ОПИС І РОЗРОБКА НОВОГО МАТЕМАТИЧНОГО МЕТОДУ ПРОГНОЗУВАННЯ КРОС-КУРСІВ

3. ОПИС І РОЗРОБКА НОВОГО МАТЕМАТИЧНОГО МЕТОДУ ПРОГНОЗУВАННЯ КРОС-КУРСІВ

3.1 Математична постановка задачі

Розгляд графіка будь якої валюти показує, що він являє собою суму синусоїд з різним періодом (рис. 3.1).

Рис. 3.1. – Співвідношення хвильоподібності крос-курсу з синусоїдою

Дослідження впливу зміни цих проміжків часу, розділених на амплітуди характеристичних частот, повинно забезпечити покращення прогнозування, – перетворення Фур’є (2.4) і методів нелінійно регресійного аналізу(2.2).

3.2 Проведення розрахунків

Проведемо дослідження графіка зміни крос-курсу EUR/JPY в наступних періодах:

25.01.2007 – 5.02.2007

6.02.2007 – 15.02.2007

16.02.2007 – 23.02.2007

26.02.2007 – 5.03.2007

6.03.2007 – 15.03.2007

16.03.2007 – 25.03.2007

26.03.2007 – 5.04.2007

6.04.2007 – 15.04.2007

16.04.2007 – 25.04.2007

26.04.2007 – 4.05.2007

06.05.2007 – 15.05.2007

16.05.2007 – 25.05.2007

Таким чином утворено 12 вибірок по 240 точок у кожній. Вихідні дані розміщені в таблиці 3.1.

Таблиця 3.1.

Вихідні дані до першого періоду (25.01.2007 – 5.02.2007)

Для кожної вибірки розрахуємо спектральну щільність за (2.4) із застосуванням програми Statistica 6.0 (рис. 3.2.). Приклад такого графіка для 2-го та 8-го періодів показано на рис. 3.3..

Рис. 3.2. – Інтерфейс програми «Statistica 6.0»

Рис. 3.3. – Графік спектральної щільності

Проаналізувавши 12 періодів на графіках спектральної щільності ми бачимо, що вини мають одну, дві або і три амплітуди коливання але всі вони схожі однією чітко вираженою амплітудою з періодом f = 0,02.

Тепер, знайшовши графічну закономірність за допомогою перетворення Фур’є, – а це є ключовим моментом в прогнозуванні економічних періодичних процесів, необхідно описати закономірність математично. Виконаємо математичний опис знайдених закономірностей за допомогою методів математичного програмування (2.2).

Представимо математичну модель в виді таблиці 3.2..

Таблиця 3.2.

Математична модель

Для розробки та побудови даної математичної моделі було взято 12 періодів, t – середина інтервалів, A _{f = 0,2}визначено графічним методом з графіків спектральної щільності, в стовбець A – занесена формула (2.2) з посиланням на коефіцієнти A, B, C, D, E, F, G, H.

Визначимо вищевказані коефіцієнти в MS Excel (табл. 3.3.). Вже перші розрахунки за допомогою функції “Пошук рішень” електронних таблиць Excel показали, що константи E та G в (2.2) визначаються як нулі у випадку, коли амплітуда синусоїди менше середнього значення функції у 3-10 разів. Тому, для збільшення точності розрахунку, рекомендується встановлювати обмеження на значення констант за наступним правилом:

На графіку, який було побудовано за статистичними даними, виділяється елемент кривої, що нагадує синусоїду і знаходиться проміжок значень агрументу, на якому ця синусоїда здійснює повне коливання – Δх. Тоді, для константи E треба встановити наступне обмеження

E ≤ (0,5 – 1,5) 2π/Δх₁. (3.1)

Початкові значення констант B та F рекомендується становити рівними одиниці, константи Н – середньому арифметичному статистичного значення функції, константу – D - 0.05, А=0.

Константа C визначається з максимальної амплітуди Δу тієї частини графіку, яка визначена як синусоїдальна, і має наступні обмеження

С ≤ (0,4 – 0,6) Δу. (3.2)

Таблиця 3.3.

Математична модель з відомими коефіцієнтами

Тепер, коли відомі всі коефіцієнти і систематизована модель (2.2) можливо прогнозувати направлення крос-курсів конвертованих валют в майбутньому. Прогнозування тренду крос-курсу виконується наступним чином:

в формулу (2.2) підставляеться наступний проміжок часу, період, якиий повинен бути одинаковим по розміру з попередніми;

провести обчислення (2.2) з заздалегідь відомими коефіцієнтами.

Достовірним сигналом, що в наступному періоді тренд стане зростаючий буде (табл. 3.4.):

A _t ≤ A_{t + 1} (3.3)

Достовірним сигналом, що в наступному періоді тренд стане спадаючий буде:

A _t ≥ A_{t + 1} (3.4)

Таблиця 3.4.

Прогнозування тренду в майбутньому періоді

Як видно з табл. 3.4. прогнозування можливо проводити до безкінечності, однак для більш ефективного прогнозування, тобто, для збільшення довірчої ймовірності, - треба в кінці кожного періоду проводити перерахунки.