Економіко-математичне моделювання та прогноз характеристик цінних паперів

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Економіко-математичне моделювання та прогноз характеристик цінних паперів

Економіко-математичне моделювання

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук

Донецьк - 2008

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми дослідження. Трансформація суспільно-економічної системи в Україні і, в першу чергу, зміна форми власності, обумовили випуск великої кількості акцій і, відповідно, їх обіг. Дефіцит обігових коштів підприємств, державного і місцевих бюджетів визначив необхідність випуску й обігу облігацій як одного з інструментів позикового капіталу. Аналіз і прогноз характеристик випуску й обігу цих цінних паперів, що визначається особливостями економіки країни та динамікою розвитку вітчизняного фондового ринку, є актуальним для України.

В Україні існує організований і неорганізований ринок, здійснюється біржова і позабіржова, первинна і вторинна торгівля активами. Подібної організації обігу цінних паперів сьогодні неможливо уявити без інструментарію прийняття оптимальних рішень при укладанні угод. Молодість вітчизняного фондового ринку проявляється у відсутності прозорості характеристик емітентів цінних паперів, малих обсягах фактичного матеріалу, що необхідно для оцінки їхнього рейтингу і надійності. Встановлена система реєстрації власників цінних паперів має високий ступінь інерції. На початковій стадії знаходиться використання різних індикаторів фондового ринку (рейтингів, індексів). Сховані інфляційні процеси, багатозначність і нестійкість системи оподаткування, залежні від зовнішніх позик, регресуючі тенденції господарської діяльності емітентів цінних паперів ускладнюють оперативну роботу інвесторів на фондовому ринку.

Аналіз особливостей випуску й обігу цінних паперів в Україні обумовив актуальність задач економіко-математичного моделювання характеристик цінних паперів. До цих задач належить розробка моделей та алгоритмів оцінювання доходності від придбання або продажу різноманітних активів, із компонуванням портфелів у ритмі з торгами, на підставі статистичної обробки поточної інформації та інформації, що накопичується, про котування цінних паперів. Моделі та алгоритми прогнозу дозволять емітентам оцінювати характеристики випуску, інвесторам - визначати стратегію і тактику біржових та позабіржових операцій купівлі-продажу, створювати АРМ емітенту й АРМ інвестора.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано в рамках держбюджетної теми Донецького державного університету “Господарський механізм виробничих систем” (номер державної реєстрації - 01920085513) і “Проблеми обліку, аналізу і аудиту в умовах переходу до ринкових відносин” (номер державної реєстрації 0194U0112757).

Предметом дослідження в дисертаційній роботі є процеси і закономірності розвитку фондового ринку в Україні, а також моделювання кількісних характеристик активів (облігацій і акцій) і їх динамічного компонування у портфель цінних паперів. Об'єктом дослідження є операції емісії й обігу, що здійснюють емітенти та інвестори на фондовому ринку.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка економіко-математичного інструментарію оцінки та прогнозу характеристик цінних паперів на первинному і вторинному ринках в умовах переходу економіки до ринкових відносин.

Для досягнення мети дослідження поставлено і вирішено такі задачі:

·           проведено аналіз характеристик цінних паперів, показників їхньої емісії й обігу;

·           досліджено і проаналізовано умови застосування існуючих сучасних методик і моделей прогнозу характеристик цінних паперів;

·           сформовано концепцію економіко-математичного моделювання характеристик облігацій і акцій;

·           розроблено економіко-математичні моделі оцінювання ризикових і безризикових активів та їх портфелів;

·           синтезовано алгоритми прогнозу і управління портфелями цінних паперів;

·           проведено кількісне дослідження й аналіз моделей і алгоритмів.

Теоретична і методологічна основа дослідження. В основі дослідження лежать методичні і теоретичні розробки зарубіжних і вітчизняних вчених, присвячені прогнозуванню характеристик, емісії та обігу цінних паперів; законодавчі і нормативні акти України, що визначають формування і функціонування ринку цінних паперів. При вирішенні задач, поставлених у дисертації, використовувалися методи аналізу і синтезу, теорії ймовірностей і математичної статистики, методи оптимізації, імітаційного моделювання та теорії рядів. При аналізі характеристик об'єкта і предмета дослідження використовувалися фактичні дані по емісії та обігу акцій і облігацій за період з 2002 по 2007 рр., отримані з різних українських та закордонних джерел.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертації здійснено постановку і вирішення задач розробки інструментарію прийняття оптимальних рішень операторами фондового ринку на підставі узагальнення і розвитку сучасних методик, адаптованих до умов фондового ринку України. При цьому отримано такі нові наукові результати:

1. Синтезовано моделі прогнозу вартості купонних та безкупонних облігацій в умовах жорсткого оподаткування й дисконтування на ринкову процентну ставку, згідно з якою здійснюється оцінка доходності в будь-який наперед заданий період, що дозволяє інвестору провести операції з найбільшою ефективністю.

2. Розроблено моделі прогнозу вартості і доходності облігацій в умовах неплатежів без прив'язки до рейтингів облігацій провідних емітентів, які адаптовано до умов вітчизняного фондового ринку. Ці моделі дозволяють інвестору, маючи статистичні характеристики облігацій, прогнозувати гарантований доход по них із заданим рівнем ризику.

3. Розроблено економіко-математичні моделі прогнозу характеристик емісій через введену функцію корисності, яка зв'язує обсяг інвестицій та обсяг емісії облігацій, що планується. Ці моделі дозволяють емітенту розраховувати кількість облігацій різних видів, обсяг їх випуску і загальний обсяг емісії, що передбачає максимальне її розміщення.

4. Модифіковано сучасні критерії (правила) оцінювання портфеля облігацій і розроблено відповідні моделі оцінки доходності портфелів різного компонування, що дозволяє інвестору оперативно варіювати складовими портфеля облігацій, отримуючи прибуток не нижче гарантованого.

5. Синтезовано моделі еволюції цін і компонування портфеля акцій, що дає можливість динамічного варіювання активами портфелів, забезпечуючи прибуток не нижче заданого рівня надійності.

Практична значимість отриманих результатів. Розроблені моделі та алгоритми дозволяють емітентам розраховувати кількість облігацій, що випускаються, періодичність купонних платежів і терміни погашення, на підставі чого може здійснюватися емісія, що відповідає попиту на дані цінні папери. Синтезовані моделі й алгоритми дозволяють інвесторам ефективно оцінювати облігації, здійснювати компонування активів у портфель і управління портфелем таким чином, щоб реальний прибуток від володіння таким портфелем або від операцій купівлі-продажу окремих його активів, був би не нижче розрахункового в умовах неплатежів і жорсткого оподаткування. Розробки можуть бути використані при здійсненні операцій на первинному і вторинному ринках в умовах біржової та позабіржової торгівлі цінними паперами.

Отримані в дисертації результати використано в роботі АКБ “Новий”. Реальний економічний ефект від упровадження результатів, отриманий за рахунок збільшення прибутку при операціях із цінними паперами, склав 240000 грн.

Апробація роботи. Основні положення дисертації обговорювались і доповідались на конференціях:

·           вузівській науковій конференції професорсько-викладацького складу за підсумками науково-дослідної роботи: економічні науки. Донецьк, ДонДУ, 2005 р;

·           VII науково-практичній конференції “Сучасний фондовий ринок України: розвиток законодавчої бази та проблеми оподаткування”, с.м.т. Партеніт, 5-8 червня 2005 року. Організатор: Українська асоціація інвестиційного бізнесу;

·           IX науково-практичній конференції “Інвестиційний клімат: шляхи покращення”, с.м.т. Партеніт, 4-7 червня 2006 року. Організатори: Державна комісія з цінних паперів і фондового ринку, Українська асоціація інвестиційного бізнесу, Професійна асоціація реєстраторів і депозитаріїв;

·           науково-практичній конференції “Інвестор і емітент: кроки назустріч”, м. Київ, 23-24 лютого 2007 року. Організатори: Українська асоціація інвестиційного бізнесу, Агентство України по керуванню державними корпоративними правами.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 11 наукових роботах загальним обсягом 4,1 д.а., із яких автору належить 3,2 д.а.

Обсяг і структура роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 150 найменувань, містить 10 таблиць, 15 додатків. Роботу викладено на 189 сторінках, матеріал дисертації ілюструють 65 рисунків.

Основні положення дисертаційної роботи

У вступі обґрунтовано актуальність, предмет і мету дослідження, наукову новизну результатів, практичну цінність дослідження, пропозицій і рекомендацій.

У першому розділі “Концептуальні аспекти обігу цінних паперів” визначено місце ринку цінних паперів у структурі сучасної ринкової економіки. Проведено аналіз характеристик цінних паперів та їх обігу в Україні. Досліджено існуючі методи і методики прогнозування характеристик цінних паперів та обґрунтовано необхідність їх подальших удосконалень.

Господарське життя України, як і інших країн постсоціалістичної співдружності в умовах зміни форм власності, зазнає динамічних коливань з наростаючою амплітудою економічних зрушень. Вирівнювання цих коливань залежить від законодавчої бази, виконавчої структури та організації інвестиційного процесу. Домінуючою складовою цього процесу є організація фондового ринку.

Регулювання ринку цінних паперів в Україні сьогодні здійснюється як державними органами, так і організаціями учасників фондового ринку, які саморегулюються.

До групи законодавчих актів, якими регулюються відносини на українському фондовому ринку, варто віднести Закони України “Про власність”, “Про цінні папери і фондову біржу”, “Про господарські товариства”, “Про заставу”, “Про приватизаційні папери”, “Про банки та банківську діяльність”. Більш системна і цілеспрямована робота в напрямку розвитку законодавства України в сфері цінних паперів почалась після прийняття Указу Президента України від 12.06.04 р. № 446/5 “Про державну комісію з цінних паперів і фондового ринку” (ДКЦПФР) і Закону України від 30.10.04 р. “Про державне регулювання ринку цінних паперів України”. З прийняттям цього закону було створено законодавчу базу регулювання фондового ринку, визначено шляхи і засоби цього регулювання, надано широкі повноваження для здійснення єдиної державної політики на ринку цінних паперів відповідному державному органу - Державній комісії з цінних паперів і фондового ринку (ДКЦП).

Емітентами цінних паперів в Україні є: Уряд України, державні підприємства, що перетворюються в акціонерні товариства, комерційні банки, діючі акціонерні товариства, комерційні структури, органи місцевого самоврядування, а також фізичні особи.

Обсяг випуску вітчизняних цінних паперів динамічно зростав і на кінець 2006 року Державною комісією з цінних паперів і фондового ринку було зареєстровано емісій цінних паперів на загальну суму більш, ніж 24,5 млрд. грн. (без урахування державних цінних паперів), у тому числі: акції - 24,162 млрд. грн.; облігації підприємств - 0,137 млрд. грн.; облігації місцевих позик - 0,0005 млрд. грн.

Організаційно оформлений ринок у нашій країні представлено біржами і торгово-інформаційними системами (ТІС).

На сьогодні в Україні зареєстровано 6 фондових бірж, у тому числі Донецька фондова біржа (ДФБ).

Загальний обсяг торгів на організаційно оформлених ринках протягом 2002-2005 рр. мав тенденцію до зростання. Так, у 2004 році він склав 48,2 млн. грн., у 2005 році - 761, 9 млн. грн., а в 2006 році знизився до 688,5 млн. грн., тобто на 10%, на що вплинула осіння фінансова криза.

В Україні, на відміну від розвинутих країн, превалює позабіржовий неорганізований ринок. Це результат приватизаційних процесів попередніх років. На неорганізований позабіржовий ринок у 2006 році припадало близько 89% від загального обсягу угод по цінних паперах.

На даний момент на фондовому ринку України здійснюють свою діяльність 1630 професійних учасників фондового ринку.

У дисертаційній роботі розглянуто особливості обігу двох видів цінних паперів: облігацій і акцій. На фондових ринках країни мають обіг три види облігацій: державні, муніципальні, облігації підприємств. Державні облігації підрозділяються на облігації внутрішньої (ОВДП) і зовнішньої позики (ДОЗП).

Першу муніципальну позику в Україні було здійснено у 2003 році в місті Києві. За період 2003-2005 рр. рішення про випуск облігацій місцевих позик на загальну суму 400 млн. грн. були прийняті в 11 регіонах. Фактично ж облігаційні позики були здійснені в 10 регіонах на загальну суму 222 млн. грн. За станом на 01.01.2006 року в обігу знаходилося муніципальних облігацій на суму 192,5 млн. грн. У 2006 році Державна комісія з цінних паперів і фондового ринку зареєструвала одну емісію облігацій місцевої позики обсягом 0,5 млн. грн.

Відсутність активного обігу облігацій місцевої позики на вторинному ринку пояснюється тим, що учасники фондового ринку не мають централізованого доступу до проспектів емісії муніципальних облігацій і інформації про кількісні результати проведення емісії.

Акції у сучасній практиці фондового ринку України проходять в основному через первинний ринок на біржових торгах, а вторинний ринок здійснює обіг цих активів через позабіржову фондову торговельну систему (ПФТС) і на позабіржовому неорганізованому ринку. Існуюча інформація щодо котування акцій не дозволяє зробити висновки щодо доходністі цих активів, а вторинний їх обіг відбувається через операторів, що володіють, найчастіше, конфіденційною інформацією про економічний стан емітентів, або про перспективи, що намічаються.

З вищевикладеного можна зробити висновок: фондовий ринок України регулюється законодавчими і нормативними актами на сучасній основі; ринок має біржову і позабіржову складові; активи облігацій представлено державними облігаціями внутрішньої і зовнішньої позики та муніципальними облігаціями; інформація про котування є неповною і поданою у перекрученому вигляді, що робить ринок непрозорим і не дає потенційним інвесторам можливості адекватно оцінити ситуацію.

У роботі розглянуто характеристики двох видів цінних паперів: облігацій та акцій.

Облігація має кілька якісних параметрів, визначення яких пов'язано з її номінальною вартістю. Поряд із різницею в цінах придбання, продажу і погашення облігацій складовою частиною доходу для інвестора будуть купонні виплати або купонний доход по облігаціях.

Період обігу облігацій і розмір купонного проценту мають прямо пропорційну залежність: чим більше термін обігу облігації, тим вище розмір купонного проценту для мінімізації інфляційного впливу. Крім того, купонний процент у вигляді плати за надану позику буде ще залежати і від оцінки як самого емітенту, так і його паперів.

Курс акції (ціна) визначається в першу чергу її цінністю (вартістю) для емітента та інвестора.

Цінність для інвестора полягає в тому, що цінний папір приносить певний доход. Цей доход може реалізуватися як при виплаті процентів і дивідендів, так і при зростанні курсу на біржі або позабіржовому ринку. Загальний рівень доходу порівнюється з ризиком, що несе власник цінного паперу. Це співвідношення використовується для зіставлення з доходністю і ризикованістю розташування грошей у банку.

Попит на цінні папери з боку інвестора формується згідно з прибутковістю, ризикованістю та ліквідністю розташування в них коштів.

На підставі аналізу характеристик цінних паперів зроблено такі висновки:

·           емісія облігацій повинна враховувати обсяги можливих інвестицій, ринкову процентну ставку на капітал, темпи інфляції, що визначають ступінь дисконтування вартості планованої облігації й обсягу випуску; цим же чинникам підпорядковані прогнози періодичності і проценту купонних виплат, терміни погашення, доходність до погашення і номінальна вартість облігації, тобто сукупність показників, що визначають інтерес інвесторів до цих активів;

·           ефективний обіг облігацій визначається доходністю до погашення, дисконтованої щодо процентної ставки на капітал з оцінкою ризику купонних неплатежів;

·           обіг акцій з оперативним компонуванням портфеля активів потребує оцінки ризику, пов'язаного зі зміною процентної ставки на капітал, відносної доходності, оцінки активів і кількості акцій цих активів у портфелі таким чином, щоб реальний доход був не нижче прогнозованого граничного значення.

