Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Теория Вероятностей

34707
знаков
0
таблиц
6
изображений
Оглавление

Введение

1.Алгебра событий

2.Вероятность

3.Формула Бейеса

4.Формула полной вероятности

5.Пример задачи для формулы полной вероятности

6.Пример задачи для формулы Бейеса

7.Геометрические вероятности

Введение

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1.Алгебра событий.

В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух: Да, оно произошло.

Нет, оно не произошло.

Например, у меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие – выигрыш тысячи рублей либо происходит, либо не происходит.

События принято обозначать заглавными латинскими буквами: A,B,C,…. С событиями можно совершать операции. Эти операции являются основой алгебры событий. Объединением двух событий С=АТеория ВероятностейВ называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий А и В. Пересечением двух событий D=АТеория ВероятностейВ называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят и А и В. Противоположным событием А* к событию А называется такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Объединением C событий A1,A2,…Ak называется событие C=Теория ВероятностейAi, которое осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляется хотя бы одно из событий Ai,i=1,…,k. Пересечением D событий A1,…,Ak называется событие D=∩Ai, которое осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляются все события Ai,i=1,…,k. Разностью событий G=AB называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.

Среди событий особое место занимают невозможное событие и достоверное событие. Невозможное событие – это такое событие, о котором заранее известно, что оно произойти не может. Его обозначают символом Теория Вероятностей. Достоверное событие – это такое событие, о котором заранее известно, что оно произойдет. Его обозначают буквой Ω.

События A и B называются не пересекающимися, если одновременно не могут осуществиться и событие A и событие B. В таких случаях также говорят, что пересечение A∩B есть невозможное событие Теория Вероятностей.

Некоторую совокупность L событий называют алгеброй событий, если она удовлетворяет следующим условиям. Эта совокупность L содержит невозможное событие Теория Вероятностей и достоверное событие Теория Вероятностей. Если L содержит некоторое событие А, то она содержит и противоположное событие А*. Если совокупность L содержит некоторые события A1,A2,…,Ak, то она содержит и объединение С=Теория ВероятностейAi и пересечение D=∩Аi этих событий.

Например, алгеброй событий L является самая скудная такая алгебра, которая состоит всего из двух событий: из невозможного события Теория Вероятностей и достоверного события Теория Вероятностей. В самом деле, сколько бы мы ни составляли объединений и пересечений из этих событий, и сколько бы мы ни брали противоположных событий, мы не получим ничего другого, кроме как опять же события Теория Вероятностей и Теория Вероятностей. Действительно, имеем: Теория Вероятностей*=Теория Вероятностей, Теория Вероятностей*=Теория Вероятностей, Теория ВероятностейТеория ВероятностейТеория Вероятностей=Теория Вероятностей, Теория Вероятностей=Теория Вероятностей. Другим примером алгебры событий L является совокупность из четырех событий: Теория Вероятностей. В самом деле: Теория ВероятностейТеория ВероятностейТеория Вероятностей*=Теория Вероятностей,Теория Вероятностей*=Теория Вероятностей,Теория ВероятностейТеория ВероятностейТеория Вероятностей=Теория Вероятностей,Теория Вероятностей.

2.Вероятность.

Теория вероятностей изучает случайные события. Это значит, что до определенного момента времени, вообще говоря, нельзя сказать заранее о случайном событии А произойдет это событие или нет. Только после этого момента реализуется определенность: Да, событие А произошло, или наоборот Нет, событие А не произошло, т.е. произошло событие А*.

Каждому из рассматриваемых случайных событий приписывается число P,0≤P≤1(P(A),P(B),P(C),…), которое называется его вероятностью. Это число характеризует шансы, что соответствующее событие произойдет. На практике для интересующих событий числа P назначаются, исходя из опыта и здравого смысла. Когда говорят о событиях, оговаривают обстоятельства, при которых рассматриваются эти события.

Принимают, что Р(Ω)=1, Р(Теория Вероятностей)=0. Если события A1,A2,…,Ak попарно не пересекаются, то полагают Р(Теория ВероятностейAi)=Р(A1)+Р(A2)+…+Р(Ak). Поэтому Р(A)+Р(A*)=1.

Например, если подбрасывается хорошо сбалансированная монета, то вероятность того события A, что она упадет орлом вверх принимается равной 1/2, а вероятность противоположного события A*, то есть того, что она упадет решкой вверх, принимается тоже равной 1/2. При этом событие, состоящее в том, что монета встанет и останется стоять на ребре, принимается за невозможное. Если бросают игральную кость, то вероятность того, что выпадет, например, четыре очка, принимается равной 1/6. Вероятность противоположного события, то есть того, что выпадет какое-либо число очков, не равное четырем, принимается равной 5/6. Если из хорошо перетасованной колоды в пятьдесят две карты вынимают наугад одну карту, то вероятность того, что вынут короля, равна 4/52=1/13 и т. д.

