Дифференциальные уравнения для электрической цепи

Министерство Образования Российской Федерации

ИрГТУ

 

Кафедра АПП

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по математике

 

 

 

 

Выполнил: студент группы АТП-05-1

 

Поверил: профессор

Баев А. В.

 

 

 

 

 

Иркутск

2007 г

Задание.

 

1.         Для заданной электрической цепи составить дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка.

2.         Применить к полученному уравнению преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях.

3.         Решить уравнение операторным методом.

4.         Построить переходный процесс.

5.         Записать выражение и построить частотные характеристики цепи: АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, МЧХ и АФЧХ (амплитудно-фазовую характеристику).

6.         Описать динамику вашей цепи в терминах пространства состояния.

Схема электрической цепи

Дано:

 R = 5

L = 10

C = 12

   

;

 При подстановке данных получаем окончательное дифференциальное уравнение:

Применим преобразование Лапласа и запишем передаточную функцию для данной цепи

Решаем характеристическое уравнение:

 

 

График переходного процесса

Заменим P = jω, получая комплексную переменную:

Решаем алгебраически:

 

АФЧХ :  

ДЧХ :    

 

ФЧХ :

 

С помощью MathCAD строим все виды характеристик цепи:

 Графики частотных характеристик цепи:

ДЧХ и МЧХ:

 

АЧХ:

ФЧХ:

АФЧХ:

Опишем динамику нашей цепи в терминах пространства состояния.

 

Компактная форма:

Составляем матрицу A:

Составляем матрицу единичную матрицу Ep:

Выражение для передаточной функции:

Составляем матрицу из алгебраического дополнения:

 

Составляем транспонированную матрицу:

Находим определитель ∆

Выражение для передаточной функции:

При подстановке данных, получаем:

Дискретная форма.

Передаточная функция равна:

 

Находим корни корни характеристического уравнения:

Из таблицы оригиналов и значений:

Произведем подстановку данных:

Разделим числитель и знаменатель на z в max степени:

Следовательно:

где m- максимальная степень z, L- максимальная степень z в знаменателе:

Находим, целю часть:

Следовательно:

График дискретной функции :