Дослідження існуючих методів і економіко-математичних моделей характеристик цінних паперів і особливостей їх застосування в умовах України, привели до таких висновків:

·           існуючі моделі прогнозу ринкової вартості облігацій дозволяють знаходити тільки зсунуті оцінки;

·           прогнози по моделях дисконтування на різного роду процентні ставки (ринкова, спот-ставка) поступаються відповідним експертним оцінкам;

·           оцінка дисконтованої ринкової вартості і доходності купонних облігацій у періоди міжкупонних виплат провадиться ітеративним шляхом;

·           прогнози ризику купівлі-продажу облігацій, що мають різні ймовірності здійснення купонних платежів, ґрунтуються на зіставленні будь-яких активів з активами головних корпорацій, які мають встановлений рейтинг, що для поточних умов фондового ринку України не є прийнятним;

·           розрахунок обсягів емісії, періодичность купонних виплат і погашення державних облігацій і облігацій місцевого значення не враховують ринкового балансу з можливими інвестиціями;

·           економіко-математичні моделі формування і управління портфелем облігацій спираються на зіставлення вартостей постійної складової портфеля активів і складової, що оновлюється, вони не формалізовані для прогнозів прибутку та доходності багатоваріантних активів і їх складових;

·           моделі прогнозу і управління портфелем акцій, розроблені відповідно до методик Г. Марковіца і Дж. Тобіна, не дозволяють одержувати переконливі та незсунуті оцінки прогнозу прибутку і доходності по операціях із цінними паперами для умов фондового ринку України, що має високу амплітуду і частоту коливань котувань акцій;

·           аналіз особливостей фондового ринку України, обігу ризикових і безризикових активів, існуючих методик і моделей прогнозу вартості та управління ризиковими і безризиковими активами показує, що актуальною є розробка моделей і алгоритмів, які повинні бути інструментом емітентів і інвесторів, які здійснюють операції з цінними паперами на первинному і вторинному, біржовому і позабіржовому фондових ринках;

·           при випуску (емісії) цінних паперів - облігацій і акцій, емітенту необхідно мати математичні моделі, що дозволяють прогнозувати ціну (вартість) паперів, що випускаються в обіг з визначеним номіналом, таким чином, щоб задовольнити попит на ринку і не опинитися у збитку; в свою чергу, інвесторам, що здійснюють операції купівлі-продажу цінних паперів, необхідно мати інструмент прогнозу ціни купівлі-продажу цінних паперів, їх доходності і ризику вкладень капіталу у ці активи й ступінь ризику портфеля цінних паперів, що формується.

У другому розділі “Розробка економіко-математичних моделей прогнозу характеристик цінних паперів” вирішуються задачі економіко-математичного моделювання вартості і попиту облігацій різноманітних видів, як інструменту емітента, а також синтезування моделей оцінки доходності купонних облігацій в умовах неплатежу; моделювання прогнозу доходності портфеля облігацій різних видів з оцінкою ризику, обумовленою нестійкістю процентних ставок на капітал; моделювання прогнозу вартості і доходності портфеля акцій як інструменту інвестора.

У дисертаційній роботі проведено адаптацію відомих моделей розрахунку вартості безкупонної і купонної облігацій щодо особливостей національної економіки.

Виходячи з нестаціонарних умов оподатковування на доход і приріст капіталу для України синтезовано моделі прогнозу вартості облігації з урахуванням оподаткування:

- для купонної облігації:

 

G =;

- для купонної облігації, що має р купонних платежів за період:

,

де G - вартість облігації;

q - ставка податку на приріст капіталу;

r - ринкова процентна ставка (доходность);

n - дисконтний множник;

N - номінал облігації;

g - купонна ставка;

l - ставка податку на купонний прибуток;

- коефіцієнти зведення;

n – термін до погашення.

Інколи інвестору необхідно оцінити доходність купонної облігації з урахуванням оподаткування при ринковій вартості облігації, відмінної від номіналу. При цьому модель доходності окремої облігації має вигляд:

r =  +.

В умовах фінансового ринку України розроблено та адаптовано модель вартості облігації для загального випадку з урахуванням оподаткування:

G= B+,

де В= - дисконтований на ринкову процентну ставку номінал;

р - періодичність купонних виплат;

Ці моделі можуть бути використані як емітентами при випуску різних видів облігацій, для визначення їх вартості на первинному ринку, так і інвесторами, для прогнозу доходності облігацій, які вони планують купити.

Розроблені моделі прогнозу вартості і доходності облігацій не враховують ризику неплатежів, ймовірність якого збільшується в міру віддаленості від дати емісії. Крім того, існуючі у світовій практиці моделі не дозволяють коректно оцінити очікуваний доход в умовах неплатежів із різним рівнем надійності емітенту.

Тому актуальною є розробка моделей, що прогнозують доходність облігацій при різному ступені ризику неплатежів за відповідні періоди.

В роботі вирішуються три задачі прогнозу гарантованого доходу від облігацій:

1) при заданому рівні ризику і ймовірностях виплат (загальний випадок);

2) при надійності емітенту більш 50% (по усіх виплатах);

3) для випадку надійності емітенту більш 50% (по усіх виплатах) і стартової надійності 100% (по першій виплаті).

Використовуючи властивості усталеності логарифмічної функції відношення вартостей, відомі у світовій практиці моделі прогнозу ціни облігації перетворено до вигляду:

 

={ln -ln},

де - рівень ризику;

- гарантійні емітентом виплати по облігації по закінчені терміну ії обігу.

р_i, р_n - ймовірності купонних виплат;

с_k – купонні виплати.

Ця модель дозволяє прогнозувати гарантований доход від облігацій із рівнем ризику, що задається інвестором, і статистичними оцінками ймовірностей виплат по конкретних облігаціях (загальний випадок).

Для емітенту з рівнем ймовірності виплат більш 50% по усіх виплатах модель ціни облігації має вигляд:

 

.

Якщо стартові купонні виплати емітенту дорівнюють 100%, розрахунки здійснюються по моделі:

.

Ці моделі дають можливість інвестору, що задає рівень надійності оцінювання, здійснювати ризикові операції з доходом не нижче гарантованого.

На фондовому ринку встановлюється поточна динамічна відповідність операцій купівлі-продажу, попиту-пропозиції, тобто економічні взаємовідносини емітент-інвестор. Для прибуткової емісії облігацій необхідно визначити закономірності і розробити математичні моделі прогнозу попиту на облігації, що враховують ці відповідності.

Рішення цієї задачі ґрунтується на тому, що перевага визначається “корисністю”, яка може бути виміряна деякою нелінійною функцією , де х - кількість облігацій різного виду. Використовуючи необхідні умови існування екстремуму цієї функції, отримано систему алгебраїчних рівнянь, яка дозволяє розраховувати для кожного виду облігацій:

- обсяг емісії х_m

 

G _m=,

де  - початковий капітал інвестора на даний момент часу;

,  - вагова функція, відповідно, m-го та k-го номіналу;

п – кількість потенційних інвесторів;

- кількість облігацій

х_m=.

Тоді вартість всієї емісії різних видів облігацій складає:

.

Використання цих моделей доцільно для прогнозу як державних, так і муніципальних облігацій, при наявності оцінок фінансових можливостей потенційних інвесторів.

Інвестори постійно змінюють свої активи, продаючи частину з них і закуповуючи частину інших, тобто роблять операції купівлі-продажу пакетів облігацій з метою одержання прибутку за рахунок динаміки ціноутворення активів. У зв'язку з тим, що одержання аналітичним шляхом єдиних рішень задачі обміну є складним, розглядаються статистичні і вартісні оцінки співвідношення активів у портфелі, які повинні забезпечувати прибуток від операцій варіювання активами не нижче якогось граничного значення.

У світовій практиці оперують трьома рівнями (критеріями) оцінювання:

1. Нульовий рівень. Він передбачає рівність вартостей активів, що оновлюються і що лишаються в портфелі.

2. Перший рівень. Якщо прогнозоване формування активів портфеля задовольняє критерію нульового рівня для різних компонувань портфеля (багатозначність задачі), то ці прогнози оцінюються по дюраціям різних компонувань.

3. Другий рівень. Якщо прогнозоване формування активів портфеля задовольняє критеріям нульового і першого рівнів для різних компонувань портфеля, то прогнози оцінюються по розкиду (дисперсії) вартості активів портфеля.

У дисертаційній роботі ці критерії (правила) модифіковано у вигляді:

1. Нульовий рівень.

 

(r) = (r),

де k - індекс активів, що лишаються;

l - індекс активів, що замінюються;

t - момент оцінювання;

Z(r) - вартість портфеля активів.