Анализ системы с пропорциональным регулятором

1.2 Анализ системы с пропорциональным регулятором

  1.2.1 Структурная схема линеаризованной системы с пропорциональным регулятором

Пропорциональный регулятор реализует простейший линейный закон управления, при котором управляющий сигнал, подаваемый на вход объекта управления, представляет собой усиленный по величине и по мощности сигнал ошибки (рассогласования). В системах с невысокими требованиями такой закон иногда может обеспечить приемлемое качество регулирования и всегда полезно узнать, не относится ли к ним и наша система.

Cоставим структурную схему с пропорциональным регулятором:

Рисунок 1.6 Структурная схема с пропорциональным регулятором

В установившемся режиме заданную точность обеспечивает низкочастотный участок. Проще всего оценить точность системы по ее реакции на гармонический входной сигнал.

,

Из пункта 1.1

Для того, чтобы входное воздействие воспроизводилось с ошибкой, не превышающей e_m, ЛАХ системы должна проходить не ниже контрольной точки A_k c координатами:

(1.3)

Построим запретную область (ЗО)

Рисунок 1.7 Запретная область

Определим минимальный коэффициент усиления разомкнутой системы [1, § 12.6]с пропорциональным регулятором, учитывая

, где ε_m– относительная ошибка системы

с^-1

Отсюда, коэффициент усиления пропорционального регулятора:

 

1.2.2 Проверка устойчивости замкнутой системы

Для проверки устойчивости замкнутой системы воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица. [1, § 6.2]

Запишем характеристическое уравнение системы:

Т.к. система 4 порядка, то достаточно определить D3

Т.к. определитель больше нуля и все коэффициенты положительны, то замкнутая система с пропорциональным регулятором устойчива.

Теперь проверим систему по критерию Найквиста: [1, § 6.5] анализируем разомкнутую систему, а вывод делаем об устойчивости замкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы:

Все корни характеристического уравнения левые, кроме одного нулевого. Если разомкнутая система на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал особую точку с координатами (-1;j0).

Выделим действительную и мнимую часть:

(1.5)

Будем изменять значения w от 0 до ¥ и находить соответствующие значения Р и Q.

Таблица 1.1

w	P	Q
0	-11.25	-¥
234.5	0	4,584*10-3
26.2	-0.95	0
¥	0	0

Рисунок 1.8 Годограф Найквиста

Из рисунка видно, что замкнутая система устойчива.

Проверим устойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам.

Построим логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ).

[1, § 4.4]

Определим модуль частотной передаточной функции для разомкнутой системы:

;

(1.7)

Определим L(w) и

;

;

 

Рисунок 1.9 ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с регулятором

Видно, что точка пересечения ЛФЧХ с линией -180^о лежит немного правее точки пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс. Следовательно, замкнутая система устойчива.

Проверим систему на устойчивость по критерию Михайлова. [1, § 6.3]

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты последовательно проходил число четвертей, соответствующее порядку системы (нигде не обращаясь в 0).

Функция Михайлова для нашей системы:

 

Выделим вещественную и мнимую части:

;

 

Построим годограф Михайлова по следующим значениям:

Таблица 1.2

w,	X(w)	Y(w)
0	85,227	0
25,6	0	1,105
26,2	-4,252	0
233,1	0	-1,8259∙104
	∞	-∞

Рисунок 1.10 Годограф Михайлова для малых и больших частот соответственно

Следовательно, система устойчива.

Частота среза разомкнутой и замкнутой системы, запасы устойчивости, критический коэффициент усиления, прямые показатели качества и косвенный показатель качества

Частота среза – это частота, в которой ЛАЧХ системы пересекает ось абсцисс. Определим ее по графику ЛАЧХ (рисунок 1.9):

L(w)=0 при w=25.59 c^-1

Критическая частота(w_kp) – частота, при которой фазовая характеристика пересекает уровень -180⁰.

w_kp=1,418 с^-1

Запасы устойчивости определим по формулам:

 – запас устойчивости по амплитуде,

 –запас устойчивости по фазе

Получаем:

Определим критический коэффициент усиления системы K_kp по критерию Михайлова.

Критический коэффициент усиления – такое значение K_p, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости.

Если система находится на границе устойчивости, то левая часть характеристического уравнения равна 0.

 

Откуда вытекают два равенства:

 

Следовательно, годограф Михайлова должен проходить через начало координат.

