Корпорація М(1) = 0,6*9,5+0,4*(-2) = 4,9 млн. грн.;

1 корпорація М(1) = 0,6*9,5+0,4*(-2) = 4,9 млн. грн.;

2 корпорація М(2) = 0,7*13,5+0,3*(-2) = 8,85 млн. грн.;

створення асоціації М(А) = 0,3*26,5+0,7*(-2,5) = 6,2 млн. грн.

Отже, входження до другої корпорації має найбільше очікуване значення прибутку.

Обчислимо для кожного варіанту злиття показники варіації прибутку фірми: дисперсію, середньоквадратичне відхилення та коефіцієнт варіації.

1) входження до першої корпорації:

дисперсія D(1) = 0,6*(9,5–4,9)²+0,4*(-2–4,9)² = 31,74;

середньоквадратичне відхилення  млн. грн.;

коефіцієнт варіації .

2) входження до другої корпорації:

дисперсія D(2) = 0,7*(13,5–8,85)²+0,3*(-2–8,85)² = 50,4525;

середньоквадратичне відхилення  млн. грн.;

коефіцієнт варіації .

3) створення асоціації:

дисперсія D(А) = 0,3*(26,5–6,2)²+0,7*(-2,5–6,2)² = 176,61;

середньоквадратичне відхилення  млн. грн.;

коефіцієнт варіації .

Коефіцієнту варіації має такий зміст: це величина ризику відхилень, що припадає на одиницю очікуваного прибутку.

Отже, найменший ризик у абсолютному вимірі (середньоквадратичне відхилення) має входження у першу корпорацію. Але у відносному вимірі (коефіцієнт варіації) найменший ризик має входження до другої корпорації. Враховуючи, що крім цього входження до другої корпорації має найбільше очікуване значення прибутку, то слід обрати варіант входження до другої корпорації.

  Завдання 3

Підприємство має 12 філій, розташованих в різних районах області. Керівництво має дослідити, яким чином впливають торгівельна площа, середньоденна інтенсивність потоку покупців та середньоденний дохід на річний товарообіг філії. Статистичні дані наведені в таблиці:

№ філії	Річний товарообіг, млн. грн.	Торгівельна площа, тис. м2	Середньоденна інтенсивність потоку покупців, тис. чол. /день	Середньоденний дохід, тис. грн.
	У	Х1	Х2	Х3
1	3,08	0,37	10,54	5,495
2	5,42	1,04	7,81	5,625
3	7	1,27	11,11	6,775
4	7,16	1,35	10,19	6,305
5	7,17	1,18	14,02	9,975
6	8,5	1,55	14,22	8,775
7	4,48	0,84	8,84	5,525
8	5,92	1	12,66	7,755
9	7,83	1,35	12,57	7,875
10	3,31	0,54	11,31	6,275
11	1,67	0,3	8,55	5,235
12	3,3	0,61	9,61	5,325

Обчислити парні коефіцієнти кореляції та дослідити модель на мультиколінеарність. Якщо є залежні фактори, виключити один з них (довести, чому саме цей фактор вилучено).

Побудувати діаграми розсіювання для припущення щодо вигляду залежності між показником та факторами, що залишилися в моделі. Обчислити оцінки параметрів множинної регресії. Дати інтерпретацію оцінок параметрів.

Визначити коефіцієнти кореляції, детермінації, оцінений коефіцієнт детермінації. Дати пояснення щодо отриманих результатів.

З надійністю 0,95 за допомогою критерію Фішера оцінити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним та за допомогою критерію Стьюдента оцінити значимість параметрів регресії. Пояснити отримані результати.

Визначити частинні коефіцієнти еластичності та пояснити їх сенс.

Розв’язання:

Використаємо критерій  для перевірки моделі на мультиколінеарність. Для цього нормалізуємо змінні  економетричної моделі за формулою

,

де  – кількість спостережень, ();

 – кількість незалежних змінних, ();

 – середня арифметична -ї незалежної змінної;

 – дисперсія -ї незалежної змінної.

Результати нормалізації змінних , ,  подамо в таблиці:

1	0,45	10,94	5,995	-0,4207	-0,0593	-0,2458
2	1,12	8,21	6,125	0,0653	-0,4515	-0,2202
3	1,35	11,51	7,275	0,2321	0,0226	0,0059
4	1,43	10,59	6,805	0,2901	-0,1096	-0,0865
5	1,26	14,42	10,475	0,1668	0,4408	0,6351
6	1,63	14,62	9,275	0,4352	0,4695	0,3991
7	0,92	9,24	6,025	-0,0798	-0,3035	-0,2399
8	1,08	13,06	8,255	0,0363	0,2453	0,1986
9	1,43	12,97	8,375	0,2901	0,2324	0,2222
10	0,62	11,71	6,775	-0,2974	0,0514	-0,0924
11	0,38	8,95	5,735	-0,4715	-0,3452	-0,2969
12	0,69	10,01	5,825	-0,2466	-0,1929	-0,2792

Побудуємо нову -матрицю, елементами якої є нормалізовані змінні , і обчислимо кореляційну матрицю:

,

де  – матриця, транспонована до матриці  (елементи матриці  характеризують щільність зв’язку між двома незалежними змінними; () – парні коефіцієнти кореляції). Аналізуючи значення цих коефіцієнтів, робимо припущення, що між змінними  і  існує сильний зв’язок.

Знайдемо визначник кореляційної матриці : ; потім визначимо критерій :

.