Говорят, что некоторое событие B благоприятствует событию A, если всякий раз как происходит событие B, происходит и событие A. Принимают следующее соглашение. Если из n всех возможных непересекающихся равновозможных событий, то есть таких, для которых вероятности полагаются равными, некоторому событию A благоприятствует m из таких равновозможных случаев, то принимают

Р(A)=m/n.(2.1)

В приведенном выше примере с колодой карт имеется n=52 равновозможных события: вынут одну какую-нибудь карту. Событию A–тому, что вынут короля, благоприятствуют m=4 события: B1–вынут короля пик, B2–короля треф, B3–короля бубен, B4–короля червей. И только такие события Bi благоприятствуют событию A. При этом A есть объединение событий Bi: A=UТеория ВероятностейBi и события Bi и Bj не пересекаются: Bi∩Bj=Теория Вероятностей,i≠j. Поэтому и принимают Р(А)=m/n=4/52=1/13.

Данное определение вероятности через благоприятствующие равновозможные непересекающиеся события называют часто классическим определением вероятности. Оно подтверждается на практике в виде закона больших чисел. Он проявляется следующим образом. Если сделать большое число n* испытаний, в каждом из которых может появиться событие A, то в результате оказывается, что число m* появлений события A оказывается как правило очень близким к величине Р(A), то есть выполняется с вероятностью очень близкой к единице – практически обязательно, с большой степенью точности приближенное равенство

m*/n* ≈ m/n=Р(A)(2.2)

Условной вероятностью события А по событию В называют величину Р(А|В), которая дает равенство Р(А∩В)=Р(A|B)·P(B). Смысл этого определения таков. Условная вероятность оценивает шансы осуществления события А, когда известно, что произошло событие В.

События А и В называются независимыми, если Р(A|B)=P(A). Тогда Р(А∩В)=Р(A)·P(B). Иначе говоря, события А и В независимы, когда вероятность осуществления события А не зависит от того, осуществилось или нет событие В. И наоборот, вероятность осуществления события В не зависит от осуществления события А.

Например, пусть бросают две не связанные друг с другом игральные кости. Пусть событие А–на первой кости выпало 4 очка. Событие В–на второй кости выпало 2 очка. Тогда Р(А)=1/6,Р(В)=1/6. События А и В естественно полагать независимыми. Стало быть, полагаем Р(А|B)=P(A), P(B|A)=P(B) и P(А∩В)=P(A)·P(B)=1/6·1/6=1/36. То есть вероятность события С=А∩В – на первой кости выпало 2 очка и при этом на второй кости выпало 4 очка равна 1/36.

Несколько событий A1,A2,…,Ak называются независимыми в совокупности, если Р(∩Ai)=Р(A1)·Р(A2)·…·Р(Ak). Важно заметить, что из попарной независимости всех событий Аi и Aj, i=1,…,k, j=1,…,k, iТеория Вероятностейj, вообще говоря, не следует независимость событий A1,A2,…,Ak в совокупности. В этом можно убедиться на конкретном примере.

Подчеркнем еще раз, что физической основой для теории вероятностей является следующее статистическое свойство устойчивости частот. Буквой А обозначим случайное событие, связанное с некоторым повторяющимся опытом. Пусть опыт повторяется n* раз при одинаковых условиях. Пусть Теория Вероятностей*–число появлений событий А. Относительная частота Теория Вероятностей появления событий А определяется формулой

Теория Вероятностей(2.3)

Если неограниченно увеличивать число повторений опыта Теория Вероятностей, то относительная частота Теория Вероятностей будет устойчиво приближаться к некоторой фиксированной величине Р(А) и отклоняться от нее тем меньше и реже, чем больше n*. Эта величина и является вероятностью P события А. Если в теории вероятность Р(А) определена правильно, то оказывается, что теоретическое число Р(А) совпадает с описанным выше практическим пределом. Это обстоятельство и позволяет численно оценивать вероятность случайного события в теории.

3.Формула Бейеса.

Пусть мы знаем вероятности событий А и В: Р(А) и Р(В). И пусть мы знаем условную вероятность события А по В: Р(A|B). Как найти условную вероятность P(B|A). На этот вопрос отвечает формула Бейеса.

Р(B|A)=P(A|B)·P(B)/P(A)(3.1)

Разумеется этой формулой можно пользоваться только при условии, что Р(А)Теория Вероятностей0.

Формула Бейеса выводится из следующих равенств

Р(ВТеория ВероятностейА)=Р(В|A)·P(A)(3.2)

Р(AТеория ВероятностейB)=Р(A|B)·P(B)(3.3)

причем

Р(ВТеория ВероятностейА)=Р(AТеория ВероятностейB)(3.4)

так как пересечение событий В и А очевидно не зависит от порядка, в котором записаны А и В, т.е. ВТеория ВероятностейА=AТеория ВероятностейB. В случае Р(А)=0 принимаю обычно, что Р(В|A) есть величина неопределенная.

4.Формула полной вероятности.

Пусть имеем полную группу из n попарно непересекающихся событий Теория Вероятностей. То есть

Теория Вероятностей, Теория Вероятностей(4.1) Теория Вероятностей, Теория Вероятностей, Теория Вероятностей(4.2)

Пусть мы знаем условные вероятности некоторого события А по Еi: Р(А|Ei) и вероятности Р(Ei), i=1,…,n. Справедлива следующая формула полной вероятности для события А

Р(А)=Р(A|E1)·P(E1)+…+P(A|En)·P(En)(4.3)

Доказательство этой формулы вытекает из следующих равенств

P(A)=P(Теория Вероятностей)=P(AТеория Вероятностей(Теория ВероятностейEi))=P(AТеория ВероятностейE1)+…+P(AТеория ВероятностейEn)=

=Р(A|E1)·P(E1)+…+P(A|En)·P(En)(4.4)

Из элементарной формулы Бейеса (3.1) и формулы полной вероятности (4.3) вытекает следующая более полная формула Бейеса

Р(Еi|A)=P(A|Ei)·P(Ei)/(Р(A|E1)·P(E1)+…+P(A|En)·P(En))(4.5)

5.Пример задачи для формулы полной вероятности.

Задача 5.1.

Пусть имеем три урны с шарами. В первой урне 7 белых и 3 черных шара. Во второй урне 7 белых и 7 черных шаров. В третьей урне 3 белых и 7 черных шаров. Наугад выбрали одну урну. Из этой урны наугад вынули шар.

Какова вероятность, что вынули белый шар?

Решение:

Пусть событие А – вынули белый шар, событие Ei – вынули шар из i-той урны, i=1,2,3. Вероятности P(Ei) полагаем равными, т.е. Р(Ei)=1/3. Вероятность Р(A|E1)=7/10, вероятность Р(А|E2)=7/14=1/2, вероятность Р(А|E3)=3/10. Таким образом по формуле полной вероятности (4.3) имеем

Р(А)=Р(A|E1)·Р(E1)+Р(A|E2)·Р(E2)+Р(A|E3)·Р(E3)=

=(1/3)·(7/10+5/10+3/10)=(1/3)·15/10=1/2(5.1)

Ответ:Вероятность вынуть белый шар равна Ѕ.

6.Пример задачи для формулы Бейеса.

Задача 6.1.

Пусть имеем те же урны с теми же наборами шаров, как и в задаче (5.1). Снова из выбранной наугад урны выбрали наугад шар. Оказалось, что вынули черный шар.

Какова вероятность, что его вынули из третьей урны?

Решение:

Пусть В – событие, состоящее в том, что вынули черный шар. События Ei те же, что и в решении задачи (5.1). Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р(E3|B). По формуле Бейеса (4.5) имеем

Р(Е3|B)=P(B|E3)·P(E3)/(P(B|E1)·P(E1)+P(B|E2)·P(E2)+P(B|E3)·P(E3)) (6.1)

У нас: Р(Ei)=1/3, i=1,2,3, P(B|E1)=3/10, P(B|E2)=1/2, P(B|E3)=7/10. Таким образом, получаем

Р(Е3|B)=(7/10)·(1/3)/((1/3)·(7/10+5/10+3/10))=(7/10)/(15/10)=7/15 (6.2)

Ответ:Вероятность того, что вынули шар из третьей урны, при условии, что шар оказался черным равна 7/15.

7.Геометрические вероятности.

Как сказано выше, вычисление вероятности на основе несовместимых равновозможных событий по формуле (2.1) называют обычно классическим определением вероятности. Однако применяют и другие способы вычисления вероятностей. Рассмотрим здесь геометрический способ вычисления вероятностей. При этом способе случайные события трактуются, как такие события, которые осуществляются, когда случайная точка попадает в ту или иную область на некоторой прямой или на плоскости или в пространстве. Поясним это подробнее на примере плоскости.

