Области со слабым полем, в которых

1.                Области со слабым полем, в которых

U(r)=U₀(r)+δU(r), δU(r)<<U₀(r) (10)

 где U₀(r)=const представляет собою потенциальную энергию электрона в поле положительных ионов в предположении, что это поле компенсировано полем всех остальных электронов, кроме данного; δU(r) учитывает неполную локальную компенсацию поля ионов электронами. Она имеет периодический характер с периодом, равным

На области с сильным полем в которых:

U(r)=Ua+δU(r) δU(r)<<Ua (11)

где Ua - потенциальная энергия электрона в изолированном атоме.

Она является периодической функцией с периодом равным постоянной решетки; δU(2) поправочный член, учитывающий влияние на эту энергию соседних узлов решетки. Волновые функции электронов, обладающих различной энергией, имеют различный характер локализации в объеме кристалла. Волновые функции внутренних электронов на незначительном расстоянии от ядер обращаются практически в ноль и для них пригодна формула (I I). Это будет приближение сильной связи. Для внешних валентных электронов лучше подходит приближение слабо связанных электронов в котором используется формула (I0).

Превращение энергетических уровней свободных атомов в энергетические зоны при образовании кристалла.

Взаимодействие атомов при образовании твердого тела приводит к расширению энергетических уровней атомов и превращению их в кристалле в энергетические зоны.

В атомах время жизни электрона в возбужденном состоянии τ = 10^-8c

Вспомним принцип неопределенности для энергии

∆E ∆t ≥ ħ

∆t ≈ τ

тогда

∆E ≈ ħ / τ ≈ 10^-7 эВ (ħ = 10^-15 эВс)

Такова естественная ширина спектральных линий, испускаемых атомами.

 В кристалле все электроны благодаря туннельному эффекту имеют возможность переходить от атома к атому. В результате уменьшается степень локализации электронов на определенных атомах, что изменяет значение неопределенностей их энергий, т.е. приводит к размытию уровней энергии и превращению их а полосы или зоны.

 Так как глубина потенциального поля не играет принципиальной роли, можно заменить потенциальный рельеф кристалла рельефом с конечной глубиной. Кроме этого непрямоугольные барьеры в модели кристалла удобно заменить прямоугольными. Такую модель потенциального рельефа называют моделью Кронинга-Пенни.

 

Мы уже знаем как определяется прозрачность такого барьера:

 

D = D₀ e^-4π/h  

Если ширина потенциальной ямы равна α, а скорость движения электрона равна υ, то за 1 секунду электрон подойдет к барьеру υ/α раз.

ν = υ/α D - дает частоту перехода электрона в соседний атом

 

ν = υ/α D₀ e^-4π/h 

Величина τ обратная ν выражает среднее время пребывания электрона у определенного атома

τ = 1/ ν ≈ 1/ υ/α D₀ e^-4π/h 

так как α ≈ 10^{-8 см; υ ≈ 108} см/с; D₀ ≈ 1; υ/α ≈ 10¹⁶с^-1

Для изолированных атомов d ≥ 30Å (среднее расстояние между молекулами газа при нормальных условиях). U-E – энергия ионизации атома. Для Na

U-E = 10 эВ. Найдем τ в этом случае:

τ ≈ 10²⁰лет; ν ≈ 10^-27с^-1

В кристалле b ≈ 1Å, тогда  ν ≈ 10¹⁵с^-1 ; τ ≈ 10^-20 с

При такой частоте перехода валентных электронов от атома к атому теряет, очевидно, смысл говорить о принадлежности их определенным атомам.

Таким образом туннельный эффект в кристалле доводит среднее время жизни валентного электрона в определенном узле решетки до τ ≈ 10^-15с. В соответствии с принципом неопределенности, неопределенность в значении энергии таких электронов равна:

∆E ≈ 10^-12эрг ≈ 1эВ

Это означает, что энергетический уровень валентных электронов, имеющий в изолированном атоме ширину 10^-7эВ превращается в кристалле в энергетическую зону шириной порядка единиц электроновольт.

Для электронов внутренних оболочек натрия картина изменяется. Например, для электронов 1s (U-E ≈ 1000 эВ, d ≈ 3Å в результате ν ≈ 10^-27 с^-1; τ ≈ 10²⁰лет) энергетические уровни этих атомов в кристалле такие же узкие, как и в отдельном атоме. По мере перехода к валентным электронам высота и ширина потенциального барьера уменьшается, вероятность туннельного перехода электронов увеличивается, вследствие чего растет ширина энергетических зон.

На рисунке снизу приведены урони изолированного атома натрия, слева – образование

Зон, обусловленное расширением уровней при уменьшении расстояния между атомами. Электрические свойства твердых тел в основном определяют особенностями образования энергетических зон при сближении атомов и образовании кристалла.

 Рис. Расширение энергетических уровней при сближении атомов Na.

ЛИТЕРАТУРА

 

1.     Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов: учебное пособие для приборостроительных вузов. -- 2-е издание, перераб. и доп.—Спб.: Машиностроение,2003 -- 696 с.

2.     Порфирьев Л.Ф. Теория оптико-электронных приборов и систем: учебное пособие.— Спб.: Машиностроение,2003 -- 272 с.

3.     Кноль М., Эйхмейер И. Техническая электроника, т. 1. Физические основы электроники. Вакуумная техника.—М.: Энергия, 2001.