Навигация
К решению теоремы Ферма
|
Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.
В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn+ xn=zn(1)
на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n, которые могут содержать решения уравнения (1) в целых числах x,y,z, а второе подмножество содержит только нецелые решения.
Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :
(x - a)n + xn –(x+b)n = 0 (2)
Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x,a, и n.
Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 450 сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3 xn-3 a3...... +an
(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3 .......+bn
D = xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3 xn-3 (a3+b3)..+(an+bn) =0
(3)
Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x, y=(x–a), z=(x+b), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a=b=1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:
xn - 2nxn-1 a - 2cn3 xn-3 a3 - 2cn5 xn-5 a5 - ... (an + an )=0 (4)
Обозначим через P(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an+ an) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:
xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0
Разделив все члены уравнения на xn-1, получим выражение для искомого x
x=2na+P(a,n)/xn-1 ,где P(a,n)/xn-1 ³0 (5)
При a = b = 1 выражение (5) примет вид:
x=2n+P(1,n)/xn-1 (6)
Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/xn-1 .
Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножеству yn+ xn=zn
Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.
| n | x | y=x-1 | z=x+1 | xn | yn | xn+ yn | zn | D% |
| 2 | 4 | 3 | 5 | 16 | 9 | 25 | 25 | - |
| 3 | 6,055 | 5,055 | 7,055 | 221 | 129 | 350 | 350 | - |
| 4 | 8,125 | 7,125 | 9,125 | 4350 | 2540 | 6890 | 6890 | - |
| 5 | 10,200 | 9,200 | 11,200 | 107000 | 66000 | 173000 | 175000 | 1,25 |
На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P(a,n)/xn-1.
2. Если уравнение yn+ xn=zn с учетом добавки P(a,n) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/хn-1; у=2n-1+ P(1,n)/хn-1; z=2n+1+ P(1,n)/хn-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1,n)/хn-1 .
Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде
P(1,n)/хn-1=2cn3/x2 + 2cn5 /x4 +2cn7 /x6... ( 1+ 1)/xn-1
В числителе каждого члена разложения представлены сочетания cnk, распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра (n+1)/2. В знаменателе функция x2, возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.Первый член разложения, из-за малости x2 имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателя xn-1 (для n=3 – 2/62 ; для n=15– порядка 2/3014 ; для n=25– 2/5024 и т.п.)
Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.
3. Известно, что уравнение второй степени y2 + x2 =z2 решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x,y,z. Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x,y,z, в которых для уравнения (x-2a)3 +(x-a)3 +x3 =(x+b)3 , существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 33 +43 +53 =63 .
Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.
4. Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.
Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b
сosC= (a2+ b2 -c2)/2ab. Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:
а → x; b → y=x-1; c → z=x+1, где x=2n+P(1,n)/xn-1
После выполнения операций преобразования получим:
cosCn= 0,5-1,5/ xn-1 (7)
По полученной формуле проведены расчеты| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | ∞ |
| x-1 | 3 | 5.054 | 7.125 | 9.200 | 19.0.. | ∞ |
| cosC | 0 | 0.202 | 0.289 | 0.337 | 0.421 | 0.5 |
| Co | 90 | 78 | 73 | 70 | 65 | 60 |
Из которых следует :
- искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90о при n=2 до 60о при n→∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.
- В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.
- Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y2 + x2 =z2
Похожие работы
... , что возможно, наша цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски оказались вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за доказательство назначались ...
... , но теоремы, полные доказательства которых, как утверждал Ферма, у него имелись, все впоследствии были доказаны (основной вклад в доказательство которых внёс Эйлер). Но было и одно исключение – приятное исключение – это Великая теорема Ферма: История Большой теоремы Ферма Большой известностью во всём мире пользуется «Великая теорема Ферма» (она же – «Большая» или «Последняя»). ...
... спортивный или престижный характер. Вопреки мнению ученых математиков, ниже предлагается к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде, основанный на разложении уравнений Ферма по биному Ньютона на его составляющие. Это позволяет после ...
... n = q ³ 3 и четном значении z также не имеет целочисленных решений. Поэтому далее достаточно доказать, что целочисленных решений не имеет также и уравнение (14). Доказательство великой теоремы ферма. Уравнения (1) и (14) полностью эквивалентны, т.е. либо не существует целочисленных решений у обоих уравнений, либо целочисленные решения одновременно имеют уравнения (1) и (14). Покажем, что ...
0 комментариев