Навигация
Зонная модель твердого тела. Уравнение Шредингера для кристалла
17706
знаков
0
таблиц
3
изображения
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра ЭТТ
РЕФЕРАТ:
«Зонная модель твердого тела. Уравнение Шредингера для кристалла»
МИНСК, 2008
Любое твердое тело представляет собой систему, состоящую из огромного числа ядер и ещё большего числа электронов. Современное состояние математической физики позволяет утверждать, что целый ряд сведений о свойствах такой системы, в том числе и об энергетическом спектре можно получить из решения уравнения Шредингера, описывающего стационарные состояния этой системы. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид:
Где m и M соответственно массы электронов и ядер; ri и Rj– радиус-векторы i-го электрона и j-го ядра; Zj и Zn – атомные номера ядер; Rjn, rik, rij – расстояния между соответствующими ядрами и электронами; Е – полная энергия кристалла; Ψ – собственная волновая функция системы электронов и атомов.
В приведенном уравнении первое слагаемое описывает кинетическую энергию электронов, второе – кинетическую энергию ядер. Множители при волновой функции в следующих трёх слагаемых описывают соответственно, потенциальную энергию взаимодействия ядер с друг другом, электронов друг с другом и энергию взаимодействия электронов с ядрами.
Сегодня неизвестны способы точного решения уравнения Шредингера, так как для кристалла волновая функция Ψ зависит от огромного числа (1024-1025) независимых переменных ( в 1см2 содержится примерно 5∙1022 ядер атомов, каждое ядро содержит большое количество электронов).
Теория должна найти разумные допущения, которые позволят решать данное уравнение, сохранить его принципиальные черты, отличающие кристалл от отдельного изолированного атома.
Прежде чем рассматривать свойства твердых тел необходимо рассмотреть закономерности образования твердого тела из отдельных изолированных атомов.
Обобществление электронов в кристалле.
Для того чтобы понять особенности явлений, имеющих место в твердых телах, рассмотрим следующий идеализированный пример. Возьмем атом натрия.
Расположим N атомов натрия на больших расстояниях друг от друга в трехмерном пространстве так, чтобы они образовали в значительно увеличенном виде кристаллическую решетку натрия. Так как расстояния между атомами r значительно больше параметра решетки а( а= 4.3Å; r>>а), то взаимодействием между атомами можно пренебречь.
На рисунке каждый атом изображен в виде потенциальной ямы, внутри которой проведены энергетические уровни 1s, 2s и 2p - укомплектованы у натрия полностью, уровень 3s – наполовину, остальные уровни, расположенные выше уровня 3s – свободны.
Изолированные атомы отделены друг от друга потенциальными барьерами шириной r. Высота барьера для электронов, находящихся на разных уровнях различна. Она равна расстоянию от этих уровней до нулевого уровня 00. Потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому.
Рис. Ррасположение атомов натрия в линейной цепочке. d-параметр решетки.
Качественная картина распределения плотности вероятности обнаружения электронов на данном расстоянии от ядра показывает, что максимумы этих кривых примерно соответствуют положению боровских орбит для эти электронов.
Теперь начнем сближать атомы натрия таким образом, чтобы в конце однородного сжатия они находились бы на расстояниях, равных параметру решетки. По мере сближения атомов взаимодействие между ними возрастало и достигло максимальной величины при образовании кристалла. При образовании кристалла потенциальные кривые, отделяющие соседние атомы, частично перекрываются и дают результирующую потенциальную кривую (1α2), проходящую ниже нулевого уровня 00. При сближении атомов уменьшается не только ширина барьера, но и его высота. При этом оказывается, что высота барьера между атомами в кристалле оказывается даже ниже первоначального положения уровня валентных электронов 3s. Таким образом, валентные электроны получают возможность практически беспрепятственно переходить от одного атома к другому.
Об этом свидетельствует и характер волновых функций этих электронов: они перекрываются настолько сильно, что дают электронное облако практически равномерной плотности, чему соответствует состояние полного обобществления валентных электронов, при котором вероятность обнаружения их в любом месте решетки совершенно одинакова.
Электронные облака внутренних оболочек атома не перекрываются вследствие чего состояние внутренних электронов в кристалле остаётся фактически таким же, как и в изолированных атомах.
Коллективизация валентных электронов является прямым следствием физической эквивалентности всех ионов решётки и поэтому каждый электрон принадлежит одновременно всем ионам решётки с равной вероятностью может быть обнаружен вблизи любого из них. Такие электроны образуют в кристалле электронный газ.
Основные приближения зонной теории.
Похожие работы
... энергий и претерпевает разрывы на границах зон Бриллюэна. Энергетические зоны являются следствием периодической структуры кристалла и представляют собою фундаментальные характеристики электронной структуры твердого тела. – граница зоны, это вектор обратной решетки. Области значений , при которых энергия электронов изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв, называются зонами ...
... лежат выше Emax. В промежутке между Emin и Emax не лежит ни одно собственное значение энергии электрона, т.е. область между Emin и Emax представляет собой запрещённую зону энергии. О структуре энергетических зон. В трёхмерном кристалле периодичность решётки в разных направлениях различная: a ≠ b ≠ c. Поэтому в трёхмерном векторном пространстве (kx, ky, kz) kx = ±nπ/a, ky = ...
... «преобразования Лоренца», «группа Лоренца», показал, что невозможно обнаружить абсолютное движение, исходя из представлений об эфире и связанной с ним привеллигированной системы отсчета. Период современной физики (1905 - 1931гг.) 1905г. А.Пуанкаре и А.Эйнштейн установили ковариантность уравнений Максвелла относительно «группы Лоренца». А.Эйнштейн выдвинул гипотезу о квантовом характере ...
... висит от природы тел. виях опыта). гелия. тем же самым,что и 2ой з.Нью- r1(w,T) = r2(w,T) = rn(w,T) 2. Max кинетическая энерг. вы- Физика атома и ядра 2.Корпускулярно волновой дуатона в класич.мех. a(w,T) a2(w,T) =… an(w,T)=битых электронов независит от лизм ...
0 комментариев