Економіко-математичні методи і алгоритми

Завдання 1

У наведеній далі задачі виконати такі дії:

1.1. записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;

1.2. симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх економічний аналіз;

1.3. визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;

1.4. обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;

1.5. розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.

Підприємство виготовляє чотири види продукції, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрати усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції за видами				Запас ресурсу
	А	В	С	Д
1	2	1	1	1	280
2	1	0	1	1	80
3	1	5	0	0	250
Ціна одиниці продукції (ум. од.)	4	3	6	7

Розв'язання:

1.1. Математичні моделі прямої та двоїстої задач мають такий вигляд:

де  – обсяг виробництва продукції го виду ();

де  – оцінка одиниці го виду ресурсу ().

Розв’яжемо пряму задачу симплекс-методом:

Базис	Сбаз	План	4	3	6	7	0	0	0
			х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
х5	0	280	2	1	1	1	1	0	0	140
х6	0	80	1	0	1	1	0	1	0
х7	0	250	1	5	0	0	0	0	1	250
		0	-4	-3	-6	-7	0	0	0
х1	4	200	2	1	1	1	1	0	0
х6	0	80	1	0	1	1	0	1	0
х7	0	250	0	1	-4	0	-3	0	1	250
		560	0	-3	10	2	4	0	0

Остання симплекс-таблиця, що відповідає оптимальному плану поставленої задачі, має вигляд:

Базис	Сбаз	План	4	3	6	7	0	0	0
			х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
х2	3	50	1	0	-1	1	0	1	1/5
х5	0	150	0	0	2	1	1	-1	-1/5
х4	7	80	0	1	3/5	0	0	4/7	0
		710	3,6	0	1	0	0	7	0,6

З наведеної симплекс-таблиці маємо:

;

min F = 80*7 +250*0,6 = 710 = max Z.

Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише двох видів продукції А і В у кількості відповідно 50 та 80 од. Випуск продукції А та С не передбачається (х₁ = х₃ = 0). Додаткові змінні х₅, х₆, х₇ характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки х₅ = 150, то перший ресурс використовується у процесі виробництва не повністю, а другий та третій ресурси – повністю (х₆ = х₇ =0). За такого оптимального виробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 710 ум. од.

План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. Так, y₂ = 7 та y₃ = 0,6 відмінні від нуля, а ресурси 2 та 3 використовуються повністю. Двоїста оцінка y₁ = 0 і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному плані виробництва. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: min F = 710 ум. од.

Статус ресурсів прямої задачі можна визначити за допомогою додаткових змінних прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо відмінна від нуля – ресурс недефіцитний. В даному випадку другий та третій ресурси є дефіцитними, а перший ресурс не є дефіцитним.

Якщо запас другого дефіцитного ресурсу збільшити на 1 ум. од. , то цільова функція max Z збільшиться за інших однакових умов на y₂ = 0,1 ум. од. і становитиме max Z = 710,1 ум. од. Елементи стовпчика «х₆» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці y₂ дають інформацію про зміни в оптимальному плані. У новому оптимальному плані значення змінної х₄ збільшиться на 1, значення х₅ збільшиться на 1,3, а значення х₂ зменшиться на 2,3. Нові оптимальні значення змінних будуть такими: . Отже, збільшення запасу другого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов приводить до зростання випуску продукції Д та зменшення випуску продукції В, а обсяг використання першого ресурсу збільшиться. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства буде max Z = 710,1, тобто зросте на y₂ = 0,1.

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшиться на одиницю . Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х₇» останньої симплекс-таблиці, можна записати новий оптимальний план: , max Z = 710 + 0,6 = 710,6 ум. од.

Отже, дохід підприємства збільшиться на 0,6 ум. од. за рахунок збільшення виробництва продукції В на 0,20 од.

Розрахуємо інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, в межах яких двоїсті оцінки залишаються на рівні оптимальних значень.

Приріст (зміну) запасу ресурсу 2 позначимо . Тоді новий обсяг ресурсу становитиме  і новий оптимальний план

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, – це умова невід’ємності, тобто

.

Це означає, що коли запас ресурсу 2 збільшиться на 150 од. або зменшиться на 80 од., то оптимальною двоїстою оцінкою ресурсу 2 залишиться y₂ = 7. Отже, запас ресурсу 2 може змінюватися у межах

,

.

Згідно з цим максимально можливий дохід підприємства перебуватиме в межах

,

.

Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки дефіцитного ресурсу 3:

.

Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 750 од. або зменшиться на 250 од., то двоїста оцінка y₃ = 0,6 цього ресурсу залишиться оптимальною. Згідно з цим можливий дохід підприємства та оптимальний план виробництва продукції перебуватимуть у межах

,

Оцінка рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, виконується за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, що характеризують кожний вид продукції.

Підставимо  у систему обмежень двоїстої задачі. Якщо вартість ресурсів на одиницю продукції (ліва частина) перевищує ціну цієї продукції (права частина), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.

Отже, продукція В і Д рентабельна, а продукція А, С нерентабельна.

Завдання 2

На ринку дві корпорації-конкуренти намагаються стати лідерами й контролювати всі дрібні компанії у своїй галузі. Невелика фірма внаслідок такої політики може опинитися в складі однієї з конкуруючих корпорацій, що може привести їй як зиск, так і збитки. З метою протистояння корпораціям фірма може ініціювати створення асоціації дрібних підприємств своєї галузі, що може забезпечити як великий успіх, так і цілковиту невдачу від цієї діяльності. Відповідна інформація наведена в таблиці. Який з трьох варіантів обрати фірмі?

Варіант злиття	Успіх		Невдача
	імовірність	прибуток, млн. грн.	імовірність	прибуток, млн. грн.
1 корпорація	0,6	9,5	0,4	-2
2 корпорація	0,7	13,5	0,3	-2
Створення асоціації	0,3	26,5	0,7	-2,5

Розв’язання:

Визначимо очікуване значення прибутку для кожного варіанту злиття: