Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Краскала-Уоллиса для нескольких независимых выборок

2. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Краскала-Уоллиса для нескольких независимых выборок

Для проверки совпадений нескольких средних часто применяется непараметрический критерий, свободный от распределения. Его можно использовать, когда рассматриваемые совокупности не являются нормально распределенными [7].

Статистическая модель

Имеется k совокупностей, в нашем случае 5 совокупностей. Каждая выборка извлекается из своей совокупности. Все наблюдения независимы.

Гипотезы

Н₀ : все k совокупностей одинаково распределены.

Н₁ : нулевая гипотеза не верна.

Критическая область

Верхняя 5%-ная область распределения ²_k-1. В нашем случае ²₄ , что соответствует значению критерия , превышающему 9,49. Данное число взято из Таблицы А.2 на стр. 331 "Справочника по вычислительным методам статистики" Дж. Полларда. [6]

Вычисление значения критериальной статистики Для этого наблюдения x_ij заменяются их рангами r_ij .Все n наблюдений упорядоченны по возрастанию от 1 до n. Находим сумму рангов R₁, R₂,…, R_k для k групп. Вычисляем критерий [4]:

H= ( R²₁/n₁ +….+ R²_k/n_k ) – 3 ( N + 1 )

Значения комплемента упорядочены по возрастанию. Они иногда совпадают, тогда ранг принимает среднее значение.

Далее, используя Таблицу №1, присваиваем каждому значению комплемента соответствующий ранг в данных пяти выборках и получаем сумму рангов [5] .

Таблица №3. Таблица рангов наблюдений.

Нет нефрита Выборка объема n1 = 210		Слабый нефрит Выборка объема n2 = 101		Средний нефрит Выборка объема n3 = 98		Нефротический синдром Выборка объема n4 = 45		Почечная недостаточность Выборка объема n5 = 25
УК	Ранг	УК	Ранг	УК	Ранг	УК	Ранг	УК	Ранг
36	282	11	45	7	33	10	39	20	86
38	315,5	35	264	27	144,5	5	28,5	20	86
40	352,5	37	296,5	6	31,5	6	31,5	21	95,5
31	188,5	15	59,5	5	28,5	15	59,5	24	115
33	220	40	352,5	40	352,5	20	86	3	26
33,8	242	0	13	5	28,5	25	126,5	12	50
37	296,5	33	220	45	405,5	28	28	10	39
38	315,5	33	220	45	405,5	32	197,5	0	13
33	220	5	28,5	46	420,5	46	420,5	18,2	77
37	296,5	40	352,5	45	405,5	33	220	46	420,5
48	436,5	25	126,5	24	115	44	396,5	10	39
40	352,5	33	220	24	115	25	126,5	0	13
42	375,5	50	453,5	43	383	22,5	105,5	20	86
35	264	25	126,5	24,5	119,5	24,5	119,5	30,4	181,5
15	59,5	20	86	20,5	92	38	315,5	0	13
35	264	50	453,5	9	34	12	50	33,3	231
48	436,5	50	453,5	12	50	54,7	471	14,7	56
45	405,5	18	74,5	32	197,5	20,7	94	34,1	247
38	315,5	20	86	43	383	0	13	22,4	102,5
15	59,5	33	220	35,5	273,5	26,1	137,5	17,8	72
13	53	43	383	44	396,5	11	45	33,5	237
40	352,5	10	39	50	453,5	11,7	47	29,6	171
40	352,5	12	50	34	244,5	34,4	252,5	13,6	54,5
38	315,5	23	110	12	50	0	13	35	264
32,7	210	34	244,5	0	13	0	13	37	296,5
60	478	30	176,5	25,1	132,5	42	375,5
50	453,5	35	264	22,5	105,5	32,3	204
51	462,5	22	99,5	31	188,5	16	68
45	405,5	22,2	101	33	220	32,5	207
25	26,5	20	86	41,9	373	39,3	345,5
33	220	21	95,5	41,7	371	40,2	359
33	220	22	99,5	37,1	299	0	13
39	334	10	39	33,4	233	39,1	337
35,8	278,5	37,4	304,5	33	220	37,7	306,5
41,7	371	22,4	102,5	34,3	250	33,5	237
38,2	323	35	264	33	220	43,8	393,5
37,4	304,5	37,3	302,5	36,9	293	16	68
10	39	39,6	346	41	365	16	68
37,9	309,5	0	13	33	220	31	188,5
39,3	343,5	32,8	211	32,15	202	52	465
37,2	301	24	115	38,8	332	51	462,5
37,8	308	25	126,5	48,1	439	33,5	237
49,1	445	38	315,5	0	13	48	436,5
36,15	286	29	165	0	13	27	144,5
43,8	393,5	32	197,5	26,6	141	48	436,5
40	352,5	32	197,5	52,8	470
40	352,5	20	86	27	144,5
36	282	32,3	204	13,6	54,5
45	405,5	10	39	10	39
43,5	390,5	33,9	243	19,5	79
35	264	45,74	417	51,2	464
35	264	0	13	40,4	362,5
19,5	79	49,1	445	46,05	424
24,2	118	38	315,5	0	13
33	220	0	13	25,2	134
40,4	362,5	43,5	390,5	28	152,5
30	176,5	32,3	204	27	144,5
36	282	41	365	35	264
10	39	40	352,5	29	165
25	126,5	29,7	172	50	453,5
30	176,5	30	176,5	20	86
32	197,5	27,6	149	0	13
31	188,5	21,4	98	15,6	64,5
45	405,5	23	110	35	264
20	86	34,3	250	0	13
45	405,5	18	74,5	46	425
15	59,5	50,4	461	59,2	475
30,4	181,5	48,2	440,5	0	13
50	453,5	37,3	302,5	22,5	105,5
46	420,5	35	264	0	13
35	264	25	126,5	24	115
15	59,5	20	86	45	405,5
18	74,5	38	315,5	28,9	161,5
28	152,5	47,5	432,5	30,5	183
36,7	291	37,9	309,5	45,5	414
47,8	434	40,3	360,5	43	383
39,2	341	60	478	34,7	255,5
36,5	287	34,1	247	32,6	208,5
32	197,5	46,7	427,5	38,4	325
45,7	415,5	39	334	37,15	300
46,9	429	31,4	192	39	334
15,6	64,5	32	197,5	52,15	466
34,1	247	42	375,5	52,2	467,5
44,7	399	43,8	393,5	0	13
26,5	139,5	39,1	337	0	13
36,6	289	16	68	0	13
30,3	180	26,5	139,5	33	220
47	430,5	43	383	43	383
50	453,5	36,9	293	46,6	426
52,2	467,5	29,4	168,5	59,3	476
38,5	327	30,6	184	0	13
41	365	35,6	276	15,5	63
40	352,5	38,7	331	21,2	97
45	405,5	38,2	323	22,8	108
25,5	135	26,1	137,5	28,3	156
27,7	150	43,2	388	28,15	155
22,5		46	420,5	38,5	327
45	105,5	35,6	276	26	136
33	220	32,4	206
48,3	442	50	453,5
47,5	432,5	50	453,5
32	197,5
50	453,5
35,6	276
33,5	237
56,9	473
28,9	161,5
40	352,5
35,2	271
42,5	378
50	453,5
46,2	425
52,7	469
49,1	445
38	315,5
33,7	241
32,6	208,5
30	176,5
28,9	161,5
44,4	398
48,2	440,5
38,15	321
42	375,5
28,4	157
33,5	237
39,4	345
38,6	329,5
34,3	250
37,7	306,5
27,3	148
39,2	341
29,2	167
39,2	341
33,5	237
18	74,5
31,2	191
23,4	112
36,9	293
57,3	474
45	405,5
45,3	413
16,5	71
34,9	257
43,1	387
30,8	185,5
0	13
34,5	254
28	152,5
16	68
28,9	161,5
23	110
27	144,5
41,6	369
43,4	389
36	282
49	443
25	126,5
41,5	368
35,5	273,5
35	264
33,1	229
41,7	371
39,15	339
30,8	185,5
45,7	415,5
35,4	272
35,8	278,5
27	144,5
19,5	79
29,4	168,5
33,3	231
36,6	289
42,6	379
30	176,5
36,1	285
43	383
33,3	231
28,7	158,5
28,7	158,5
45,1	412
31,8	193
33	220
39,1	337
29	165
46,7	427,5
41,05	367
29,9	173
50	453,5
47	430,5
34,4	252,5
11	45
20,6	93
36,6	289
38,6	289
29,48	170
25	126,5
0	13
38	315,5
34,7	255,5
38,2	323
43,8	393,5
40,3	360,5
38,5	327
60	478
50	453,5
36	282
55	472
33,5	237
25,1	132,5
24,8	121
Всего:	R1= 57877		R2= 23298.5		R3= 21259.5		R4= 8789		R5= 3072

N = 479	k = 5
R1 = 57877	n1 = 210
R2 = 23298,5	n2 = 101
R3 = 21259,5	n3 = 98
R4 = 8789	n4 = 45
R5 = 3072	n5 = 25

Теперь можно полученные суммы рангов подставить в формулу и получить значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса [4] :

Н=23,03

Полученный результат не является незначимым, поэтому нельзя считать, что выборки извлечены из одинаково распределенных совокупностей и что средние значения совокупностей совпадают. Но этот вывод является приближенным, так как в нашей таблице есть много совпадающих значений. Для учета влияния связей можно воспользоваться модифицированной формой статистики Краскела-Уоллиса [4]:

Н^` =

, где g – число групп совпадающих значений, Т_j= (t - t), t– число совпадающих наблюдений в группе с номером j .

Таблица №4. Группы совпадающих наблюдений.

Повторяющиеся значения УК	Кол-во повторений t j	Значение Tj
0	25	15600
5	4	60
6	2	6
10	9	720
11	3	24
12	5	120
13,6	2	6
15	6	210
15,6	2	6
16	5	120
18	4	60
19,5	3	24
20	11	1320
21	2	6
22	2	6
22,4	2	6
22,5	4	60
23	3	24
24	5	120
24,5	2	6
25	10	990
25,1	2	6
26,1	2	6
26,5	2	6
27	6	210
28	4	60
28,7	2	6
28,9	4	60
29	3	24
29,4	2	6
30	6	210
30,4	2	6
30,8	2	6
31	4	60
32	8	504
32,3	3	24
32,6	2	6
33	17	4896
33,3	3	24
33,5	7	336
34	2	6
34,1	3	24
34,3	3	24
34,4	2	6
34,7	2	6
35	13	2184
35,5	2	6
35,6	3	24
35,8	2	6
36	5	120
36,6	3	24
36,9	3	24
37	4	60
37,3	2	6
37,4	2	6
37,7	2	6
37,9	2	6
38	10	990
38,2	3	24
38,5	3	24
38,6	2	6
39	3	24
39,1	3	24
39,2	3	24
39,3	2	6
40	12	1716
40,3	2	6
40,4	2	6
41	3	24
41,7	3	24
42	4	60
43	7	336
43,5	2	6
43,8	4	60
44	2	6
45	12	1716
45,7	2	6
46	6	210
46,7	2	6
47	2	6
47,5	2	6
48	4	60
48,2	2	6
49,1	3	24
50	14	2730
51	2	6
52,2	2	6
60	3	24

 

g = 88

 

Теперь можно полученные результаты подставить в модифицированную формулу и получить уточненное значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса :

Н^` = 23,037

Вывод. Скорректированное значение Н^` статистики Краскела-Уоллиса несущественно отличается от значения Н, т.о. мы можем отвергнуть гипотезу Н₀ на минимальном уровне значимости. Следовательно , мы подтвердили результат полученный ранее : существует зависимость между УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек .

3. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Джонкхиера для нескольких выборок, упорядоченных по возрастанию влияния фактора

Нам заранее известно, что имеющиеся группы результатов упорядочены по возрастанию влияния фактора.. В нашем случае фактором является степень тяжести ГН. В таких случаях целесообразно использовать критерий Джонхиера , более чувствительный против альтернатив об упорядоченном влиянии фактора [5].

Статистическая модель

Имеется k совокупностей, в нашем случае 5 совокупностей. Каждая выборка извлекается из своей совокупности. Все наблюдения независимы. имеющиеся группы результатов упорядочены по возрастанию влияния фактора . 1-й столбец Таблицы №1 отвечает наименьшему уровню фактора, последний – наибольшему, а промежуточные столбцы получили номера, соответствующие их положению. В нашем случае фактором является степень тяжести поражения почек [4] .

Гипотезы

Н₀ :==…= ( влияние фактора упорядоченно.)

