ПФ Кобба-Дугласа (CDPF) принадлежит к наиболее известным, широко применяемым ПФ

5. ПФ Кобба-Дугласа (CDPF) принадлежит к наиболее известным, широко применяемым ПФ.

.

 Ученые Дуглас и Кобб предприняли попытку оценить значения , используя данные по американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 года – индекс производства , индекс основного капитала , индекс труда . Они пришли к выводу, что

,

(таким образом имеет место неизменный эффект масштаба). С тех пор формула

,

,

для которой  называют функцией Кобба-Дугласа. Функция наиболее часто используемая претерпела изменения

,

где  - темп научно-технического прогресса. При

.

Предположим, что каждый производственный фактор вырос на %, тогда значения этих факторов будут равны:

;

.

Величина конечного продукта вычисляется:

;

При  конечный продукт возрастает больше чем на r%, при  - меньше, чем на %, а при  - на %.

Частные коэффициенты эластичности равны

.

,

; .

Прологарифмируем CDPF

.

Производственная функция имеет линейный вид.

.

,

то есть при увеличении каждого производственного фактора на % выпуск продукции увеличивается на %.

ЛЕКЦИЯ 6

Тема: Модели типа «затраты – выпуск» В. Леонтьева

План

1. Статическая модель «затраты – выпуск» В. Леонтьева

2. Элементарная теория статической модели «затраты – выпуск»

3. Этапы построения модели «затраты – выпуск»

1 Рассмотрим обобщенную модель некоторой экономической системы (ЭС)

(рис. 6.1).

 

Рассмотрим выбранное описание.

Внешней средой является природа, общество и других экономических систем. На вход подаются ресурсы: природные, трудовые, интеллектуальная информация, капиталы и тому подобное. Экономическая система состоит из ПС производства продукции и ПС распределения. Часть валовой продукции используется для производства другой продукции, а часть используется для потребления, накопления и экспорта.

Например:

 Рис. 6.1

Потоки продукции, циркулирующие между экономическими системами, показаны на рис. 6.2.

 

Рис. 6.2

Пусть  - количество отраслей продукции,

 - вектор валовой продукции (вектор выпуска),

 - вектор конечной продукции,

 - вектор промежуточной продукции (вектор затрат),

где  - валовая продукция -й отрасли,

 - конечная продукция -й отрасли,

 - промежуточная продукция -й отрасли.

Экономическая система характеризуется матрицей А ( производственная матрица).

,

где  - количество продукции -й отрасли, которая затрачивается на производство единицы продукции -й отрасли (предполагается, что в каждой из отраслей производство осуществляется одним технологическим способом). Отрасли выпускают однородную продукцию.

, .

Учитывая, что на производство валовой продукции всех видов затрагивается , ,  - межотраслевые потоки -й продукции, векторы  и  свяжем линейным уравнением:

 

Вид продукции	1	2	…….
1
2
…….	…….	…….		…….	…….	…….

 

которую можно привести к виду

.

Если , то есть ЭС использует весь валовый продукт на собственные нужды, то такая экономика и ее модель называются закрытыми. Если вырабатывается хоть один вид, ненулевой конечной продукции, то экономика и ее модель называются открытыми.

Модель Леонтьева можно использовать для того, чтобы:

1) вычислить по заданному количеству конечной продукции () необходимое количество валовой продукции ().

2) При заданном уровне выпуска валовой продукции () вычислить сколько будет конечного продукта ().

3) Исследовать влияние изменения технологии на производство, то есть вычислить как влияют изменения  на  и .

Для удобства математического исследования модель записывают в векторно-матричной форме

,

или в виде ,

где  - единичная матрица размера , ,

 - символ Кронекера.

«дельта»  а  - производственная матрица ЭС.

С точки зрения общей теории управления задача 2) известна как задача наблюдения для модели, которая отображает процесс распределения валовой продукции.

Задача анализа

Задача синтеза

(показывает процесс планирования валовой продукции  по заданному вектору конечной продукции ).

Существование единого решения такой системы связано с существованием обратной матрицы. Матрица  называется обратной матрицей Леонтьева или матричным мультипликатором модели (сокращенно мультипликатором Леонтьева).

По содержанию матрица

является матрицей коэффициентов полных затрат, так как экономическое объяснение ее элементов следующее:  показывает потребность в валовой продукции -й отрасли для производства единицы конечной продукции -й отрасли.

Произведение матрицы  на вектор конечного продукта  равняется .

Решение задачи синтеза  имеет вид:

,

Возникает вопрос относительно условий, при которых существует матрица , для любого неотрицательного вектора , вектор  также неотрицателен. В этом случае матрица  называется продуктивной. Матрица , называется неотрицательной, если все ее элементы неотрицательны. Матрица  любой ЭС по определению должна быть неотрицательной.

Условия продуктивности неотрицательной матрицы:

1) max собственное число матрицы  ,  - собственный вектор.

2)  имеет неотрицательную обратную матрицу .

3) Матричный ряд

.

(ряд Неймана) матрицы  сходится (при этом ).

4) последовательные главные миноры матрицы  положительные.

