ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ І ЙОГО РІШЕННЯ

2. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ І ЙОГО РІШЕННЯ

Затухання коливань пов’язано з затратою енергії коливальної системи для подолання опору. Для того, щоб в реальній коливальній системі одержати незагасаючі коливання, потрібно компенсувати втрати енергії. Така компенсація можлива з допомогою будь-якого періодично діючого фактора, що змінюється по гармонічному закону.

Коливання, що виникають під дією зовнішньої сили, називаються вимушеним и коливаннями.

Вимушені коливання здійснюють, наприклад, корпус і фундамент машин при обертанні неврівноваженого ротора; мембрана гучномовця під дією магнітного поля збуджуваного змінним струмом; струм, збуджуваний в атомі прибуваючими сигналами і наводящими в контур змінну ЕРС та інші.

Якщо розглядати механічні коливання, то зовнішня спонукаюча сила .

Закон руху для пружного (фізичного) маятника має вигляд:

,

де w - циклічна частота коливань спонукаючої сили.

Загальне рішення цього неоднорідного диференціального рівняння являє собою суму вільних  і вимушених  коливань, тобто

.

Але перша складова має помітну роль тільки в початковій стадії процесу (встановлення коливань), оскільки вільні коливання швидко затухають (рис.1).

Рис.1

Для одержання незгасаючих електромагнітних коливань необхідно зовні підводити енергію, яка б компенсувала втрати на Ленц-джоулеве тепло і випромінювання контура. В цьому випадку відбуватимуться не вільні, а вимушені електромагнітні коливання.

Для здійснення таких коливань необхідно включити в коливальний контур джерело струму, що має ЕРС.

Рис.2

Розглянемо найпростіший випадок вимушених електромагнітних коливань в контурі, що відбувається під дією синусоідальної ЕРС.

,

де  - амплітудне значення (амплітуда ЕРС), w -циклічна частота.

Для одержання диференціального рівняння вимушених електромагнітних коливань достаньо в закон Ома для однорідного коли iR = e + Dj підставити значення  - падіння потенціалу на конденсаторах і e замінити сумою спонукаючої ЕРС і ЕРС самоіндукції:

.

Враховуючи, що

,

одержимо:

.

Рішення диференціального рівняння можна представити у вигляді:

,

,

де a - зсування фаз між q і зовнішньою e (ЕРС). Підставляючи в ці вправи значення  і b одержимо:

.

.

Поділивши q на ємність С, одержимо значення напруги на конденсаторі, продиференціювавши функцію ( q(t) ) по t , знайдемо установлений струм у контурі.

,

,

.

Якщо j - зсув фаз між струмом і зовнішньою ЕРС, то

,

тобто .

Амплітудне значення струму визначається виразом:

.

Ця формула має схожість з законом Ома в тому розумінні, що амплітуда напруги пропорційна амплітуді струму. Тому формулу

.

ВИСНОВКИ

Коливання, амплітуда яких з часом зменшується, називаються затухаючими.

Закон затухаючих коливань визначається властивостями системи.

Основними параметрами затухаючих коливань являються початкова амплітуда, частота (період) затухаючих коливань, коефіцієнт затухання та добротність, а також час релаксації і кількість коливань в системі за час релаксації.

Вивчаючи коливальні системи з малими затуханнями, які мають широку область застосування, особливо в техніці зв’язку. Але є практичні випадки використання коливальних систем з різким затуханням, або аперіодичних.

Незатухаючі коливання, які підтримують за допомогою зовнішньої періодично діючої сили називають вимушеними.

Частота встановлених вимушених гармонічних коливань дорівнює частоті дії зовнішньої гармонічної сили.

ЛІТЕРАТУРА

1. Кучерук І.М., Горбачук І.Г. Загальна фізика. Електроніка і магнетизм.- К.:Вища школа, 1990. §

2. Савельев И.В. Курс физики, т.3, Квантовая физика.-М.: 1989. §

3. Трофимова Т.И. Курс физики,-М.: Высшая школа, 1985, 432 с. §

4. Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики (Оптика. Фізика атома і атомного ядра. Молекулярна фізика і термодинаміка), т.2,-Київ.: Либідь, 2001, - 421 с. §