Завдання 1

У наведеній далі задачі виконати такі дії:

1.1. записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;

1.2. симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх економічний аналіз;

1.3. визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;

1.4. обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;

1.5. розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.

Підприємство виготовляє чотири види продукції, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрати усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Ресурс Норма витрат на одиницю продукції за видами Запас ресурсу
А В С Д
1 2 1 1 1 280
2 1 0 1 1 80
3 1 5 0 0 250
Ціна одиниці продукції (ум. од.) 4 3 6 7

Розв'язання:

1.1. Математичні моделі прямої та двоїстої задач мають такий вигляд:


де  – обсяг виробництва продукції го виду ();

де  – оцінка одиниці го виду ресурсу ().

Розв’яжемо пряму задачу симплекс-методом:

Базис

Сбаз

План 4 3 6 7 0 0 0

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х5

0 280

2

1 1 1 1 0 0 140

х6

0 80 1 0 1 1 0 1 0

х7

0 250 1 5 0 0 0 0 1 250

0 -4 -3 -6 -7 0 0 0

х1

4 200 2 1 1 1 1 0 0

х6

0 80 1 0 1 1 0 1 0

х7

0 250 0

1

-4 0 -3 0 1 250

560 0 -3 10 2 4 0 0

Остання симплекс-таблиця, що відповідає оптимальному плану поставленої задачі, має вигляд:


Базис

Сбаз

План 4 3 6 7 0 0 0

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х2

3 50 1 0 -1 1 0 1 1/5

х5

0 150 0 0 2 1 1 -1 -1/5

х4

7 80 0 1 3/5 0 0 4/7 0

710 3,6 0 1 0 0 7 0,6

З наведеної симплекс-таблиці маємо:

;

min F = 80*7 +250*0,6 = 710 = max Z.

Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише двох видів продукції А і В у кількості відповідно 50 та 80 од. Випуск продукції А та С не передбачається (х1 = х3 = 0). Додаткові змінні х5, х6, х7 характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки х5 = 150, то перший ресурс використовується у процесі виробництва не повністю, а другий та третій ресурси – повністю (х6 = х7 =0). За такого оптимального виробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 710 ум. од.

План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. Так, y2 = 7 та y3 = 0,6 відмінні від нуля, а ресурси 2 та 3 використовуються повністю. Двоїста оцінка y1 = 0 і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному плані виробництва. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: min F = 710 ум. од.

Статус ресурсів прямої задачі можна визначити за допомогою додаткових змінних прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо відмінна від нуля – ресурс недефіцитний. В даному випадку другий та третій ресурси є дефіцитними, а перший ресурс не є дефіцитним.

Якщо запас другого дефіцитного ресурсу збільшити на 1 ум. од. , то цільова функція max Z збільшиться за інших однакових умов на y2 = 0,1 ум. од. і становитиме max Z = 710,1 ум. од. Елементи стовпчика «х6» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці y2 дають інформацію про зміни в оптимальному плані. У новому оптимальному плані значення змінної х4 збільшиться на 1, значення х5 збільшиться на 1,3, а значення х2 зменшиться на 2,3. Нові оптимальні значення змінних будуть такими: . Отже, збільшення запасу другого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов приводить до зростання випуску продукції Д та зменшення випуску продукції В, а обсяг використання першого ресурсу збільшиться. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства буде max Z = 710,1, тобто зросте на y2 = 0,1.

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшиться на одиницю . Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х7» останньої симплекс-таблиці, можна записати новий оптимальний план: , max Z = 710 + 0,6 = 710,6 ум. од.

Отже, дохід підприємства збільшиться на 0,6 ум. од. за рахунок збільшення виробництва продукції В на 0,20 од.

Розрахуємо інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, в межах яких двоїсті оцінки залишаються на рівні оптимальних значень.

Приріст (зміну) запасу ресурсу 2 позначимо . Тоді новий обсяг ресурсу становитиме  і новий оптимальний план

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, – це умова невід’ємності, тобто

.