Запишем функцию Михайлова:

Выделим вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю:

;

Из уравнения Y(w)=0 находим w:

Подставляем это значение в уравнение X(w)=0 и находим критический коэффициент усиления K_kp

Прямые показатели качества системы  и t_pопределим по графику переходной характеристики замкнутой системы с пропорциональным регулятором по выходу ДОС. [приложение 2]

Рисунок 1.11 График переходной характеристики замкнутой системы по выходу ДОС

По графику находим:

h_max=1,95

= 1

Найдем перерегулирование

Для определения t_p построим “коридор” равный .

t_p=22,72 с.

Показатель колебательности определяется по АЧХ замкнутой системы.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы по выходу ДОС

 (1.8)

Преобразуем и выделим вещественную и мнимую части:

;

.

Запишем модуль частотной передаточной функции по выходу ДОС:

 (1.9)

По формуле (1.9) построим АЧХ замкнутой системы

Рисунок 1.12 АЧХ замкнутой системы по выходу ДОС

Показатель колебательности определим по формуле:

,

где  максимальное значение ординаты АЧХ замкнутой системы по выходу ДОС;

N(0) – значение ординаты АЧХ при w=0.

По рисунку определяем:

; N(0)=1;

Откуда находим: M=75,214

Анализ на соответствие системы с пропорциональным регулятором требованиям ТЗ

Проверим систему на требования по точности воспроизведения входного сигнала.

Относительную динамическую ошибку системы определим по формуле:

;  

Передаточная функция разомкнутой системы:

 

Тогда, модуль частотной передаточной функции:

 

Подставляя значение ω_kв формулу для , находим  

Относительная динамическая ошибка системы 2,5%, следовательно, система не удовлетворяет требованиям ТЗ.

Время переходного процесса t_p=22,72 с. и перерегулирование, найденные ранее, не удовлетворяют требованиям ТЗ.

При введении пропорционального регулятора прямые показатели качества не удовлетворяют требуемым.

При введении регулятора увеличился коэффициент усиления разомкнутой системы и время регулирования. Хотя величина ошибки уменьшилась, тем не менее, она не удовлетворяет требованиям ТЗ. В результате введения регулятора качество переходного процесса ухудшилось.

1.3 Синтез регулятора   Описание методики синтеза регулятора для одноконтурной следящей системы

Динамический синтез – направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установление оптимальных величин параметров отдельных ее элементов.

Более узкая цель синтеза – определение вида и параметров корректирующего устройства, которое нужно добавить к некоторой неизменяемой части системы, чтобы обеспечит требуемое качество системы в установившемся и переходном режимах.

Наиболее приемлемым для решения задачи динамического синтеза является метод логарифмических амплитудных характеристик (метод ЛАХ). [1, § 12.5] Стадии синтеза по методу ЛАХ включают:

1.       построение располагаемой ЛАХ, т.е. ЛАХ исходной системы

2.       построение желаемой ЛАХ системы, удовлетворяющей требованиям ТЗ

3.       определение вида и параметров корректирующего устройства

4.       проверочный расчет – моделирование СУ, позволяющее убедиться в том, что спроектированная система удовлетворяет всем требованиям ТЗ.

Построение исходной ЛАХ

Передаточная функция исходной разомкнутой системы:

;

Построим исходную асимптотическую ЛАХ.

 lg(w_а)=0,921;

 lg(w_в)=2;

 lg(w_с)=2,699

На оси lgw отмечаем lg–ы частот сопряжений. Проводим низкочастотную асимптоту с наклоном -20дБ/дек до первой частоты сопряжения w_a. Эта асимптота пересекает ось L в точке . На частоте сопряжения эта асимптота изменяет наклон до -40дБ/дек и проводится до w_в. На частоте w_в изменяем наклон до -60дБ/дек и проводим асимптоту до w_с. На частоте w_с меняем наклон до -80 дБ/дек и проводим асимптоту.

Построенная исходная асимптотическая ЛАХ представлена на миллиметровке.

Построение желаемой ЛАХ

Желаемую ЛАХ условно разбивают на 3 участка:

1 участок – низкочастотный. Он отвечает за обеспечение требуемой точности системы в установившемся режиме. Чем в большем диапазоне частот он расположен, тем в большем диапазоне частот не происходит заметного ослабления входного сигнала.

2 участок – среднечастотный. Он отвечает за устойчивость и качество системы в переходном режиме (оценивается величиной запасов устойчивости, прямыми показателями качества - s, t_р, косвенным показателем М). Этот участок характеризуется 2 параметрами: частотой среза w_ср и наклоном асимптоты, проходящей через частоту среза.

Традиционно наклон асимптоты берется равным -20дБ/дек, поскольку, чем больше наклон асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы.