Некоторые понятия функций нескольких переменных

2. Некоторые понятия функций нескольких переменных

Многим экономическим явлениям присуща многофакторная зависимость, поэтому при изучении процессов в экономике вводят функции нескольких переменных.

Переменная y называется функцией нескольких переменных x₁,x₂,…,x_n, если существует отображение f: Rⁿ→R. Множество всех точек М, участвующих в этом отображении, называется областью определения функции, где М(x₁,x₂,…,x_n).

Наиболее часто встречается функция двух переменных. В экономике для её изучения широко применяются линии уровня.

Линиями уровня функции двух переменных y=f(x₁,x₂) называется проекция пересечения графика функции y=f(x₁,x₂) с горизонтальной плоскостью на плоскость Ох₁х₂, причём линия пересечения находится от плоскости Ох₁х₂ на высоте С. Уравнение линии уровня имеет вид f(x₁,x₂)=С. Число С в этом случае называется уровнем.

Как и в случае одной переменной, функция y=f(x₁,x₂) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки. В первую очередь это точки экстремума. Точки экстремума функции двух переменных определяются аналогично точкам экстремума функции одной переменной

Сформулируем необходимое условие экстремума – многомерный аналог теоремы Ферма: Пусть точка () - есть точка экстремума дифференцируемой функции y=f(x₁,x₂). Тогда частные производные (), () в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции y=f(x₁,x₂), т. е частные производные  равны нулю, называются стационарными.

Равенство нулю частных производных выражает лишь необходимое условие, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

у

 На рисунке изображена седловая точка М(). Частные производные (),() равны нулю, но экстремума в точке М() нет. Такие седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Нужно отделить их от точек экстремума. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Пусть функция y=f(x₁,x₂):

a)     определена в некоторой окрестности стационарной точки (), в которой ()=0 и ()=0;

b)    имеет в этой точке непрерывные частные производные второго поряка()=А,()=()=В,()=С.

Тогда, если =АС-В²>0, то в точке () функция имеет экстремум, причём, если А>0 минимум, А<0 – максимум. В случае =АС-В²<0, функция y=f(x₁,x₂) экстремума не имеет. Если =АС-В²=0, то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым. Требуются другие методы определения экстремума. [11]

В экономических задачах чаще встречаются задачи на условный экстремум. Перейдем к рассмотрению таких задач.