Основы математики

Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона. 1 C00 1 1 C10 C11 1 2 1 C20 C21 C22 1 3 3 1 C30 C31 C32 C33 1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44 1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55 1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1. Свойства треугольника Паскаля: 1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно сумме двух соседних в предыдущей строке. 2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис- лам. 3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре- дыдущей сроке. 4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой. Сmn=Cmm-n 2. Бином Ньютона. (a+b) - двучлен (бином) (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2 и т.д. ;) Свойства бинома Ньютона: 1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых. 2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны между собой. 3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически: n (a + b)n = S Cnk.an-k.bk k=0 4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk 5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n. Метод математической индукции. Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если: 1) Оно верно при n=1; 2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно при n=k+1. Комбинаторика: Размещения и перестановки. Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю- щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое- динениями. 3 рода соединений: 1) Размещения 2) Перестеновки 3) Сочетания Дано: (a,b,c) - 3 элемента. по одному: a, b, c. по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca. по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba. 1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд- ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m ------------¬ ¦ m! ¦ ¦Amn= ------+ ¦ (m-n)!¦ L------------ 2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются перестановками. ------¬ ¦Pm=m!¦ L------ 2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на- зываются сочетениями. --------------¬ Свойства числа сочетний: ¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n ¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1 ¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1 L-------------- 4) C00=0!=1 Дифференцирование функций. Производная функции h=x-a - приращение аргумента f(a+h) - f(a) - приращение функции --------------------------------------¬ ¦ f(a+h) - f(a) - ¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)- ¦ h->0 h - +-------------------------------------- ¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h- L-------------------- df = f'(x).dx - дифференциал функции. Примеры: 1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h)) 1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- = x h->0 h h->0 h 1 1 = lim ------- = --- x(x+h) h2 | 1 2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = --- 2?x (ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2 ----------------¬ ¦(axn)' = n.xn-1¦ L---------------- Техника дифференцирования. (fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то- (f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ- ( f )' f'g + fg' ке. ¦ - ¦ = --------- 9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ- водная отрицательна. (fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про- n| 1 изводная положительна. ? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес- n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные экстремумы. 4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти: а) Значение функции на краях промежутка; б) Экстремумы функции на данном промежутке; в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные. Дифференцирование тригонометрических функций. ---------------¬ ----------¬ ¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦ ¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦ ¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦ L--------------- L---------- (Sin x)' = Cos x (Cos x)' = -Sin x 1 1 (tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = ----- Cos2x Sin2x Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ". " Исследование квадратного трехчлена " Теорема 1. --- --------- ¦ а > 0, ¦ D . 0, ¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0, M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=> Б D . 0, =========== ¦ a < 0, 9 x0 > M. ¦ D . 0, ¦ x0 > M, ¦ f(M) < 0 L-- Теорема 2. --- ---------- ¦ а > 0, ¦ D . 0, ¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0, x1 , x2 < b <=> ¦ f(b) > 0, <=> Б D . 