Достоверное событие Теория Вероятностей представляется некоторой областью Теория Вероятностей на плоскости. При этом полагается, что случайная точка Теория Вероятностей обязательно попадает в эту область, т.е. обязательно Теория Вероятностей. Невозможное событие Теория Вероятностей представляется пустым множеством точек, т.е. таким множеством точек, которое не содержит ни одной точки. Т.е. случайная точка Теория Вероятностей никак не может оказаться точкой из этого пустого множества. Каждое случайное событие А из рассматриваемой алгебры событий L представляется некоторой областью Теория Вероятностей, т.е. областью Теория Вероятностей, которая содержится в области Теория Вероятностей. Случайное событие А осуществляется тогда и только тогда, когда случайная точка Теория Вероятностей, т.е. тогда и только тогда, когда точка Теория Вероятностей попадает в область Теория Вероятностей. При такой трактовке объединение событий Теория Вероятностей представляется областью Теория Вероятностей, которая складывается из точек, каждая из которых лежит хотя бы в одной из областей Теория Вероятностей и Теория Вероятностей. Пересечение событий Теория Вероятностей представляется областью Теория Вероятностей, которая является общей частью областей Теория Вероятностей и Теория Вероятностей. Противоположное событие А* представляется областью Теория Вероятностей, которая является дополнением к области Теория Вероятностей до области Теория Вероятностей. См. например фиг.7.1.-7.4.

Теория Вероятностей
Фиг.7.1. Теория Вероятностей
Фиг. 7.2.
Теория Вероятностей
Фиг.7.3.
Теория Вероятностей
Фиг. 7.4

Предполагая, что для каждой области Теория Вероятностей при любом событии А из алгебры событий L можно определить площадь SТеория Вероятностей этой области полагают вероятность события А равной

Р(А)=SТеория Вероятностей/SТеория Вероятностей(7.1)

Смысл этого определения состоит в том, что для шансов попадания случайной точки Теория Вероятностей в ту или иную точку из области Теория Вероятностей не отдается никакого предпочтения.

Например, пусть область Теория Вероятностей есть квадрат со стороной единица. Событие А состоит в том, что случайная точка Теория Вероятностей попадает в четверть круга Теория Вероятностей с радиусом, равным единице, и вписанного в квадрат Теория Вероятностей. См. фиг.7.5.

Теория Вероятностей
Фиг.7.5.

Тогда по формуле (7.1) получаем

Р(А)=π/4(7.2)

Аналогичные построения делаются, когда за основу берутся области на прямой или области в пространстве. При этом только в случае прямой площади заменяются суммарными длинами соответствующих отрезков, составляющих Теория Вероятностей. А в случае пространства вероятности оцениваются через суммарные объемы соответствующих областей, составляющих Теория Вероятностей.

8.Пример задачи на геометрическую вероятность.

Задача 8.1.

Мария и Иван хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1 часа пополудни. Они люди безалаберные и каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени Теория Вероятностей или соответственно Теория Вероятностей из отрезка Теория Вероятностей. Они условились, что каждый пришедший ждет своего товарища в течение 15 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 15 минут.

Какова вероятность, что Мария и Иван встретятся?

Решение:

Сделаем следующее построение. Введем прямоугольную систему координат X0Y. Полагаем х=Теория Вероятностей, y=Теория Вероятностей. Тогда точка с координатами х и у соответствует приходу Марии в момент х=Теория Вероятностей и приходу Ивана в момент y=Теория Вероятностей. Достоверному событию Теория Вероятностей соответствует на плоскости ХОУ квадрат Теория Вероятностей:Теория Вероятностей Событию А, которое осуществляется тогда и только тогда, когда Мария и Иван встретятся соответствует область Теория Вероятностей, которая состоит из точек, лежащих в квадрате Теория Вероятностей и к тому же удовлетворяющих условию Теория Вероятностей, т.е. Теория Вероятностей:Теория Вероятностей См. фиг.8.1.

Теория Вероятностей
Фиг.8.1.

По формуле (7.1) получаем

Р(А)=SТеория Вероятностей/SТеория Вероятностей=1–2∙(1/2)∙(3/4)Теория Вероятностей=1–9/16=7/16(8.1)

Ответ: Вероятность встречи Марии и Ивана равна 7/16.

9.Случайные величины.

Очень важным в теории вероятностей является понятие случайной величины x. Это величина, для которой тот факт, что она принимает то или иное значение, является случайным событием. Например, когда компьютеру на одной из версий языка Pascal, дается команда x=random(1000)/1000, то компьютер выдает случайным образом значение случайной величины х, 0≤x≤1. При этом вероятность Р(A) события A={α≤x≤β, 0≤α≤β≤1} определяется равенством

Р(А)=Р(α≤x≤β)=β–α (9.1)

Иначе говоря, здесь как раз вероятность того, что случайная величина х принимает то или иное значение в пределах отрезка {α≤x≤β,0≤α≤β≤1}, определяется геометрически через длину этого отрезка.

Рассмотрим случайную величину х, которая может принять конечное число n различных значений Теория Вероятностей с вероятностями РТеория ВероятностейРТеория Вероятностей.

Например, если мы бросаем один раз игральную кость, то случайной величиной х будет выпавшее количество очков, т.е.k=6,Теория Вероятностей, РТеория ВероятностейРТеория ВероятностейРТеория Вероятностей.

10.Математическое ожидание.

Математическим ожиданием E(x) для случайной величины x, которая может принимать значения xТеория ВероятностейТеория Вероятностей и только такие значения с вероятностями Р(xТеория Вероятностей)=РТеория Вероятностей, называют число, которое определяется равенством

i=k i=k

E(x)=∑xi·Рi, ∑ Рi=1, Рi≥0, i=1,…,k(10.1)

i=1 i=1

Например, в случае с игральной костью математическое ожидание количества очков x, которое выпадет, будет согласно (10.1) числом

E(x)=(1/6)∙(1+2+3+4+5+6)=(1/6)∙21=7/2=Теория Вероятностей(10.2)

Смысл понятия математического ожидания раскрывается в законе больших чисел. Этот закон проявляется следующим образом. Если сделать подряд очень большое число n независимых испытаний при одинаковых условиях, и таких, что каждый раз осуществляется одно из значений рассматриваемой случайной величины х, то с вероятностью очень близкой к единице, то есть практически наверняка и с большой степенью точности будет выполняться приближенное равенство

(x(1)+x(2)+…+x(n))/n ≈ E(x)(10.3)

Здесь x(i)–значение случайной величины x, которое появляется в i-том испытании. Закон больших чисел обоснован теоретически при определенных аксиомах теории вероятностей и многократно подтвержден на практике.

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой случайных величин Теория Вероятностей

Теория Вероятностей(10.4)

тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий Е(хТеория Вероятностей)

Теория Вероятностей(10.5) 11.Дисперсия случайной величины.

Дисперсией D(x) случайной величины х называют число, которое определяется по формуле

D(x)=E(x–E(x))Теория Вероятностей(11.1)

Поэтому дисперсия D(x) случайной величины х, которая может принимать значения Теория Вероятностей с вероятностями РТеория Вероятностей,…РТеория Вероятностей определяется, как число i=k i=k j=k

D(x)=∑(xТеория Вероятностей–E(x))Теория Вероятностей∙PТеория Вероятностей=∑(xТеория ВероятностейТеория Вероятностей)Теория Вероятностей∙PТеория Вероятностей (11.2)

i=1 i=1 j=1

Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x) получаем следующее число

D(x)=Теория Вероятностей=(1/6)∙((1-7/2)Теория Вероятностей+(2-7/2)Теория Вероятностей+(3-7/2)Теория Вероятностей+(4-7/2)Теория Вероятностей+(5-7/2)Теория Вероятностей+(6-7/2)Теория Вероятностей)=(1/6)∙(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)∙(35/2)=35/12(11.3)

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных величин Теория Вероятностей. Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной величины Теория Вероятностей не зависит от того, какое значение принимают другие случайные величины Теория Вероятностей. Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является суммой дисперсии случайных величин Теория Вероятностей

Теория ВероятностейТеория Вероятностей(11.4)

Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.

12.Закон больших чисел.

В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву. Пусть имеем некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь положительное число М. Отберем те значения Теория Вероятностей случайной величины х, для которых выполняется условие

Теория Вероятностей (12.1)

Из выражения для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает следующее неравенство

Теория ВероятностейРТеория ВероятностейТеория ВероятностейРТеория ВероятностейТеория ВероятностейРТеория Вероятностей (12.2)

Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для которых выполнено неравенство.

Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в i-том испытании осуществляется значение случайной величины Теория Вероятностей. Пусть математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы

Теория Вероятностей (12.3)

этих случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство

Теория ВероятностейРТеория Вероятностей

·РТеория Вероятностей (12.4)

Так как случайные величины Теория Вероятностей независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Кроме того, все дисперсии Теория Вероятностей равны друг другу Теория Вероятностей и все математические ожидания Теория Вероятностей тоже равны друг другу Теория Вероятностей. Поэтому из (12.4) получаем неравенство

Теория ВероятностейРТеория Вероятностей (12.5)

Введем число ε=M/n. Тогда из (12.5) получаем неравенство

РТеория Вероятностей (12.6)

Отсюда для противоположного события

Теория Вероятностей (12.7)

из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева

РТеория Вероятностей (12.8)

Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:

Для любого сколь угодно малого положительного числа ε и числа β<1 найдется такое число N, что при числе испытаний n>N, будет справедливо неравенство

Теория Вероятностей (12.9)

В самом деле, согласно (12.8) достаточно выбрать в качестве числа N наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству Теория Вероятностей, то есть

Теория Вероятностей (12.10)

Это означает следующее. Какие бы числа Теория Вероятностей и Теория Вероятностей мы ни выбрали, если сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N, то среднее значение случайной величины будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на ε с вероятностью большей, чем β. Иначе говоря, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее значение случайной величины стремится к математическому ожиданию Е с вероятностью, приближающейся к единице.

13.Испытания по схеме Бернулли.