С 3) выплывает, что решение задачи синтеза можно получить итерационно, вычисляя по формуле:

,

,

где приблизительное решение задачи , с номером  - по предыдущему решению .

Поиск собственных чисел матрицы

,

где  - собственный вектор.

Пример: Дана матрица  

. Найти  и

 и  связаны уравнением

.

Чтобы такая система уравнения имела ненулевое решение, ее определитель должен быть роавен 0.

;

;

; ;

для ;

Лекція 7

Тема :Модели межотраслевого баланса

План

1.                Балансовый метод.

2.                Принципиальная схема межсекторного баланса.

3.                Модель межсекторного баланса затрат труда.

1.В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Если вместо понятия продукт ввести более общее понятие ресурс, то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования. Примеры балансового соответствия, как соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т.д. При этом соответствие понимается либо как равенство, либо менее жестко – как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва.

Важнейшие виды балансовых моделей:

·                   статические;

·                   динамические;

·                   частные материальные, трудовые и финансовые балансы;

·                   межотраслевые балансы;

Балансовый метод и создаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Для выявления диспропорций используется балансовые модели, в которых фактические ресурсы сопоставлялись бы с потребностью в них.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Например, в модели межотраслевого баланса такую роль играет технологическая матрица. По многим причинам исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут быть использованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому подготовка информации для ввода в модель является весьма серьезной проблемой. Так, при построении модели межотраслевого баланса используется специфическое понятие чистой (или технологической ) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Переход от хозяйственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, например, агрегирования отраслей, исключения внутриотраслевого оборота и др. В этих условиях понятия «межпродуктовый баланс» и «межотраслевой баланс» практически идентичны, отличие заключается лишь в единицах измерения элементов баланса.

Балансовые модели относятся к тому типу экономико-математических моделей, которые называются матричными. В матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое выражение.

2.Первый квадрант МОБ — это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещенные на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются x_ij, где i и j – соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Так, величина x₃₂ понимается как стоимость средств производства, произведенных в отрасли с номером 3 и потребленных в качестве материальных затрат в отрасли с номером 2. Таким образом, первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Во втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования (на потребление и накопление). В таблице этот раздел дан укрупнённо в виде одного столбца величин Y_i; в развернутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показан дифференцированно по направлениям использования на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. Итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода, а в развернутом виде — также распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления, структуру потребления и накопление по отраслям производства и потребителям.

Третий квадрант МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумму амортизации (c_i) и чистой продукции (v_j+m_j) некоторой j-й отрасли будем называть условно чистой продукцией этой отрасли и обозначать в дальнейшем Z_j.

Четвертый квадрант баланса находится на пересечении столбцов второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно- чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства. Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. общий итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Следует особо отметить, что хотя валовая продукция отраслей не входит в рассмотренные выше четыре квадранта, она представлена на принципиальной схеме МОБ в двух местах в виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции замыкают схему МОБ и играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов (т.е. проверки самого баланса), так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.

.

.

.

.

.

3.Рассмотрим баланс пр-ва и распределения продукции. Обозначим затраты живого труда в производстве j-го продукта через L_j, а объем производства этого продукта (валовой выпуск), как и раньше, через X_j. Тогда прямые затраты труда на единицу j-го вида продукции (коэффициент прямой трудоемкости) можно задать следующей формулой:

.

Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции j-го вида через T_j, то произведения вида a_ijT_i отражают затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу j-го продукта через i-e средство производства; при этом предполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат а_ij выражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу j-го вида продукции (коэффициент полной трудоемкости) будут равны

 .

Введем в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой трудоемкости t=(t₁, t₂,…,t_n) и вектор-строку коэффициентов полной трудоемкости T=(T₁, T₂,…,T_n).

Тогда с использованием уже рассматриваемой выше матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А (в натуральном выражении) систему уравнений можно переписать в матричном виде:

Т = ТА + t.

Произведя очевидные матричные преобразования с использованием единичной матрицы Е

Т -ТА = ТЕ -ТА = Т(Е -A) = t,

получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:

Т = t(E -A)^-1.

Т = tB=t(I-A)^-1.

Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы будет равна

Используя соотношения, приходим к следующему равенству:

,

tX = ТУ.

Лекция 8

Тема: Одноотраслевые динамические макроэкономические модели

План

1.                Дискретная и непрерывная одноотраслевая динамические модели.

2.                Открытая одноотраслевая динамическая модель.

3.                Использование одноотраслевых динамических моделей.

1.Рассмотрим модель экономики, являющейся декомпозицией общей вербальной модели (рис. 8.1). Пусть ПС производства выпускает продукцию только одного вида (так называемая однопродуктовая или односекторная модель)

Рис. 7.1

X_t=W_t+C_t+A_t+I_t.

На рисунке показаны факторы, характеризующие производственный процесс:

L – трудовые ресурсы,

ОПФ – ОПФ или основной капитал,

N – природные ресурсы,

W – предметы труда, возвращенные в производство как часть валового продукта X.

