Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних

1.         Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних

Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак [9]. В данном случае фактором является степень поражения почек, а признаком - УК.

Научное обоснованное решение подобной задачи при некоторых предположениях составляет предмет дисперсионного анализа , введенного математиком- статистиком Р. А. Фишером.[10]

Статистическая модель

Выборки производятся из нормальных совокупностей. Первая выборка производиться из совокупности со средним, вторая - со средним  , k-я из совокупности со средним . Все наблюдения независимы. Будем считать распределение данной мне совокупности нормальным.

Гипотезы №1.

Н₀ : =  =…=

Н₁: не все средние равны. все средние равны.

Критическая область.

Верхняя 5%-ная область F_k-1.N-k -распределения. В нашем случае F_4,474 -распределения, так как k=4, а =n₁ + n₂ + n₃ + n₄ + n₅ =479. Эта область определяется неравенством F>2.37. ( Определяется по таблице, см. Таблица А.4а на стр. 334 "Справочника по вычислительным методам статистики" Дж. Поллард [6] )

Вычисление значения критериальной статистики

Будем рассматривать исходные данные, представленные Таблицей №1.

Таблица №1. Значения УК в зависимости от тяжести ГН.

.Нет нефрита Выборка объема n1= 210	Слабый нефрит Выборка объема n2= 101	Средний нефрит Выборка объема n3= 98	Нефротический синдром Выборка объема n4 = 45	Почечная недостаточность Выборка объема n5 = 25
36	11	7	10	20
38	35	27	5	20
40	37	6	6	21
31	15	5	15	24
33	40	40	20	3
33,8	0	5	25	12
37	33	45	28	10
38	33	45	32	0
33	5	46	46	18,2
37	40	45	33	46
48	25	24	44	10
40	33	24	25	0
42	50	43	22,5	20
35	25	24,5	24,5	30,4
15	20	20,5	38	0
35	50	9	12	33,3
48	50	12	54,7	14,7
45	18	32	20,7	34,1
38	20	43	0	22,4
15	33	35,5	26,1	17,8
13	43	44	11	33,5
40	10	50	11,7	29,6
40	12	34	34,4	13,6
38	23	12	0	35
32,7	34	0	0	37
60	30	25,1	42
50	35	22,5	32,3
51	22	31	16
45	22,2	33	32,5
25	20	41,9	39,3
33	21	41,7	40,2
33	22	37,1	0
39	10	33,4	39,1
35,8	37,4	33	37,7
41,7	22,4	34,3	33,5
38,2	35	33	43,8
37,4	37,3	36,9	16
10	39,6	41	16
37,9	0	33	31
39,3	32,8	32,15	52
37,2	24	38,8	51
37,8	25	48,1	33,5
49,1	38	0	48
36,15	29	0	27
43,8	32	26,6	48
40	32	52,8
40	20	27
36	32,3	13,6
45	10	10
43,5	33,9	19,5
35	45,74	51,2
35	0	40,4
19,5	49,1	46,05
24,2	38	0
33	0	25,2
40,4	43,5	28
30	32,3	27
36	41	35
10	40	29
25	29,7	50
30	30	20
32	27,6	0
31	21,4	15,6
45	23	35
20	34,3	0
45	18	46
15	50,4	59,2
30,4	48,2	0
50	37,3	22,5
46	35	0
35	25	24
15	20	45
18	38	28,9
28	47,5	30,5
36,7	37,9	45,5
47,8	40,3	43
39,2	60	34,7
36,5	34,1	32,6
32	46,7	38,4
45,7	39	37,15
46,9	31,4	39
15,6	32	52,15
34,1	42	52,2
44,7	43,8	0
26,5	39,1	0
36,6	16	0
30,3	26,5	33
47	43	43
50	36,9	46,6
52,2	29,4	59,3
38,5	30,6	0
41	35,6	15,5
40	38,7	21,2
45	38,2	22,8
25,5	26,1	28,3
27,7	43,2	28,15
22,5	46	38,5
45	35,6	26
33	32,4
48,3	50
47,5	50
32
50
35,6
33,5
56,9
28,9
40
35,2
42,5
50
46,2
52,7
49,1
38
33,7
32,6
30
28,9
44,4
48,2
38,15
42
28,4
33,5
39,4
38,6
34,3
37,7
27,3
39,2
29,2
39,2
33,5
18
31,2
23,4
36,9
57,3
45
45,3
16,5
34,9
43,1
30,8
0
34,5
28
16
28,9
23
27
41,6
43,4
36
49
25
41,5
35,5
35
33,1
41,7
39,15
30,8
45,7
35,4
35,8
27
19,5
29,4
33,3
36,6
42,6
30
36,1
43
33,3
28,7
28,7
45,1
31,8
33
39,1
29
46,7
41,05
29,9
50
47
34,4
11
20,6
36,6
38,6
29,48
25
0
38
34,7
38,2
43,8
40,3
38,5
60
50
36
55
33,5
25,1
24,8
Всего:Т1=7502,38	Т2=3157,44	Т3=2819,55	Т4=1223,50	Т5=505,60

Т = Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ + Т₅

Т=15208,47, Т² = 231297559,74, N = 479

Средние значения выборок:

=35,6

= 31,1

= 28,7

 = 26,38

= 19,8

 

Возведем в квадрат значение всех наблюдений и просуммируем их [6].

Вычисляем:

=567988,11

Общая сумма квадратов будет следующей:

- /N = 85112,2

Находим сумму квадратов между выборками:

(/n₁ +….+/n_k ) – T²/N = 8470,35

Теперь можно заполнить таблицу дисперсионного анализа [6].

Таблица №2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии (1)	Сумма квадратов (2)	Степень свободы (3)	Средний квадрат (4)=(2)/(3)
Между выборками	()-/N	k-1	(определяется делением)
Остаточная	(определяется вычитанием)	N-k
Полная		N-1	-----

Получаем:

Таблица №2а. Дисперсионный анализ по одному признаку. Результаты.

Компонента дисперсии (1)	Сумма квадратов (2)	Степень свободы (3)	Средний квадрат (4)=(2)/(3)
Между выборками	8470,35	4	2117,59
Остаточная	76641,85	474	161,69
Полная	85112,2	478	-----

Значение критериальной статистики равно:

F = средний квадрат между выборками / остаточный средний квадрат = 2117,59 / 161,69 = 13,09

Сравним F и F_критич : 13,09>2,37

Вывод. Следовательно, мы отвергаем гипотезу Н₀ ,то есть можно предположить, что при 5%-ном уровне значимости УК в крови больных СКВ зависит от степени тяжести поражения почек.

Мы не знаем, какое распределение имеют наши выборки. Описанный метод применяется , как это было описано в статистической модели, для нормальных совокупностей. В связи с этим будет правомочно применить непараметрический метод для выяснения равенства нескольких средних.