Применение объектно-ориентированного программирования в параметрическом анализе структур Тьюринга

Болтенков Степан Анатольевич, Сибирский федеральный университет (СФУ)

При проведении параметрического анализа структуры Тьюринга наиболее трудоемким является выведение параметрических зависимостей, на основании которых делается заключение об устойчивости решений исследуемой модели. Значительные усилия затрачиваются на вывод необходимых формул, имеющих сложный вид.

Не каждая модель позволяет произвести необходимые аналитические преобразования для нахождений тех или иных зависимостей. Соответственно, приходится искать различные численные алгоритмы, которые позволят сделать необходимые вычисления. Такой подход приводит к огромным трудозатратам, а при незначительной модификации первоначальной модели заставляет заново проводить аналитические выкладки, что еще больше отдаляет исследователя от получения нужного ему результата.

В связи с этим, возникает необходимость выработки принципиально иного подхода в разработке программного обеспечения, необходимого для исследования данной модели.

Одним из таких подходов может стать объектно-ориентированный подход (ООП) с концепцией слоев [1]. Концепция слоев (layers) – одна из моделей, используемых разработчиками программного обеспечения для разделения сложных систем на более простые части. Описывая систему в терминах архитектурных слоев, удобно воспринимать составляющие ее подсистемы в виде «слоеного пирога».

В данном случае это возможно благодаря значительной формализации параметрического анализа и применению различных численных алгоритмов для каждого шага исследований.

В данной работе будет рассмотрена модель одной из химических реакций и на ее примере представлены все пункты применения ООП. Будет проведен сравнительный анализ возможных и известных подходов для решения поставленной задачи.

1. Постановка задачи

Для формирования четкого представления о предложенном методе необходимо подробно рассмотреть предметную область, а именно, параметрический анализ структуры Тьюринга [2]. В общем случае под термином структура Тьюринга понимают систему дифференциальных уравнений определенного вида. Для реакции двух веществ с одномерной диффузией система уравнений будет иметь следующий вид [3]:

 (1)

где

 (2)

 (3)

Начальные данные:

 .

Краевые условия для отрезка (0,l) с непроницаемыми стенками

 .

Дополнительное условие, следующее из предметной области, состоит в том, что концентрация вещества не может превышать 1 или быть отрицательной.

 (4)

В качестве примера рассмотрим реакцию вида:

1. Z↔X1

2. X1+2Z→3Z

3. Z↔X2

которую описывает система дифференциальных уравнений [4]

  (6)

где

  (7)

В данной работе будут описаны только общие положения проведения параметрического анализа. Подробная схема изложена в работах [4,6,7]

Разделим параметрический анализ на три основных этапа.

1. Нахождение стационарных точек системы

2. Исследование устойчивости стационарных точек

3. Бифуркационный анализ.

Нахождение стационарных точек ( далее - ст.с) заключается в поиске решений системы уравнений:

(8)

Вторым шагом исследования системы (1) является определение характера особых точек и построение параметрических кривых.

При изучении поведения динамической модели (1) обычно недостаточно знать ее характеристики только при одном конкретном значении того или иного параметра, важно иметь представление о характере поведения модели в зависимости от значений параметров, изменяющихся в выбранном диапазоне. В общем случае эта задача связана с решением нелинейных систем с параметрами. В результате чего получаем зависимости:

  (9)

где - это параметры из (2), (3).

Последним этапом параметрического анализа является построение бифуркационных кривых: кривой кратности стационарных состояний LΔ: Δ=0 и кривой нейтральности Lσ,: σ=0.

Опишем процедуру построения этих кривых.

Пусть система (1) имеет однородное по пространству стационарное состояние (,). Исследуем его устойчивость, принимая во внимание, что неподвижными (особыми или стационарными) называются точки, положение которых на фазовом портрете с течением времени не изменяется.

Для этого запишем линеаризованную относительно отклонений систему:

  ,

  (10)

Сформируем матрицу Якоби с элементами

  (11)

где

   (12)

Будем искать решение в виде:

 ,  (13)

при котором характеристическое уравнение примет вид:

  (14)

  где

  (15)

 (16)

Значение x определено ст.с. Устойчивость ст.с. определяется собственными числами матрицы Якоби. Для исследования устойчивости достаточно исследовать знак σ и Δ.

Выделим из два параметра p1 и р2 и построим линии LΔ и Lσ в плоскости этих параметров. Граница области множественности LΔ определяется, как решение системы уравнений:

H(x,p1,p2) = 0

Δ(x,p1,p2)=0

Таким образом, кривая краткости стационарных состояний LΔ в плоскости параметров (p1,p2) выписана в параметрическом виде:

P2=ξ2(x)

P1= ξ1(x, ξ2(x,)),

Общую структуру программного обеспечения можно отразить в виде схемы (Рис №1).

Рис. №1. Объектная схема приложения

Рассмотрим последовательно все блоки: Модель, Численные алгоритмы, Интерфейс

Похожие работы

Информационные системы менеджмента

Скачать

108958

3

9

... уровня. В общем случае в качестве вариантов решений можно использовать классы стратегий, предлагаемых в экономической литературе. 16. Особенности проектирования интеллектуальной экономической информационной системы   Проектирование ИИС начинается с обследования предметной области. Современные технологии такого обследования базируются на концепции и программных средствах реинжиниринга бизнес- ...

Системное автоматизированное проектирование

Скачать

138248

8

0

... со строгими методами оптимизации образуют жесткую структуру, изменения которой осуществляются разработчиками или специальными лицами, администрирующими информационную компоненту и сопровождающими систему автоматизированного проектирования. Они не являются специалистами в данной предметной области. ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ Предварительно остановимся на изложении некоторых понятий ...