Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

 

Определение 3.1 Конгруэнция  универсальной алгебры  называется фраттиниевой, если , для любой собственной подалгебры  из ;

 

Определение 3.2 Собственная подалгебра  универсальной подалгебры  называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры  выполняется , всегда следует, что либо , либо .

Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.

Теорема Конгруэнция  универсальной алгебры  является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры  из  имеет место равенство .

Доказательство:

Пусть  --- фраттиниева конгруэнция алгебры  и  --- максимальная подалгебра из .

Так как  и , то .

Обратно. Пусть  удовлетворяет свойству  и пусть  --- любая собственная подалгебра алгебры .

Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра  алгебры , что , но .

Тем самым теорема доказана.

 

Определение 3.3 Пусть  --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда  называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если  тогда и только тогда, когда существуют  такие, что .

 

Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры  назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры  и будем обозначать .

Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.

Доказательство:

Из теоремы (??) следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где  --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что

Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .

Так как  и , то . Аналогичным образом получаем, что .

Следовательно, .

Теорема доказана.

Напомним следующее определение из книги.

 

Определение 3.5 Пусть  --- множество всех максимальных подалгебр алгебры ,  --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями  на , что , .

 

Лемма 3.1 [??] Конгруэнция  является фраттиниевой конгруэнцией на  и всякая фраттиниева конгруэнция на  входит в .

Доказательство:

Пусть  --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в  подалгебра , что . Значит,  и тем более . Следовательно,  фраттиниева конгруэнция на .

Пусть теперь  --- произвольная фраттиниева алгебры ,  --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.

 

Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры  называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .

Теорема Пусть  --- алгебра. Тогда .

Доказательство:

От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент  такой, что  не принадлежит . Так как , то существует  и, следовательно,  для любой максимальной подалгебры  и  --- фраттиниева. Значит,  принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.

Лемма 3.2 Пусть  --- максимальная подалгебра алгебры  такая, что , где , тогда .

Доказательство:

Определим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:  тогда и только тогда, когда существует элементы  и .

Как показано в работе [??]  --- конгруэнция на алгебре .

Покажем, что , т.е.  является смежным классом по конгруэнции .

Пусть  и пусть . В силу определения  найдутся такие элементы  и , что

Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем

Следовательно, .

Лемма доказана.

 

Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры  является нормальной подалгеброй алгебры .

Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в .

Доказательство:

Пусть алгебра  --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры  алгебры  всегда найдется такой номер , что  и .

По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то .

Теорема доказана.

Заключение

В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в .

Список использованной литературы

[1] Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.

[2] Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34

[3] Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

[4] Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.

[5] Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.