Постановка задачи:
Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.
Порядок решения задачи:
Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.
Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.
| пункт i | А | Б | В | Д | 1 | 4 |
| yi | 0 | Ґ | Ґ | Ґ | Ґ | Ґ |
| 28 | 13 | 17 | 8,32 | 9 | ||
| 16,64 |
Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.
Затем пересчитываем величины yi используя правило:
Если yj + lij yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.
yA + l4A=0+9=9 y4=Ґ Ю y4=9
yA + lBA=0+13=13 yB=Ґ Ю yB=13
yA + l1A=0+8,32=8,32 y1=Ґ Ю y1=8,32
Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.
y4 + lB4=9+7=16 > yB=13
y4 + lД4=9+8=17 уД=Ґ Ю yД=17
yВ + lДВ=13+12=25 > yД=17
yВ + lБВ=13+15=28 уБ=Ґ Ю yБ=28
yВ + l1В=13+9=22 > у1=8,32
y1 + lВ1=8,32+10=18,32 > yВ=13
y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 уБ=28 Ю yБ=16,64
yД + l4Д=8,32+17=25,32 > y4=9
yД + lВД=17+12,32=29,32 > yВ=13
yБ + lВБ=16,64+15,32=31 > yВ=13
yБ + l1Б=16,64+8=24,64 > y1=8,32
Теперь проверим условие lij і yi - yj для всех дуг сети.
l4A = у4 - уА 9=9-0
l4Д > у4 – уД 8,32> 9-17
lД4 = уД – у4 8=17-9
lДВ > уД – уВ 12> 17-13
lBA = yB - yA 13=13-0
lBД > yB – yД 12,32> 13-17
lBБ > yB – yБ 15,32> 13-16,64
lB4 > yB – y4 7> 13-9
lB1 > yB – y1 10> 13-8,32
lБВ > уБ - уВ 15> 16,64-13
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
l1В > у1 – уВ 9> 8,32-13
l1Б > у1 – уБ 8> 8,32-16,64
Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:
lij = yi - yj
Таковыми являются:
l4A = у4 - уА 9=9-0
lД4 = уД – у4 8=17-9
lBA = yB - yA 13=13-0
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
Кратчайшие расстояния до пункта А равны:
| пункт | 4 | Д | Б | 1 | В |
| расстояние до А | 9 | 17 | 16,64 | 8,32 | 13 |
Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.
Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.| А | Б | В | Г | Д | |
| А | --- | 16 | 13,32 | --- | 17,64 |
| Б | 16,64 | --- | 15 | 21 | --- |
| В | 13 | 15,32 | --- | 15 | 12,32 |
| Г | --- | 21,64 | 15,32 | --- | 16 |
| Д | 17 | --- | 12 | 16,32 | --- |
Математическая модель задачи коммивояжера:
Найти минимальное значение целевой функции z
при следующих ограничениях:
из каждого города i нужно уехать только один раз
в каждый город j нужно приехать только один раз:
переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,
1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j
0 - в противном случае
решение есть простой цикл
Решение задачи:
| А | Б | В | Г | Д | |
| А | --- | 16 | 13,32 | --- | 17,64 |
| Б | 16,64 | --- | 15 | 21 | --- |
| В | 13 | 15,32 | --- | 15 | 12,32 |
| Г | --- | 21,64 | 15,32 | --- | 16 |
| Д | 17 | --- | 12 | 16,32 | --- |
Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д
Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.
В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:
А – Б – Г – Д – В – А
min z = 16+21+16+12+13 = 78
Раздел 2. Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).Постановка задачи:
В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:
B1 = 50.000 т
B2 = 60.000 т
B3 = 45.000 т
B4 = 70.000 т
Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.
Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.
Затраты на приготовление аб, руб
| мощность АБЗ | Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд | ||||
| т/час | тыс. т/год | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 18 | 484 | 489 | 495 | 481 |
| 25 | 45 | 423 | 428 | 435 | 420 |
| 50 | 90 | 405 | 410 | 416 | 401 |
Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб
| Пункт размещения | Зона-потребитель | ||||
| 1 | 28,3 | 60,3 | 45,3 | 90,3 | |
| 2 | 61,3 | 30,3 | 93,3 | 48,3 | |
| 3 | 50,3 | 95,3 | 33,3 | 62,3 | |
| 4 | 99,3 | 54,3 | 65,3 | 36,3 | |
Математическая модель транспортной задачи:
Ограничения:
весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.
спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен
xij і 0 i=1, ...., m; j=1, ...., nxij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю
Транспортная таблица:
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | ||||||
| тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=135 | Ui | Ki |
| 433,3 | 440,3 465,3 | 449,3 450,3 | 437,3 495,3 | 0 | |||
| X1=90 | 50 | 40 | 0 | 5/9 | |||
| 433,3 471,3 | 440,3 | 449,3 503,3 | 437,3 458,3 | 0 | |||
| X2=90 | 60 | 30 | 0 | 6/9 | |||
| 433,3 466,3 | 440,3 511,3 | 449,3 | 437,3 478,3 | 0 | |||
| X3=90 | 45 | 45 | 0 | Ѕ | |||
| 433,3 500,3 | 440,3 455,3 | 449,3 466,3 | 437,3 | 0 | |||
| X4=90 | 70 | 20 | 0 | 7/9 | |||
| Vj | 433,3 | 440,3 | 449,3 | 437,3 | 0 | ||
Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:
Вф=S аi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год
В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij
С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.
Проверяем план на вырожденность:
m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.
Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij).
Проверяем план на оптимальность:
число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1
для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.
для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :
Ui + Vj Сpi + E*Kpi + Cij
Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.
Определяем значения коэффициентов интенсивности.
Ki = S xij / xi
S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям
xi – мощность i-го АБЗ
Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.
Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.
Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | ||||||
| тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=90 | Ui | Ki |
| 433,3 | 424,3 465,3 | 450,3 | 421,3 495,3 | -16 0 | |||
| X1=90 | 50 | 40 | -16 | 1 | |||
| 449,3 471,3 | 440,3 | 466,3 503,3 | 437,3 458,3 | 0 | |||
| X2=90 | 60 | 30 | 0 | 6/9 | |||
| 449,3 485,3 | 440,3 530,3 | 466,3 468,3 | 437,3 497,3 | 0 | |||
| X3=45 | 45 | 0 | 0 | ||||
| 449,3 500,3 | 440,3 455,3 | 466,3 | 437,3 | 0 | |||
| X4=90 | 5 | 70 | 15 | 0 | 15/18 | ||
| Vj | 449,3 | 440,3 | 466,3 | 437,3 | 0 | ||
Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | ||||||
| тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=45 | Ui | Ki |
| 433,3 | 439,3 465,3 | 450,3 | 421,3 495,3 | -18 0 | |||
| X1=90 | 50 | 40 | -16 | ||||
| 452,3 489,3 | 458,3 | 469,3 521,3 | 440,3 476,3 | 1 > 0 | |||
| X2=45 | 45 _ | + | 3 | ||||
| 451,3 485,3 | 457,3 530,3 | 468,3 | 439,3 497,3 | 0 | |||
| X3=45 | 0 + | _ 45 | 2 | ||||
| 449,3 500,3 | 455,3 | 466,3 | 437,3 | -2 0 | |||
| X4=90 | 15 + | 5 _ | 70 | 0 | |||
| Vj | 449,3 | 455,3 | 466,3 | 437,3 | -2 | ||
Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить.
Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | ||||||
| тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=45 | Ui | Ki |
| 433,3 | 440,3 465,3 | 450,3 | 422,3 495,3 | -18 0 | |||
| X1=90 | 50 | 40 | -18 | 1 | |||
| 451,3 489,3 | 458,3 | 468,3 521,3 | 440,3 476,3 | 0 | |||
| X2=45 | 40 | 5 | 0 | 8/9 | |||
| 451,3 485,3 | 458,3 530,3 | 468,3 | 440,3 497,3 | 0 | |||
| X3=45 | 5 | 40 | 0 | 1/9 | |||
| 448,3 500,3 | 455,3 | 465,3 466,3 | 437,3 | -3 0 | |||
| X4=90 | 20 | 70 | -3 | 1 | |||
| Vj | 451,3 | 458,3 | 468,3 | 440,3 | 0 | ||
План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | ||||||
| тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=18 | Ui | Ki |
| 433,3 | 439,3 465,3 | 450,3 | 421,3 495,3 | -78 0 | |||
| X1=90 | 50 | 40 | -16 | 1 | |||
| 452,3 489,3 | 458,3 | 469,3 521,3 | 440,3 476,3 | -59 0 | |||
| X2=45 | 45 | 3 | 1 | ||||
| 511,3 545,3 | 517,3 590,3 | 528,3 | 499,3 557,3 | 0 | |||
| X3=18 | 0 | 18 | 62 | 0 | |||
| 449,3 500,3 | 455,3 | 466,3 | 437,3 | -62 0 | |||
| X4=90 | 15 | 5 | 70 | 0 | 1 | ||
| Vj | 449,3 | 455,3 | 466,3 | 437,3 | -62 | ||
План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.
Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.
| Вариант размещения | Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год | Значение целевой функции, zi, тыс.руб. | |||
| М1 | М2 | М3 | М4 | ||
| 1 | 50 | 60 | 45 | 70 | 98912,5 |
| 2 | 90 | 60 | 0 | 75 | 99037,5 |
| 3 | 90 | 40 | 5 | 90 | 100067,5 |
| 4 -наилучший | 90 | 45 | 0 | 90 | 100072,5 |
Похожие работы
... ресурсу про x1=10, х2=25. 7. Функции спроса и предложения на товар имеют вид: d(p) = - 0,3p + 60 и S(p) = 9,7p+10, соответственно. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Билет № 2 1. В чем состоит связь целевых функций прямой и двойственной задач и что это значит ...
... и 25 ед. полезности. Товары приобретаются по ценам 50 у.е. и 70 у.е., бюджет потребителя составляет 2000 у.е. Сформулировать задачу потребителя. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Билет № 11 Рассматривается задача составления плана производства как Задача линейного ...
... ед. и 25 ед. полезности. Товары приобретаются по ценам 50 у.е. и 70 у.е., бюджет потребителя составляет 2000 у.е. Сформулировать задачу потребителя. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Билет № 11 1) Рассматривается задача составления плана производства как Задача ...
... а это предполагает, что содержание наиболее предпочтительно критерия оптимальности ориентировано на максимизацию прибыли. 1.3 Методики моделирования программы развития сельскохозяйственного предприятия в работах ученых экономистов В экономических исследованиях издавна применялись простейшие математические методы. В хозяйственной жизни широко используются геометрические формулы. Так, площадь ...
0 комментариев