Так называется следующая серия независимых испытаний. Пусть производится n испытаний. В i-том испытании может осуществиться случайное событие Ai с вероятностью Рi,i=1,…,n. Все события Аi независимы в совокупности. То есть вероятность события Аi не зависит от того, осуществляются или нет события Аj,j=1,…,n, jТеория Вероятностейi. Рассмотрим здесь такой частный случай, когда все вероятности Рi равны друг другу и равны p,0‹p‹1. То есть

Р(Аi)=p, P(Ai*)=q, q=1-p, 0‹p‹1, 0‹q‹1, i=1,…,n(13.1)

Например, пусть испытания состоят в том, что случайная точка Теория Вероятностей в i-том испытании обязательно появляется в квадрате со стороной равной единице. Событие Аi состоит в том, что точка Теория Вероятностей оказывается в четверти круга, вписанного в квадрат и имеющего радиус равный единице (см.раздел7). Согласно (7.2) имеем

Р(Ai)=p=Теория Вероятностей(13.2)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по схеме Бернулли. Пусть события Аi осуществились в m испытаниях.

Для любых чисел Теория Вероятностей и Теория Вероятностей найдется такое натуральное число N, что при числе испытаний n>N будет справедливо неравенство

P(|m/n–p|<Теория Вероятностей)>Теория Вероятностей(13.3)

В самом деле, свяжем с i-тым испытанием случайную величину Теория Вероятностей. Пусть эта величина принимает значение равное единице, если осуществляется событие Аi, и Теория Вероятностей принимает значение равное нулю, если событие Аi не осуществляется, т.е. осуществляется противоположное событие Аi*. Вычислим математическое ожидание Еi и дисперсию Di случайной величины Теория Вероятностей. Имеем

Теория ВероятностейpТеория Вероятностейq=p(13.4)

Теория ВероятностейpТеория ВероятностейpТеория ВероятностейpТеория ВероятностейqТеория ВероятностейqТеория Вероятностей∙p+pТеория Вероятностей∙q=p∙q∙(q+p)=p∙q∙1=p∙q(13.5)

Так как в нашем случае

Теория Вероятностей(13.6)

то из закона больших чисел (12.9),(12.10) получаем неравенство (13.3), если только

Теория Вероятностей(13.7)

Это и доказывает теорему Бернулли.

Например, если мы хотим проверить теорему Бернулли на примере вычисления числа π с точностью до Теория Вероятностей с вероятностью большей, чем Теория Вероятностей, то нам надо сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом 7, т.е. получить согласно текущему разделу неравенство

P(|m/n–π/4|<0.01)>0.99(13.8)

Для этого согласно (13.7) достаточно выбрать число

Теория Вероятностей(13.9)

с большим запасом.

Такое испытание было сделано на компьютере по программе, приведенной в следующем разделе. Получилось

4∙m/n=3.1424 (13.10)

Мы знаем, что число π=3.1415925626…. То есть действительно получилось число с точностью по крайней мере до 0.01.

14.Программа вычисления числа π по схеме Бернулли.

CLS

INPUT "Введите n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

IF (x * x + y * y) < 1 THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

pi = 4 * m / n

PRINT "pi = ", pi

15.Метод Монте-Карло.

Испытания по схеме Бернулли составляют основу вычислительного метода, который предложил Фон-Нейман для расчета сложных процессов. Например, для расчетов при создании атомной бомбы. Этот метод он назвал методом Монте-Карло в честь города, в котором идет игра в рулетку. Суть этого метода состоит в том, что подбираются такие испытания по схеме Бернулли, в которых вероятности событий Аi и определяют интересующую вычислителя величину. Простейший пример вычисления по методу Монте-Карло и приведен в разделах 13,14 для числа π. Особенно удобно вычислять методом Монте-Карло площади и объемы сложных фигур и тел.

16.Стрельба по вепрю.

Задача 16.1.:

Три охотника стреляют по вепрю. Известно, что первый охотник попадает в цель с вероятностью 0.7. Второй – с вероятностью 0.5. Третий – с вероятностью 0.3. Результат стрельбы каждого из них не зависит от результатов стрельбы других. Все три охотника дали один залп.

Какова вероятность, что в вепря попали 2 пули?

Решение:

Назовем попадание первого охотника событием А1, попадание второго – А2, попадание третьего – А3.

Для того, чтобы попали две пули необходимо и достаточно, чтобы осуществилось одно и только одно из следующих трех несовместных событий:

В1-первый попал, второй попал, третий промазал, В1=А1Теория ВероятностейА2Теория ВероятностейА3*

В2-первый попал, второй промазал, третий попал, В2=А1Теория ВероятностейА2*Теория ВероятностейА3

В3-первый промазал, второй попал, третий попал, В3=А1*Теория ВероятностейА2Теория ВероятностейА3

Так как события попадания для разных стрелков независимы, то вероятности попадания равны произведению вероятностей. Поэтому

Р(В1)=Р(А1)∙Р(А2)∙Р(А3*)=0.7∙0.5∙0.7=0.245

Р(В2)=Р(А1)∙Р(А2*)∙Р(А3)=0.7∙0.5∙0.3=0.105

Р(В3)=Р(А1*)∙Р(А2)∙Р(А3)=0.3∙0.5∙0.7=0.105

Интересующее нас событие С=В1Теория ВероятностейВ2Теория ВероятностейВ3. Так как события В1,В2 и В3 несовместны, то вероятность объединения равна сумме вероятностей событий Вi,i=1,2,3

Р(С)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0.245+0.105+0.105=0.455(16.1)

Ответ:Вероятность, что попали 2 пули равна 0.455.

Задача 16.2.:

Те же охотники дали залп по другому вепрю. Известно, что попали 2 пули.

Какова вероятность, что попал первый охотник?

Решение:

Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р(А1|С) события А1 при условии, что произошло событие С. По формуле Бейеса имеем

Р(А1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P(C)(16.2)

По определению условной вероятности P(C|A1) (3.1) и (3.2) имеем

P(C|A1)∙P(A1)=Р(СТеория ВероятностейА1)(16.3)

Но событие СТеория ВероятностейА1 происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из двух несовместимых событий

С2=А2Теория ВероятностейА3*Теория ВероятностейА1(16.4)

С3=А3Теория ВероятностейА2*Теория ВероятностейА1(16.5)

То есть имеем

Теория ВероятностейА1)=(А2Теория ВероятностейА3*Теория ВероятностейА1)Теория Вероятностей(А3Теория ВероятностейА2*Теория ВероятностейА1)(16.6)

Р(СТеория ВероятностейА1)=Р(А2Теория ВероятностейА3*Теория ВероятностейА1)+Р(А3Теория ВероятностейА2*Теория ВероятностейА1)=0.5∙0.7∙0.7+0.3∙0.5∙0.7=

=0.245+0.105=0.35(16.7)

Таким образом, согласно (16.2) для искомой условной вероятности Р(A1|C) получим значение

Р(A1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P(C)=0.35/0.455=0.769(16.8)

Ответ:Вероятность того, что попал первый охотник при условии, что попало в вепря две пули равна 0.769.

17.Решение задач о встрече методом Монте-Карло.

Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8.1. по встрече из раздела 8.

Задача 17.1.:

Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1 часа пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени Теория Вероятностей или соответственно Теория Вероятностей или Теория Вероятностей из отрезка Теория Вероятностей. Каждый пришедший ждет своего товарища в течение 20 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 20 минут.

Какова вероятность, что они все трое встретятся?

Решение:

Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь построение будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат XYZ. Полагаем х=Теория Вероятностей,у=Теория Вероятностей,z=Теория Вероятностей. Тогда точка с координатами х,у и z соответствует приходу Марии в момент времени х=Теория Вероятностей, Ивана – в момент у=Теория Вероятностей и Петра – в момент z=Теория Вероятностей. Достоверному событию Ω соответствует в пространстве XYZ куб Теория Вероятностей Событию А, которое осуществляется, если Мария, Иван и Петр все встретятся соответствует тело Теория Вероятностей. Это тело состоит из точек, лежащих в кубе Теория Вероятностей и к тому же удовлетворяющих условиям

|x–y|≤1/3, |y–z|≤1/3, |x–z|≤1/3 (17.1)

Поэтому

Р(А)=Теория Вероятностей(17.2)

Здесь Теория Вероятностей есть объем куба Теория Вероятностей, Теория Вероятностей есть объем тела Теория Вероятностей. Вычислить объем тела

Теория ВероятностейТеория Вероятностей |x–y|≤1/3,|y–z|≤1/3,|x–z|≤1/3(17.3)

затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло по схеме Бернулли. При этом будем работать со случайными величинами Теория Вероятностей, которые принимают значение равное единице, когда точка Теория Вероятностей оказывается в теле Теория Вероятностей, и Теория Вероятностей принимают значение равное нулю, когда точка Теория Вероятностей оказывается вне тела Теория Вероятностей. Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону больших чисел (см.разделы 7 и 12) полагаем

Теория Вероятностей(17.4)

Здесь n – число испытаний по бросанию точки Теория Вероятностей в куб Теория Вероятностей, m – число попаданий в тело Теория Вероятностей. Равенство (17.4) выполняется с большой точностью и с большой вероятностью, если число испытаний n достаточно велико.

Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000 дали следующий результат

Теория Вероятностей(17.5)

Ответ:Вероятность Р(А) того, что Мария, Иван и Петр все встретятся равна 0.259.

Задача 17.2.:

Условия задачи 17.2. повторяют условия задачи 17.1. Но вопрос в задаче 17.2. является таким.