Це означає, що коли запас ресурсу 2 збільшиться на 150 од. або зменшиться на 80 од., то оптимальною двоїстою оцінкою ресурсу 2 залишиться y2 = 7. Отже, запас ресурсу 2 може змінюватися у межах

,

.

Згідно з цим максимально можливий дохід підприємства перебуватиме в межах

,

.

Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки дефіцитного ресурсу 3:


.

Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 750 од. або зменшиться на 250 од., то двоїста оцінка y3 = 0,6 цього ресурсу залишиться оптимальною. Згідно з цим можливий дохід підприємства та оптимальний план виробництва продукції перебуватимуть у межах

,

Оцінка рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, виконується за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, що характеризують кожний вид продукції.

Підставимо  у систему обмежень двоїстої задачі. Якщо вартість ресурсів на одиницю продукції (ліва частина) перевищує ціну цієї продукції (права частина), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.

Отже, продукція В і Д рентабельна, а продукція А, С нерентабельна.


Завдання 2

На ринку дві корпорації-конкуренти намагаються стати лідерами й контролювати всі дрібні компанії у своїй галузі. Невелика фірма внаслідок такої політики може опинитися в складі однієї з конкуруючих корпорацій, що може привести їй як зиск, так і збитки. З метою протистояння корпораціям фірма може ініціювати створення асоціації дрібних підприємств своєї галузі, що може забезпечити як великий успіх, так і цілковиту невдачу від цієї діяльності. Відповідна інформація наведена в таблиці. Який з трьох варіантів обрати фірмі?

Варіант злиття Успіх Невдача
імовірність прибуток, млн. грн. імовірність прибуток, млн. грн.
1 корпорація 0,6 9,5 0,4 -2
2 корпорація 0,7 13,5 0,3 -2
Створення асоціації 0,3 26,5 0,7 -2,5

Розв’язання:

Визначимо очікуване значення прибутку для кожного варіанту злиття:


Информация о работе «Економіко-математичні методи і алгоритми»
Раздел: Экономико-математическое моделирование
Количество знаков с пробелами: 15320
Количество таблиц: 7
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
155152
18
31

... і над плановим. Відомо, що собівартість є одним з головних джерел резервів підвищення ефективності роботи підприємства. Звідси сформуємо мету і задачі даної роботи. Метою даної роботи є підвищення ефективності роботи підприємства ВАТ «Дніпрополімермаш» шляхом управління собівартістю продукції. Відповідно, для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі: 1.   Проаналізувати ...

Скачать
89004
11
7

... прийняти міри по недопущенню подальшого погіршення фінансового стану та обрати заходи по більш раціональному управлінню капіталом підприємства з ціллю підвищення ефективності фінансово-економічної діяльності. 2. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВА ТОВ „ПОЛІПРОМІНВЕСТ” 2.1 Рекомендації та заходи з поліпшення ефективності фінансово-економічної діяльності підприємства ТОВ «Поліпром ...

Скачать
140123
0
3

... общин, де кожний буде зобов'язаний трудитися. М.А. Бакунін дотримувався ідей анархізму, бачивши у владі причину експлуатації. Один з феноменів російської науки - плідна розробка ідей економіко-математичного моделювання, заснована на базі як „чистих” математиків, що направили свої зусилля в економіку, так і розробок професійних економістів. Перші російські економісти-математики (Ю.Г. Жуковській, ...

Скачать
48733
0
3

... праць. За матеріалами міжнародної науково-практичної конференції, Київ, 27-28 березня 2007 року. - К.: КНЕУ. - 2007. С.371-372. - 0,1 друк. арк. АНОТАЦІЯ Сільченко М.В. Економіко-математичне моделювання процесу ціноутворення на ринку опціонів. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук за спеціальністю 08.03.08 - економіко-математичне моделювання. - Киї ...

0 комментариев


Наверх