Дифференциальное исчисление функций

Содержание

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение

3. Интегральное исчисление функции одного переменного

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

 

1. Вычислить предел: .

 

Решение.

При  имеем

Следовательно,

 

2. Найти асимптоты функции: .

Решение.

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что

Следовательно,  – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

Следовательно,  – наклонная асимптота при .

 

3. Определить глобальные экстремумы:  при .

 

Решение.

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .

.

А затем находим критические точки.

Теперь найдем значение функции на концах отрезка.

.

Сравниваем значения и получаем:

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .

 

Решение.

Сначала находим .

.

Затем находим критические точки.

x		–3		0
	–	0	+	0	+
	убывает	min	возрастает	возрастает	возрастает

Отсюда следует, что функция

возрастает при ,

убывает при .

Точка  – локальный минимум.

 

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .

 

Решение

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.

.

.

.

x		–2		1
	–	0	–	0	+
	вогнутая	перегиб	выпуклая	перегиб	вогнутая

Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при .

Точки ,  – точки перегиба.

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»

 

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .

 

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Функция не является четной или нечетной, так как

.

3) Теперь найдем точки пересечения с осями:

а) с оx: , б) с oy .

4) Теперь найдем асимптоты.

а)

А значит,  является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда следует, что

 является наклонной асимптотой при .

5) Теперь найдем критические точки

 не существует при .

6)

 не существует при

x		0		2		4
	+	0	–	Не сущ.	–	0	+
	–	–	–	Не сущ.	+	+	+
y	возрастает выпуклая	max	убывает выпуклая	не сущ.	убывает вогнутая	min	возрастает вогнутая

Построим эскиз графика функции

2. Найти локальные экстремумы функции .

 

Решение.

Сначала найдем частные производные

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее.

Далее проведем исследование этой точки.

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка

Для точки :

.

Следовательно, точка  не является точкой экстремума.

Это означает, что точек экстремума у функции

 нет.

3. Определить экстремумы функции , если .

 

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

.

И исследуем ее

(Учитываем, что по условию )

То есть мы получили четыре критические точки.

В силу условия  нам подходит только первая .

Исследуем эту точку.

Вычислим частные производные второго порядка:

Отсюда получаем, что

Теперь продифференцируем уравнение связи

.

Для точки  

Далее получаем

То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.

Следовательно,  – точка условного локального максимума.

.

 

3. Интегральное исчисление функции одного переменного

 

1–3. Найти неопределенный интеграл

 

1. .

 

Решение.

.

2. .

 

Решение.

.

 

3.

 

Решение.

.

 

4. Вычислить .

 

Решение.

.

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

 

.

Решение.

 

 

.