов

Резюме. В статье сделаны два логических хода, взаимно дополняющих друг друга. Во-первых, выявлен ряд неотъемлемых свойств математики, которые определяют специфику применения междисциплинарного подхода к ее преподаванию. Оказывается, что специфика эта весьма велика и порой доходит до принципиальной невозможности использования некоторых традиционных элементов данного подхода в ситуациях, которые достаточно просты с точки зрения педагогики математики. Во-вторых, внутри математики найдены свидетельства того, что для полноценного освоения студентом этой науки необходимо раскрытие ее полидисциплинарной сущности.

§ 1. Три аспекта междисциплинарного подхода к преподаванию

Нетрудно видеть, что система высшего образования представляет собой, образно говоря, мозаичную целостность. Мозаичность высшей школы в первую очередь бросается в глаза: в вузах учатся мужчины и женщины, причем всевозможных возрастов и разнообразного жизненного опыта; они осваивают громадный спектр профессий и специализаций внутри одной профессии; обучение осуществляется в дневной, вечерней и заочной форме, причем как в государственных, так и в частных вузах; при этом вуз может быть большим или маленьким, старинным или вновь образованным, бурно развивающимся или испытывающим кризис. Размещение вуза в том или ином регионе также накладывает отпечаток на процесс обучения. Разумеется, можно было бы продолжить перечень различий. Можно было бы попытаться проанализировать их причины и следствия, однако для целей данной статьи разумнее обратиться к факторам, обеспечивающим целостность высшего образования.

Один из них - общность задач, стоящих перед выпускниками вузов. Действительно, какую бы профессию ни осваивал студент, какова бы ни была его личная образовательная траектория, в каких бы рамочных условиях ни происходило его обучение, по окончании вуза всем молодым специалистам приходится решать однотипные задачи: найти работу, адаптироваться в коллективе, сделать первые карьерные шаги, сменить работу в случае неудачи, сменить профессию, если была допущена ошибка при ее выборе, и т.д. Таким образом, система высшего образования, учитывающая интересы выпускников, должна решить вопрос о том, каковы те качества, которые должен формировать любой вуз у своих студентов. В равной мере студент должен понимать, каковы те качества, которые он должен культивировать в себе в период обучения в вузе, независимо от того, какую специальность он приобретает.

Рынок труда только усиливает остроту данного вопроса, поскольку ситуация на нем весьма динамична. Постоянно меняется номенклатура выпускаемой продукции, система управления производством, оборудование, технологические процессы, система контроля качества, формы собственности, юридические нормы и т.п. В этих условиях очевидно, что высшее образование не может дать человеку всех знаний, которые будут необходимы ему в течение долгой профессиональной жизни. С точки зрения работодателя высшее образование должно формировать те качества специалиста, которые сделают его конкурентоспособным на рынке труда, поскольку конкурентоспособность предприятия тесно связана с личными профессиональными качествами работающих на нем людей.

К тому же вопросу приводит более частная, но от этого не менее важная потребность в расширенном воспроизводстве системы высшего образования. Известно, что рост объема научной информации носит экспоненциальный характер, поэтому высшая школа не может передать студенту такой объем научных знаний, умений и навыков, который был бы достаточен на протяжении всей трудовой деятельности. Как для производства, так и для высшей школы гораздо более важными являются универсальные и долгоживущие умения и навыки, которые будут полезны в самых разных сферах профессиональной деятельности в течение длительного времени. Каковы они?

Один из возможных ответов на него сформулирован, например, в обзоре И.А. Зимней [5], содержащем большую библиографию. В нем описан процесс возникновения новой парадигмы результатов образования, связанной с понятием так называемых ключевых компетенций. Не раскрывая подробно смысл этого понятия, скажем в общем плане, что ключевые компетенции опираются на универсальные знания, умения, на обобщенный опыт творческой деятельности и т.п. Приведем также перечень ключевых образовательных компетенций, предложенный А.В. Хуторским: 1) ценностно-смысловая; 2) общекультурная; 3) учебно-познавательная; 4) информационная; 5) коммуникативная; 6) социально-трудовая; 7) личностная (самосовершенствование) [12].

Итак, ключевые компетенции являются первым из аспектов междисциплинарного подхода. Для преподавателя конкретной дисциплины, в нашем случае математики, встает естественная двусторонне ориентированная задача: создать возможно более эффективные методы формирования ключевых компетенций посредством изучения математики и выявить те ограничения, которые налагает процесс изучения математики на возможности формирования ключевых компетенций.

Второй фактор, свидетельствующий о целостности высшего образования, очевиден и даже тривиален: любой студент, где бы он ни учился и какую бы специальность ни получал, должен усвоить определенный объем информации, в частности, знаний, умений и навыков, характерных для той профессии, которую он осваивает. В более широком плане студенту необходимо выявить те свойства, которые характеризуют носителей осваиваемой профессии, и «присвоить» их себе, т.е. сделать их своими личными свойствами, интериоризировать их. Процессами получения, переработки и хранения информации занимаются (в разных планах) две науки, переживающие бурный рост, - психология и информатика. Естественно считать, что преподаватели специальных дисциплин, в нашем случае математики, должны учитывать рекомендации психологии и информатики; очевидно, что такой учет придает процессу преподавания междисциплинарный характер.

Третий фактор, обеспечивающий целостность высшего образования, связан с его дуалистическим, личностно-социальным характером. Говоря о коллективном и индивидуальном, В.А. Лекторский пишет: «Индивидуальный субъект, его сознание и познание должны быть поняты, учитывая их включенность в различные системы коллективной практической и познавательной деятельности» [9. С. 281]. И далее: «Коллективный субъект существует в известном смысле вне каждого отдельного индивидуального субъекта. Коллективный субъект выявляет себя и законы своего функционирования не столько через внутренние структуры сознания индивида, сколько через внешнюю предметно-практическую деятельность и коллективно-познавательную деятельность с системами объективированного знания» [9. С. 283].

В контексте мыслей В.А. Лекторского естественно рассматривать три субъекта педагогического процесса: студента (индивидуальный субъект), академическую группу студентов, понимаемую как единое целое (коллективный субъект), и педагога, понимаемого как организатора познавательной деятельности первых двух субъектов с системой объективированного знания, в нашем случае математики. При этом педагог предстает перед студентами одновременно в двух качествах. Традиционно он является представителем науки, от которого студент получает предметную информацию, приемы исследовательской деятельности и т.п.; в широком плане педагог - это представитель данной профессии, в улучшенный образец которого должен со временем превратиться студент. Другой, менее традиционный взгляд состоит в том, что педагог является посредником между студентом/группой и системой предметного знания, регулятором деятельности студента/группы по ее освоению. Педагога, выступающего в таком качестве, принято называть модератором. (Moderator - арбитр, посредник, председатель; moderation - регулирование.) Естественно, что педагог-модератор должен уделять внимание таким аспектам процесса преподавания, которые являются общими для многих, если не всех, преподаваемых дисциплин: формированию мотивации студентов, выработке приемов их активизации, развитию коммуникативных навыков и, в более широком плане, формированию ключевых компетенций. Более подробно с понятием модерации можно познакомиться в диссертации С.А. Жезловой [4].

Итак, мы выявили три имманентных свойства системы высшего образования, которые указывают на объективное присутствие междисциплинарной составляющей в процессе преподавания любой конкретной специальной дисциплины.

§ 2. Некоторые свойства математики: взгляд извне

Естественно, что рекомендации, выработанные из общих соображений, окажутся эффективными и полезными для преподавания конкретной дисциплины только в том случае, когда будут гармонично согласованы с ее специфическими свойствами. Ниже мы укажем на некоторые особые свойства математики в контексте междисциплинарного подхода к процессу ее преподавания.

1. Математика — это метаязык, представляющий собой неразрывное единство естественного языка и специального символьного подъязыка с точными правилами словообразования.

Для иллюстрации данного утверждения рассмотрим одну задачу, предназначенную для учеников 8-го класса.

Задача [1, № 5.119]. В период военных учений в системе обороны дивизии было создано несколько командных пунктов, причем каждый из них имел линию связи с любым другим из числа оставшихся. Сколько командных пунктов было организовано, если количество линий связи равно 45?

Очевидно, что задача сформулирована на обычном, житейском, русском языке, и в ее тексте нет ничего специфически математического: понятий, символов, аксиом, теорем, формул и т.п. Проанализируем процесс ее решения, акцентируя внимание на переходах с русского языка на символьный подъязык и обратно, которые с неизбежностью придется делать в ходе рассуждений.

Решение. Поскольку количество командных пунктов неизвестно, обозначим его буквой n. Для удобства перенумеруем эти пункты. Из первого пункта проведем линии связи ко всем остальным. Очевидно, что их количество равно n-1. Теперь из второго пункта проведем линии связи ко всем тем пунктам, к которым они еще не проведены. Очевидно, что их количество равно n-2. Затем проделаем ту же операцию с третьим, четвертым и всеми последующими пунктами. При этом количество линий связи будет каждый раз уменьшаться на единицу. Когда мы будем проводить линии связи из пункта с номером n-2, то их количество равняется двум, а когда мы будем проводить линии связи из предпоследнего пункта, то оно равно единице. На этом процесс проведения линий связи заканчивается, поскольку каждый командный пункт уже соединен с каждым. Если сложить количества всех проведенных линий связи, то по условию оно должно равняться 45, и мы получаем выражение

(n −1) +(n −2)+ L + 2 + 1 = 45. (1)

До сих пор все рассуждения шли на русском языке, однако получившееся в результате выражение (1) выглядит как слово европейского языка, состоящее из 20 букв, расположенных в такой последовательности: (, n, -, 1,), + и т.д., и три последние буквы - это =, 4 и 5 (здесь многоточие мы считаем одной буквой). Часть слова, стоящая левее буквы =, является объектом, весьма популярным во времена Мальтуса - арифметической прогрессией. По известной формуле она может быть заменена другим словом, так что выражение (1) примет вид

2 " (2)

Полученное слово гораздо короче исходного, однако читается несколько странно: сначала горизонтально (n умножить на n — 1), потом вертикально (деленное на 2), а потом вновь горизонтально (равно 45). Не будем подробно описывать дальнейшие трансформации слов, а просто перечислим их, соединяя эквивалентные слова символом П, как это принято в математике:

Г«=-> (3)

(1) <s>(2) о n(n −1)=90<s>n2 − n − 90=0 о

n=10

Здесь мы покидаем символьную часть математического языка и вновь возвращаемся в область естественного русского языка. Последнее из символьных слов в последовательности (3) означает, что количество командных пунктов п равно либо отрицательному числу -9, либо натуральному числу 10. Поскольку количество командных пунктов не может быть отрицательным, у нас остается только одна возможность: n=10.

Мы привели подробный анализ решения задачи по той причине, что он выявляет следующее противоречие: применение междисциплинарного подхода к преподаванию математики чрезвычайно затруднено самой ее природой, хотя и представляется не только возможным, но и вполне естественным.

С одной стороны, для изложения системы математического знания приходится строить и использовать метаязык, в который русский язык входит в качестве составной части. Уже эта задача является весьма сложной, особенно если учесть, что символы и формулы математики составляют только лишь часть ее, причем не самую важную, сложную и трудную. Кроме того, при изучении математики студент и преподаватель работают над приобретением нескольких разнохарактерных умений: а) умением точно применять формальные правила, подчас весьма абстрактные, сложные и многошаговые; б) умением выбирать из длинного перечня известных правил именно то правило, которое необходимо для выполнения данного конкретного действия; в) умением строить последовательность применяемых правил, которая ведет к решению поставленной задачи. Подчеркнем, что второе и третье умения в принципе не могут быть формализованы. Они сродни практическому искусству и приобретаются только под влиянием хороших образцов и в процессе многочисленных упражнений. Как писал А. Пуанкаре, «творить - это отличать, выбирать» [11.С. 312]. (О природе математического творчества см. там же [11. С. 309-320].)

С другой стороны, очевидно, что рассмотренная задача не является собственно математической, а носит прикладной характер, так что междисциплинарный аспект математической деятельности по ее решению не вызывает сомнений. Кроме того, наличие лингвистического компонента решения задачи свидетельствует о полидисциплинарной природе самой математики.