Для  ступенів свободи і рівня значущості  табличне значення критерію . Оскільки обчислене значення більше за табличне, то в моделі присутня мультиколінеарність.

Складемо розрахункову таблицю для обчислення коефіцієнтів кореляції між факторами і показником:

№	Y	X2	X3	Y2	X22	X32	YX2	YX3
1	3,08	10,54	5,495	9,4864	111,0916	30,19503	32,4632	16,9246
2	5,42	7,81	5,625	29,3764	60,9961	31,64063	42,3302	30,4875
3	7	11,11	6,775	49	123,4321	45,90063	77,77	47,425
4	7,16	10,19	6,305	51,2656	103,8361	39,75303	72,9604	45,1438
5	7,17	14,02	9,975	51,4089	196,5604	99,50063	100,5234	71,52075
6	8,5	14,22	8,775	72,25	202,2084	77,00063	120,87	74,5875
7	4,48	8,84	5,525	20,0704	78,1456	30,52563	39,6032	24,752
8	5,92	12,66	7,755	35,0464	160,2756	60,14003	74,9472	45,9096
9	7,83	12,57	7,875	61,3089	158,0049	62,01563	98,4231	61,66125
10	3,31	11,31	6,275	10,9561	127,9161	39,37563	37,4361	20,77025
11	1,67	8,55	5,235	2,7889	73,1025	27,40523	14,2785	8,74245
12	3,3	9,61	5,325	10,89	92,3521	28,35563	31,713	17,5725
Сума	64,84	131,43	80,94	403,848	1487,922	571,8083	743,3183	465,4972
Середнє	5,4033	10,9525	6,7450	33,6540	123,9935	47,6507	61,9432	38,7914

Обчислимо коефіцієнти кореляції:

;

Відповідно до обчислених коефіцієнтів кореляції, показник Y має тісніший зв’язок із змінною Х₃ порівняно із змінною Х₂. Тому відкинемо фактор Х₂. Будемо розглядати модель Y=Y(X₁, X₃).

Для припущення про вигляд залежності побудуємо діаграми розсіювання між показником та факторами, що залишилися в моделі.

Обчислимо оцінки параметрів множинної регресії у лінійній формі:

.

Відповідно до методу найменших квадратів (МНК) оператор оцінювання параметрів моделі має вигляд

,

де ;  – матриця, транспонована до матриці . Матриця , крім двох векторів змінних Х₁ та Х₃, містить вектор одиниць. Згідно з оператором оцінювання одержимо:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Отже, отримали таку модель лінійної множинної регресії:

.

Оцінки параметрів моделі мають такий економічний зміст:

1) : якщо за інших рівних умов змінна Х₁ збільшиться (зменшиться) на одиницю, то відповідно до цієї оцінки змінна Y збільшується (зменшується) на 4,60278. Конкретно це означає, що збільшення (зменшення) торгової площі на 1 тис. м² приведе, за інших рівних умов, до збільшення (зменшення) річного товарообігу цієї філії на 4,60278 млн. грн.;

2) : якщо за інших рівних умов змінна Х₃ збільшиться (зменшиться) на одиницю, то відповідно до цієї оцінки змінна Y збільшиться (зменшиться) на 0,24978. Конкретно це означає, що збільшення (зменшення) середньоденного доходу на 1 тис. грн. приведе, за інших рівних умов, до збільшення (зменшення) річного товарообігу цієї філії на 0,24978 млн. грн.

Обчислимо суми квадратів:

.

Визначимо коефіцієнт детермінації

,

оцінений коефіцієнт детермінації

,

коефіцієнт множинної кореляції

.

Оскільки отримані значення є близькими до одиниці, то можна зробити висновок про тісний зв’язок між річним товарообігом і незалежними змінними. При цьому понад 98% варіації річного товарообігу пояснюється варіацією торгівельної площі та середньоденного доходу.

Обчислимо критерій Фішера

.

Критичне значення критерію Фішера при рівні значущості  і кількості ступенів свободи  та  дорівнює . Порівнюючи обчислене значення критерію Фішера з критичним, робимо висновок про адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним.

Матриця  є матрицею коваріацій оцінок параметрів моделі. Діагональні елементи  цієї матриці використаємо для обчислення стандартних похибок параметрів моделі.

Знайдемо дисперсію залишків за формулою . Таким чином, . Визначимо стандартні похибки оцінок параметрів моделі, використовуючи дисперсію залишків:

Обчислимо значення -критеріїв:

; ; .

Табличне значення -критерію при  ступенях свободи і рівні значущості α = 0,05 становить 2,262. Всі фактичні значення -критеріїв, окрім критерію для вільного члена, перевищують за модулем табличне значення. Отже, статистично значущими є всі параметри моделі, крім вільного члена.

Визначимо коефіцієнти еластичності за формулами

, ,

де f(X) = -0,6541 + 4,60278 X₁ + 0,24978 X₃. – рівняння регресії, знайдене вище:

;

.

Отримані коефіцієнти еластичності показують, на скільки% у середньому змінюється показник Y стосовно своєї величини при зміні відповідного фактора на 1% від свого середнього значення.

 
Список літератури

1.  Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высш. шк., 1986.

2.  Машина Н.І. Економічний ризик і методи його вимірювання. Навчальний посібник. – К: ЦУЛ, 2003. –188 с.

3.  Толбатов Ю.А. Економетрика: Підручник для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: Четверта хвиля, 1997 – 320 с.