В блоке распределения P_x разделяется на W и конечный продукт Y. В блоке распределения Py разделяется на непроизводственное потребление C и инвестиции I. Инвестиции разделяются на амортизационные отчисления A и чистые инвестиции I_1.

В блоке V чистые инвестиции I₁ превращаются в прирост производственного капитала ΔK.

В модели рассмотрим взаимосвязи: x, y, L, I, I`, C. Предположим, что валовые инвестиции I в том же году полностью используются на прирост ОПФ и амортизацию.

В дискретном варианте эта связь имеет вид:

I_t=qּΔK_t+A_t, (8.1)

где ΔK_t= K_t- K_t-1 – прирост капитала в году t, q – коэффициент пропорциональности (параметр модели), At=μּK_t– амортизационные отчисления,

μ – коэффициент амортизации,

K_t– производств. капитал в году t.

В непрерывном варианте аналог уравнения (8.1) есть :

I(t)=q dK(t)/dt+μK(t).

Отсюда выведем уравнение движения капитала _,

Вернёмся к дискретному варианту:

x_t=W_t+y_t;

y_t=I_t+C_t;

Так как I_t=qΔK_t+A_t, то

x_t=W_t+y_t=W_t+I_t+C_t=W_t+qΔK_t+A_t+C_t ;

Если предположить, что промежуточные затраты W являются пропорциональными выпуску валовой продукции XW_t = ax_t, то

x_t = ax_t+qΔK_t+μK_t-C_t,

илиΔK_t=(1/q)[(1-a)x_t-μK_t-C_t] – дискретная однопродуктовая динамическая модель. Здесь a – коэффициент производственных затрат.

В непрерывном варианте :

K`(t)=(1/q)[(1-a)x(t)-μK(t)-C(t)] – непрерывная однопродуктовая динамическая модель.

2.Предположим, что все валовые инвестиции I направлены на введение в действие новых ОПФ (основной производственный капитал не изнашивается), при этом прирост выпуска продукции

Δx_t= x_t+1-x_t,

пропорциональный инвестициям

It = νΔx_t,

ν – коэффициент использования инвестиций,

тогда

W_t=ax_t,

a – коэффициент производственных затрат.

 x_t=W_t+y_t,

 y_t=I_t+C_t ;

xt=axt+νΔxt+Ct;

В непрерывном варианте эта модель имеет вид

x(t)=ax(t)+ν dx(t)/dt+C(t).

3.Рассмотренные динамические модели односекторной экономики могут быть использованы для разных целей. С одной стороны на их основе можно создавать более сложные, но и более реальные многосекторные модели. С другой стороны их можно использовать для поиска путей наилучшего развития экономики. Это приводит к задачам оптимального управления.

Из непрерывной однопродуктовой динамической модели

K`(t)=(1/q)[(1-a)x(t)-μK(t)-C(t)],

можно записать:

x(t)=ax(t)+qK`(t)+μK(t)+C(t).

Наилучшим путем развития экономики на отрезке времени [t₀, t₁], t₁<t₀ может быть тот, что максимизирует дисконтированное суммарное потребление

,

где C(t) – непроизводственное потребление,

D(t) – функция дисконтирования, которая изображает меру предпочтений потребления продукции в данный момент времени t, по сравнению с другим моментом времени.

Выпуск продукции x(t) ограничивается производственными возможностями, которые определяются моментом времени t, капиталом K(t), трудовыми ресурсами L(t) и задаются функцией

X = F( t, K(t), L(t) ),

которая является производственной функцией. Для всех t используется неравенство

0≤x(t) ≤F( t, K(t), L(t) ),

Изменение капитала ограничено снизу

K(t) ≥ K_min, t₀ ≤ t ≤ t₁.

Кроме этого считается, что в начальный момент времени известен выпуск

x(t₀)=x₀.

РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1 Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. – К.: КНЕУ, 2003.- 408с.

2 Пономаренко О.І. Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі.: Навч.посібник. К.-Либідь,1995. - 240с.

3 Клебанова Т.С., Забродський В.О., Полякова О.Ю., Петренко В.Л. Моделювання економіки: Навч. посібник. – Харків: Видавництво ХДЕУ, 2001.-140 с., рос. мовою.

4 Бережна О.В., Бережной В.Г. Математичні методи моделювання економічних систем. Навч. посібник. – М.: Фінанси та статистика, 2001. – 368с., рос. мовою.

5 Хачатрян С.Р. Прикладні методи математичного моделювання економічних систем. Науково-метод. Посібник / Московська академія економіки та права. – М.: “Екзамен”, 2002. - 192с., рос. мовою.

6 Губин Н.М. и др. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи: Учеб. пособие / Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. – М.: Радио и связь, 1993. –376с.

7         Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. - М.: Издательство УРАО, 1998. – 160с.

8         Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. - 391с.

9         Лопатников Л.И. Популярный экономико-математический словарь – М.: Знание, 1990. – 256с.

10    Методичні вказівки до практичних занять з курсу "Економіко-математичні методи та системи в менеджменті" для студентів усіх форм навчання спеціальностей "Інформаційні системи в менеджменті", "Економічна кібернетика" / Упоряд. Н.Б. Івченко. – Харків: ХТУРЕ, 1999.- 40с.