Магнітний потік. Теорема Гаусса для магнітного поля

2. Магнітний потік. Теорема Гаусса для магнітного поля

Потоком магнітної індукції або магнітним потоком називають скалярну величину, яка дорівнює:

, (2.1)

де  - вектор індукції магнітного поля у напрямку нормалі до площадки dS (рис.13.3)

Рис.13.3

Повний магнітний потік через поверхню S знаходять шляхом інтегрування.

Магнітному потоку в 1 Вб відповідає 10⁸ силових ліній індукції магнітного поля крізь площадку в 1 м².

У випадку замкнутої поверхні слід відрізняти між собою такі особливості:

- силові лінії, які входять у поверхню, мають від’ємний потік, тому в цьому випадку

-        силові лінії, які виходять з поверхні мають

 

- у загальному випадку

. (2.2)

Вираз (2.2) є теоремою Гаусса для магнітного поля. Суть цієї теореми полягає в тому, що силові лінії магнітного поля не пов’язані з магнітними зарядами. Магнітних зарядів у природі не існує. Описане явище показане на рис. 4.

Рис.4

 . (2.3)

3. Робота переміщення провідника із струмом і контуру із струмом у магнітному полі

Знайдемо роботу, яку слід виконати для переміщення провідника із струмом І у магнітному полі, як це показано на рис. 13.5

Рис.13.5

Провідник, що має довжину l і струм І виготовлений у вигляді коточка і має можливість переміщуватись. На рухому частину провідника з сторони магнітного поля діє сила Ампера, напрям якої визначається правилом лівої руки.

Для переміщення такого коточка вздовж направляючих дротів слід прикладати силу F, яка має бути рівною силі Ампера. Робота в цьому випадку буде дорівнювати:

. (13.3.1)

де F_A=IBl – величина сили Ампера, яка діє на рухомий коточок, тому:

A = -Ibldx = -IbdS = -Id (3.2)

Знак мінус показує, що робота виконується проти сили Ампера.

Якщо роботу виконує сила Ампера, то

A= Id (3.3)

де А – позитивна робота, виконана силою Ампера.

Після інтегрування одержуємо роботу сили по переміщенню провідника із струмом у магнітному полі.

A = -I,

або

A =I. (3.4)

У випадку контуру із струмом, який рухається у магнітному полі, слід враховувати як позитивну роботу, так і негативну роботу переміщення двох частин цього контуру (рис.13.6)

Рис.6

При русі частини контуру АС (зліва) робота виконується позитивна. Тому в цьому випадку

A₁ = I(d₁ + d₀), (3.5)

де dФ₁ – потік, який визначається площею лівої частини контуру АС (заштрихована площа),

dФ₀ - потік, який визначається площею самого контуру з струмом.

При переміщенні правої сторони цього контуру робота буде дорівнювати

A₂ = -I(d₂ + d₀), (3.6)

де dФ₂ – потік, який утвориться переміщенням правої частини контуру; dФ₀ – потік за рахунок площі самого контуру.

Ця площа перекривається площею правої сторони контуру. Робота А₂ – від’ємна

У загальному випадку робота переміщення контуру з струмом у магнітному полі буде дорівнювати

A = I(d₁ - d₂)= Id. (3.7)

Після інтегрування одержимо

А=ІФ.  (3.8)

Висновок. Робота переміщення провідника із струмом і контуру із струмом визначається однаковою формулою.

4. Енергія магнітного поля

Розглянемо замкнуте коло, в якому є резистор R, котушка L і джерело струму  (рис.7)

Рис.7

Скористаємось другим правилом Кірхгофа для замкнутого контуру, показаного на рис.7.

У цьому випадку

, (4.1)

або

, (4.2)

де  - електрорушійна сила самоіндукції, діє лише в момент замикання або розмикання кола.

З рівняння (13.4.2) визначимо електрорушійну силу джерела

 . (4.3)

Зведемо цей вираз до спільного знаменника

dt = Irdt + LdI . (4.4)

Помножимо вираз (13.4.4) на струм І, одержимо

Idt = I²rdt + LIdI , (4.5)

де I²rdt - джоулевe тепло; Idt - робота сторонніх сил джерела струму; LIdI - енергія магнітного поля, локалізована в котушці зі струмом.

Тому

dW_м= LIdI . (4.6)

Інтегруємо цей вираз у межах зміни енергії магнітного поля від 0 до W_м, а струму від 0 до І, одержимо

,

або

. (4.7)

Вираз (13.4.7) визначає енергію магнітного поля котушки зі струмом.

Для довгого соленоїда L=₀n²V. Підставимо це значення L у (13.4.7), одержимо

. (4.8)

де ²₀²n²І²=В² – квадрат індукції магнітного поля соленоїда.

З урахуванням цього зауваження одержуємо:

. (4.9)

При діленні енергії магнітного поля на об’єм одержимо об’ємну густину енергії магнітного поля, локалізованого в котушці

,

або

. (4.10)