Н₁ : …

Критическая область

Верхняя 5% область F-распределения, что в нашем случае соответствует значению критерия, превышающему значение 2,21. Данное число взято из таблицы А.4 на стр. 334 [6].

Вычисление значения критериальной статистики

Вычислим статистику Манна – Уитни. Сравниваем k способов обработки, в нашем случае 5. Поступим следующим образом : для каждой пары натуральных чисел u и v , где 1£ u < v £ k , составляем по выборкам с номерами u,v статистику Манна – Уитни [4].

U = , y)

Определим так же статистику Джонхиера как :

J =

Для нахождения значений статистики Манна – Уитни будем использовать программу,( так как мы имеем выборки большого объема) написанную на языке Fortran Power Station для Windows , версия 4.0 .Выбор данного языка программирования связан с тем, что он максимально приближен к общепринятому языку математических формул. [11].

implicit real*8 (a-h, o-z)

dimension a1(210), a2(101),a3(98),a4(45),a5(25)

open (unit=11, file='1.dat', access='sequential', status='old')

open (unit=12, file='2.dat', access='sequential', status='old')

open (unit=13, file='3.dat', access='sequential', status='old')

open (unit=14, file='4.dat', access='sequential', status='old')

open (unit=15, file='5.dat', access='sequential', status='old')

open (unit=16, file='res.dat',access='append',status='unknown')

do 2222 i=1,210

read (11, 21) a1(i)

21 format(e8.1)

2222 continue

do 2223 i=1,101

read (12, 21) a2(i)

2223 continue

do 2224 i=1,98

read (13, 21) a3(i)

2224 continue

do 2225 i=1,45

read (14, 21) a4(i)

2225 continue

do 2226 i=1,25

read (15, 21) a5(i)

2226 continue

u12=0

do 101 i=1,210

do 91 j=1,101

if (a1(i)<a2(j)) then

u12 = u12+1

elseif (a1(i).eq.a2(j)) then

u12= u12+0.5

else

u12= u12+0.0

endif

91 continue

101 continue

u13=0

do 102 i=1,210

do 92 j=1,98

if (a1(i)<a3(j)) then

u13 = u13+1

elseif (a1(i).eq.a3(j)) then

u13= u13+0.5

else

u13= u13+0.0

endif

92 continue

102 continue

u14=0

do 103 i=1,210

do 93 j=1,45

if (a1(i)<a4(j)) then

u14 = u14+1

elseif (a1(i).eq.a4(j)) then

u14= u14+0.5

else

u14= u14+0.0

endif

93 continue

103 continue

u15=0

do 104 i=1,210

do 94 j=1,25

if (a1(i)<a5(j)) then

u15 = u15+1

elseif (a1(i).eq.a5(j)) then

u15= u15+0.5

else

u15= u15+0.0

endif

94 continue

104 continue

u23=0

do 105 i=1,101

do 95 j=1,98

if (a2(i)<a3(j)) then

u23 = u23+1

elseif (a2(i).eq.a3(j)) then

u23= u23+0.5

else

u23= u23+0.0

endif

95 continue

105 continue

u24=0

do 106 i=1,101

do 96 j=1,45

if (a2(i)<a4(j)) then

u24 = u24+1

elseif (a2(i).eq.a4(j)) then

u24= u24+0.5

else

u24= u24+0.0

endif

96 continue

106 continue

u25=0

do 107 i=1,101

do 97 j=1,25

if (a2(i)<a5(j)) then

u25 = u25+1

elseif (a2(i).eq.a5(j)) then

u25= u25+0.5

else

u25= u25+0.0

endif

97 continue

107 continue

u34=0

do 108 i=1,98

do 98 j=1,45

if (a3(i)<a4(j)) then

u34 = u34+1

elseif (a3(i).eq.a4(j)) then

u34= u34+0.5

else

u34= u34+0.0

endif

98 continue

108 continue

u35=0

do 109 i=1,98

do 99 j=1,25

if (a3(i)<a5(j)) then

u35 = u35+1

elseif (a3(i).eq.a5(j)) then

u35= u35+0.5

else

u35= u35+0.0

endif

99 continue

109 continue

u45=0

do 110 i=1,45

do 100 j=1,25

if (a4(i)<a5(j)) then

u45 = u45+1

elseif (a4(i).eq.a5(j)) then

u45= u45+0.5

else

u45= u45+0.0

endif

100 continue

110 continue

U=u12+u13+u14+u15+u23+u24+u25+u34+u35+u45

22 format(2x,'u12=',f10.3)

23 format(2x,'u13=',f10.3)

24 format(2x,'u14=',f10.3)

25 format(2x,'u15=',f10.3)

26 format(2x,'u23=',f10.3)

27 format(2x,'u24=',f10.3)

28 format(2x,'u25=',f10.3)

29 format(2x,'u34=',f10.3)

30 format(2x,'u35=',f10.3)

31 format(2x,'u45=',f10.3)

32 format(2x,'U=',f10.3)

write(16,22)u12

write(16,23)u13

write(16,24)u14

write(16,25)u15

write(16,26)u23

write(16,27)u24

write(16,28)u25

write(16,29)u34

write(16,30)u35

write(16,31)u45

write(16,32)U

end

Обработав таким образом результаты наблюдений, получаем значения статистики Манна – Уитни:

u12= 8441,000

u13= 7793,500

u14= 3172,500

u15= 888,000

u23= 4637,500

u24= 1928,500

u25= 648,500

u34= 2054,500

u35= 805,500

u45= 411,000

Подставив в формулу полученные значения получаем результат для статистики Джонхиера:

J= 30780,5

Значение статистики Джонхиера очень велико, что свидетельствует в пользу гипотезы Н₁ об упорядоченном влиянии фактора , в нашем случае – зависимости УК в крови больных СКВ от степени поражения почек. То есть мы снова подтвердили результат, полученный ранее.

Но поскольку предложенные выборки велики, то можно проверить полученный результат, подсчитав приближенную статистику J* для большой выборки [4].

Вычислим величину:

J^* = ( J – MJ ) /

Где MJ = ( N² - ) , DJ = ( N² ( 2N + 3 ) - ( 2n_j + 3))

В результате вычислений мы получаем значение J^* = 5,9.

Вывод. Полученный результат превышает критическое значение, что позволяет отклонить гипотезу Н₀, и принять гипотезу Н_1. Таким образом мы подтверждается результат, полученный с помощью статистики J – влияние фактора в предложенных выборках упорядоченно.

§4. Вывод

Целью данной курсовой работы был анализ зависимости между УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек. Исходные данные были подвергнуты методам статистического анализа, независимым между собой. Результатом является доказательство наличия зависимости УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек в каждом из использованных методов, что позволяет сформулировать окончательный вывод : УК в крови больных СКВ зависит от степени тяжести поражения почек, причем УК уменьшается с возрастанием степени тяжести поражения почек.

 

§5. Список литературы

1.         Гублер Е.В. Информатика в патологии, клинической медицине и педиатрии. –Л.: Медицина, 1990.-176с.

2.         Кузин Ф.А. Кандидатская диссертация . Методика написания, правила оформления и порядок защиты. Практическое пособие для аспирантов и соискателей ученой степени. –5-е изд., доп.-М.:Ось 89, 2000.-224с.

3.         Энциклопедический словарь медицинских терминов: В 3-х томах. Около 60000 терминов.-М.: Советская энциклопедия, - Т.2. 1983.-448с.

4.         Тюрин Ю.Н. , Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере .-М.: Инфра – М., 1982.-528с.

5.         Холлендер М., Вулф Д.А. Непараметрические методы статистики.-М.: Финансы и статистика., 1983.-518с.

6.         Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики.-М.: Финансы и статистика., 1982.-344с.

7.         Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей.-М.: Финансы и статистика,-Т.2. 1985.-488с.

8.         Шишкин В.И., Кудрявцева Г.В. Регуляторная роль функциональной системы "Комплемент – простагландиды – пентозофосфатный путь обмена углеводов" в патогенезе основных ревматологических заболеваний.-СПб.: НИИХ. 2002.-38с.

9.         Колмогоров А.Н. Теория вероятности и математическая статистика.-М.:Наука.,1986.-535с.

10.       Фишер Р.А. Статистические методы для исследователей.-М.:Госстатиздат.,1982.-344с.

11.       Фишер Ф.П., Суиндл Д.Ф. Системы программирования.-М.:Статистика.,1971.-606с.