LgK=20 lg10 =20;

20 lgK=20 lg10 =20;

Сопрягающая частота:

Рисунок 5.3 - График логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ)

5. Анализ устойчивости системы

Понятие устойчивости системы регулирования связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.

Общее условие устойчивости говорит о том, что линейная непрерывная система будет устойчива, если вещественные части корней характеристического уравнения замкнутой системы будут отрицательны. Чтобы упростить задачу анализа устойчивости, в ТАУ используются критерии, которые позволяют судить об устойчивости системы, не рассчитывая корней характеристического уравнения.

5.1 Проверка устойчивости критерием Гурвица

Согласно критерию Гурвица, чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные вещественные части (т.е. система была устойчива), необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были больше нуля при положительном коэффициенте при старшей степени.

Рассчитаем устойчивость нашей системы критерием Гурвица :

При анализе по критерию Гурвица нам необходимо знать характеристический полином нашей системы.

Характеристический полином:

D(s) = .

Для системы второго порядка: чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно чтобы коефициенты характеристического уравнения были больше 0.

Все коефициенты оказались больше нуля, значит, наша система устойчива.

  5.2 Проверка устойчивости критерием Михайлова

1 Формулировка критерия Михайлова: Чтобы характеристический полином не имел корней в правой полуплоскости необходимо и достаточно, чтобы полное приращение фазы , при изменении частоты от 0 до  было равно , где n – порядок систем .

2 Формулировка критерия Михайлова: Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞, годограф Михайлова должен последовательно проходить N – квадрантов и в N-том уходить в бесконечность.

3 Формулировка критерия Михайлова: Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно чередование нулей мнимой (сначала) и действительной части характеристического уравнения при изменении частоты от 0 до .

Рассчитаем устойчивость нашей системы методом Михайлова :

Запишем характеристический полином системы:

.

Перейдем к комплексным переменным :

Выделим действительную и мнимую части:

  

Чтобы система была устойчива за Михайловым, нужно чтобы частоты росли а нули чередовались, т.е. было истинно следующее выражение :

Как видим из данной записи, наша система устойчива.

5.3 Предельный коэффициент усиления

Предельный коэффициент усиления системы – эт`о такой коэффициент усиления, при котором система находиться на границе устойчивости – т.е. переходной процесс, характеризующий систему, имеет вид колебательной кривой.

Характеристический полином:

D(s) =

Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы

Из этого следует, что система устойчива при любых k.