0, =========== ¦ a < 0, 9 x0 < b. ¦ D . 0, ¦ x0 < b, ¦ f(b) < 0 L-- Теорема 3. --- --------- ¦ ( а > 0, ¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0 ¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0, M < x1 , x2 < b <=> ¦ 2 f(M) > 0, <=> D . 0, =============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 < b ¦ ( a < 0, ¦ 2 D . 0, ¦ Б M < x0 < b, ¦ 2 f(b) < 0, ¦ 9 f(M) < 0 L-- Теорема 4. --- --------- ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) > 0, ¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0 M < x1 < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) > 0, =============== ¦ Б f(b) > 0, ¦ 9 f(M) < 0 L-- Теорема 5. --- --------- ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) < 0, ¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0 x1 < M < x2 < b <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0, =============== ¦ Б f(b) < 0, ¦ 9 f(M) > 0 L-- Теорема 6. --- ---------- ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) < 0, ¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0 x1 < M < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0, =============== ¦ Б f(b) > 0, ¦ 9 f(M) > 0 L-- Теорема 7. --- --------- ¦ а > 0, ¦ f(M) < 0, x1 < M < x2 <=> ¦ a < 0, <=> a7f(M) < 0, =========== ¦ f(M) > 0 L-- Числовая последовательность. 1). Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро- ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an) - a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an f(n) - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член последовательности. | | | Последовательность называют возрастающей, если каждый член после- довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%. Последовательность называется убывающей, если каждый член после- довательности меньше предыдущего, т.е.: если an+1<an, то (an)^. an , M => (an) - ограниченная сверху. an . M => (an) - ограниченная снизу. 2). Арифметическая прогессия [_] Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже число, которое называется разностью прогрессий. _ a1,a2,a3,a4...an a2=a1+d; d - разность прогрессий -------------¬ ¦an=a1+(n-1)d¦- - формула любого члена арифметической прогрессии... L-------------- Свойства членов арифметической прогресии: 1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети- ческое членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2 2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между собой: a1+an=a2+an-1=a3+an-2 3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети- ческое равноудаленных от него членов. ------------¬ ----------------¬ ¦ (a1+an)n¦- ¦ 2a1+(n-1)d ¦ ¦S_=--------+- ¦S_=----------.n¦ ¦ 2 ¦- ¦ 2 ¦ L------------- L---------------- 3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q) b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д. -------------¬ ¦bn=b1.q(n-1)¦- - формула лыбого члена арифметической прогрессии. L-------------- Свойства членов геометрической прогрессии: | 1. bn=? bn-k.bn+k 2. b1.bn=bk.bn-k+1 2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно: --------------------------¬ ¦ | |¦ ¦P=?(b1.bn)n = ?(b12qn-1)n¦ L-------------------------- 4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна: bnq-b1 b1(qn-1) S=------ = -------- q-1 q-1 1 lq9m.pdr 2 1 Основные формулы сокращенного умножения. a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab a2 - b2 = (a - b)(a + b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + ... +bn-1) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1) (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 | | / A + ?A-B / A + ?A-B A + B = /---------- + /---------- ? 2 ? 2 | | | | a - b = (? a - ? b )(? a + ? b ) | | 3| | 3| a - b = ((? a - ? b )(? a2 + ? ab + ? b2) | --> a, если a . 0! ? a2 = ¦a¦-+ L->-a, если a < 0! Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n - 2) Формула Герона S = ?p(p - a)(p - b)(p - c) Правильный многоугольник: an = 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n) Sn = p.r = 0,5.PR.Cos(180/n) -------------------------- Sквадрата = a.b abc Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a = --- 4R d1.d2 Sпараллелограма = ab.Sin a = ----- = a.ha 2 Sтрапеции = 0,5.(a + b) = ch (c - средняя линия) Преобразования на плоскости. Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние. Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l) Центральная симметрия - движение относительно точки, при котором сохраняется расстояние ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О) Параллельный перенос (П[вектор] Поворот - R[угол][точка] Гомотетия - увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка] Правила действия над тригонометрическими функциями. г==============================T==============================¬ ¦y=Sin a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦ ¦ + ¦ + ¦ - ¦ + ¦ ¦-1 , Sin a , 1 ----+---- ¦-1 , Cos a , 1 ----+---- ¦ ¦ - ¦ - ¦ - ¦ + ¦ ¦==============================¦==============================¦ ¦y=tg a ; y=Ctg a- неограниченные функции ¦ ¦ - ¦ + ¦ ¦ ----+---- ¦ ¦ + ¦ - ¦ L=============================================================- 360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению p p p её радианного измерения на ра- 60 = - ; 45 = - ; 30 = - диус 3 4 6 Cокружности = 2pR Основные тригонометрические тождества: q 1.Sin2a + Cos2a = 1 Sin a Cos a 2.tg a = ----- ; Ctg a = ----- Cos a Sin a 3.tg a * Ctg a = 1 1 1 4.1 + tg2a = ----- ; 1 + Ctg a = ----- Cos2a Sin2a Правило формул превидения Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти. Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра то функция меняется на созвучную.( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a) ----------------------------------T---------------------------------¬ ¦Cos(a-b) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb - Sina*Sinb¦ +---------------------------------+---------------------------------+ ¦Sin(a-b) = Sina*Cosb - Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦ +-----------------------T---------+--------------T------------------- ¦ tg a - tg b ¦ tg a + tg b ¦ ¦tg(a-b) = ----------- ¦ tg(a+b) = ----------- ¦ ¦ 1 + tga*tgb ¦ 1 - tga*tgb ¦ +-----------------------+-T----------------------+----¬ ¦ Ctga*ctgb + 1 ¦ Ctga*ctgb - 1 ¦ ¦Ctg(a-b) =-------------- ¦ Ctg(a+b) = ------------- ¦ ¦ Ctg a - ctg b ¦ Ctg a + ctg b ¦ +-----------------------T-+---------------------T------ ¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a - Sin2a ¦ +-----------------T-----+--------------T--------- ¦ 2*tg a ¦ Ctg2a - 1 ¦ ¦tg 2a = -------- ¦ Ctg 2a = --------- ¦ ¦ 1 - tg2a ¦ 2*Ctg a ¦ L-----------------+--------------------- Sin a * Cos b = 0,5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)] Sin x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y) Sin x - Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y) Cos x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y) Cos x - Cos y = -2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y) Cos a * Cos b = 0,5[Cos(a-b) + Cos(a+b)] Sin a * Sin b = 0,5[Cos(a-b) - Cos(a+b)] ---------------------------T---------------------------------¬ ¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦ ¦tg x - tg y = ----------- ¦ tg x + tg y = ----------- ¦ ¦ Cos x Cos y ¦ Cos x Cos y ¦ +--------------------------+--T------------------------------+ ¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦ ¦Ctg x - Ctg y = ------------ ¦ Ctg x + Ctg y = ----------- ¦ ¦ Sin x Sin y ¦ Sin x Sin y ¦ L-----------------------------+------------------------------- Sin 3x = 3Sin x - 4Sin3x 2tg x Cos 3x = 4Cos3x - 3Cos x Sin 2x = --------- /1 + Cos 2x 2tg2x + 1 ¦Cos x¦ = / ---------- ? 2 . 1 + tg2x /1 - Cos 2x Cos 2x = -------- ¦Sin x¦ = / ---------- 1 - tg2x ? 2 . / 1 - Cos 2x 2tg x ¦tg x¦ = / ----------- tg 2x = -------- ? 1 + Cos 2x 1 - tg2x 1. Решение тригонометрических уравнений. Sin x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z. Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z. tg x = m ==> x = arctg m + pn, n Z. ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z. 2. Равенство одноименных функций. Sin t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z. Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z. tg t = tg a ==> t = a + kp, k Z. 3. Универсальная подcтaновка. t t 2tg --- 1 - tg2 --- 2 2 t Sin t = ------------ ; Cos t = ------------- ; tg --- = Z. t t 2 1 + tg2 --- 1 + tg2 --- 2 2 4. Функции кратных аргументов. -- ¦ Cos2x = Cos2x - Sin2x. (a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦ ¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx. L- -- ¦ Cos3x = Cos3x - 3Cosx7Sin2x. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦ ¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx - Sin3x. L- -- ¦ Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x. (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦ ¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x. L- 5. Дополнительно. Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) - Cos(n-1)x. Sin 5a = 16Sin5a - 20Sin3a + 5Sina. Sin 7a = -64Sina7 + 112Sin5a - 56Sin3a + 7Sina = = Sina7(64Cos6a - 80Cos4a + 24Cos2a - 1).