Какова вероятность, что встретятся по крайней мере двое из трех?

Решение:

Назовем событием В событие, что встретятся по крайней мере двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.1. Только в случае события В искомая вероятность Р(В) определяется формулой

Теория Вероятностей(17.6)

Здесь Теория ВероятностейТеория Вероятностейесть объем тела Теория Вероятностей, которое определяется условиями

Теория Вероятностей(17.7)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем Теория Вероятностей тела Теория Вероятностей был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.6) означает число попаданий точки Теория Вероятностей в тело Теория Вероятностей. Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Теория Вероятностей(17.8)

Ответ:Вероятность Р(В), что встретились по крайней мере двое из трех равна 0.964.

Задача 17.3.:

Условия задачи 17.3. повторяют условия задачи 17.2. Но вопрос в задаче 17.3. является таким.

Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?

Решение:

Назовем событием С событие, что встретятся двое и только двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.2. Только в случае события С искомая вероятность Р(С) определяется формулой

Р(С)=Теория Вероятностейm/n(17.9)

Здесь Теория Вероятностей есть объем тела Теория Вероятностей, которое определяется условиями

Теория ВероятностейТеория Вероятностей|x–y|≤1/3,|y–z|>1/3,|x-z|>1/3)Теория Вероятностей (Теория Вероятностей(17.10)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем Теория Вероятностей тела Теория Вероятностей был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.9) означает число попаданий точки Теория Вероятностей в тело Теория Вероятностей. Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(C)=Теория Вероятностей0.520(17.11)

Ответ:Вероятность Р(C), что встретились двое и только двое из трех равна 0.520.

Задача 17.4.:

Условия задачи 17.4. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.4. является таким.

Какова вероятность, что не встретились никто из трех?

Решение:

Назовем событием D событие, что не встретится никто из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события D искомая вероятность Р(D) определяется формулой

Р(D)=Теория Вероятностейm/n(17.12)

Здесь Теория Вероятностей есть объем тела Теория Вероятностей, которое определяется условиями

Теория ВероятностейТеория Вероятностей|x-z|>1/3),(Теория Вероятностей(17.13)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем Теория Вероятностей тела Теория Вероятностей был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.12) означает число попаданий точки Теория Вероятностей в тело Теория Вероятностей. Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(D)=Теория Вероятностей0.037(17.14)

Ответ:Вероятность Р(D), что не встретятся никто из трех равна 0.037.

Задача 17.5.:

Условия задачи 17.5. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.5. является таким.

Какова вероятность, что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся?

Решение:

Назовем событием Е событие, что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события Е искомая вероятность Р(Е) определяется формулой

Р(Е)=Теория Вероятностейm/n(17.15)

Здесь Теория Вероятностей есть объем тела Теория Вероятностей, которое определяется условиями

(Теория Вероятностей(17.16)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем Теория Вероятностей тела Теория Вероятностей был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.15) означает число попаданий точки Теория Вероятностей в тело Теория Вероятностей. Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(Е)=Теория Вероятностей0.182(17.17)

Ответ:Вероятность Р(Е), что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся равна 0.182.

Проверка результатов

Р(А)+Р(С)+Р(Е)=Р(В)(17.18)

0.259+0.520+0.182Теория Вероятностей0.964(17.19)

Р(В)+Р(D)=1(17.20)

0.964+0.037Теория Вероятностей1(17.21)

Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17.1.-17.5., приведены в разделе 18.

18.Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17.1.-17.5.

1. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF (ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) <= 1 / 3) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p = ", p

2. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3)) OR ((ABS(z - y) <= 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

3. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - y) > 1 / 3)) OR ((ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - y) > 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

4. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF (ABS(x - y) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3) AND (ABS(z - y) > 1 / 3) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

5. CLSINPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - y) > 1 / 3)) OR ((ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - y) <= 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p


Информация о работе «Теория Вероятностей»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 34707
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
59066
6
49

... Доказать: По определению второй смешанной производной. Найдем по двумерной плотности одномерные плотности случайных величин X и Y. Т.к. полученное равенство верно для всех х, то подинтегральные выражение аналогично В математической теории вероятности вводится как базовая формула (1) ибо предлагается, что плотность вероятности как аналитическая функция может не существовать. Но т.к. в нашем ...

Скачать
25559
0
0

... равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п. Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о ...

Скачать
125259
9
8

... {ξn (ω )}¥n=1 . Поэтому, во-первых, можно говорить о знакомой из математического анализа (почти) поточечной сходимости последовательностей функций: о сходимости «почти всюду», которую в теории вероятностей называют сходимостью «почти наверное». Определение 46. Говорят, что последовательность с. в. {ξn } сходится почти наверное к с. в. ξ при n ® ¥ , и пишут: ξn ...

Скачать
53712
10
2

... монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при ...

0 комментариев


Наверх