Анализ качества САУ при случайных воздействиях и их оптимизация

Предмет:

«Теория автоматического управления статических систем»

Тема:

«Анализ качества САУ при случайных воздействиях и их оптимизация»

Анализ качества САУ при случайных воздействиях

Так как устойчивость линейных систем является свойством системы и не зависит от характера воздействия, то устойчивость при случайных воздействиях определяется также, как и для детерминированных.

Качество систем при детерминированных воздействиях оценивается с помощью показателей качества, таких как tp, s, T и т.д. При случайных воздействиях они теряют смысл, так как входные и выходные величины являются случайными функциями времени и при исследовании рассматривают не сами процессы, а их статистические свойства, т.е. определяют не мгновенные значения процессов, а их средние значения.

При случайных воздействиях ошибка системы e(t) = x(t)-y(t) также является случайной величиной, при этом используют ее усредненное значение – среднюю квадратичную ошибку

(1)

Эта ошибка используется для оценки точности или качества систем при случайных воздействиях.

Недостатки средней квадратичной ошибки:

1.Она обеспечивает минимум не мгновенного, а среднего значения, при этом мгновенное значение может быть недопустимо большим.

2. Она недооценивает малые ошибки и придает чрезмерное значение большим ошибкам, так как ее значение возводится в квадрат.

Расчет ошибок с САУ при случайных воздействиях

Рассмотрим порядок расчета ошибок в системах управления при случайных воздействиях. Пусть задана система, приведенная на рис.1.

Рис.1

Необходимо определить величину средней квадратичной ошибки -e если заданы Sxx(w) и Szz(w).

Рассмотрим несколько случаев.

Пусть действует только полезный сигнал x(t) а помеха z(t) отсутствует.

Спектральная плотность ошибки определяется соотношением:

 (2)

Величина средней квадратичной ошибки -e определяется по формуле:

. (3)

Значения интеграла от спектральной плотности табулированы и могут быть вычислены через коэффициенты полиномов выражения для спектральной плотности.

Пусть действует только помеха z(t) а полезный сигнал x(t) отсутствует.

Действие помехи рассматривается на выходе системы.

Спектральная плотность ошибки при этом определяется соотношением:

 (4)

3. Пусть действует и полезный сигнал x(t) и помеха z(t) и они не коррелированны.

Суммарная спектральная плотность ошибки при этом определяется соотношением:

(5)

Пример 1. Для приведенной ниже системы (рис.2), определить величину средней квадратичной ошибки -e, если заданы Sxx(w) = c2 и Szz(w) = 0.

Рис. 2

Если сигнал и помеха некоррелированны, то суммарная спектральная плотность ошибки при этом определяется соотношением:

.

Значения интеграла от спектральной плотности вычислим через коэффициенты полиномов выражения для спектральной плотности.

Величина средней квадратичной ошибки -e определяется по формуле:

.

Пример 2. Для системы приведенной на рис.3 определить спектральную плотность ошибки, вызванную действием помехи -z(t) со спектральной плотностью

	y

Рис. 3

Решение: Спектральная плотность ошибки определяется из соотношений:

Статистическая оптимизация систем управления

При статистических исследованиях систем решаются задачи оптимизации, т.е. определение систем наилучших в определенном смысле (по точности, быстродействию, надежности и т.д.).

Оптимальной системой называют систему, обеспечивающую экстремум некоторого функционала, называемого критерием оптимальности.

При статистической оптимизации систем решаются следующие задачи:

Задача анализа.

Задача синтеза.

Задача анализа

Формулировка задачи

Дано: система с заданной структурой; статистические характеристики полезного сигнала x(t) и помехи z(t).

Определить: параметры системы, обеспечивающие минимальную величину средней квадратичной ошибки.

Рис.4

Схему исследуемой системы можно представить в виде, показанном на рис.1. При этом Ки(р) – передаточная функция идеальной системы, которая определяет закон преобразования полезного сигнала.

В системах, находящихся под действием случайного (или регулярного) входного сигнала и помехи возникает задача отделения сигнала от помехи и подавления (фильтрации) помехи. Кроме фильтрации в зависимости от оператора Ки(р) задача фильтрации сочетается с задачами: