Зонна теорія електропровідності напівпровідників

ЗМІСТ

Вступ.

Розділ 1. Поняття напівпровідників.

Розділ 2. Рівняння Шредінгера для кристала.

Розділ 3. Зонний характер енергетичних спектрів електронів в кристалі. Адіабатичне та одноелектронне наближення. Наближення сильнозв’язаних електронів.

Розділ 4. Зони Бріллюена.

4.1. Поняття про зони Бріллюена.

4.2. Приведені зони.

4.3. Ефективна маса електрона.

4.4. Енергетична будова алмазоподібних напівпровідників.

Розділ. 5. Заповнення зон електронами та електричні властивості напівпровідників.

Розділ 6. Діркова провідність напівпровідників.

Розділ 7. Домішкові рівні у напівпровідниках.

7.1. Донорні рівні.

7.2. Акцепторні рівні.

7.3. Рівні прилипання.

6.4. Глибокі домішкові рівні.

Висновки.

Список використаної літератури.

Вступ

Сьогодні, коли виробництво напівпровідників стало окремою галуззю промисловості і сьогодні, коли напівпровідники все в більшій мірі визначають рівень прогресу в таких галузях як радіоелектроніка, обчислювальна техніка, зв'язок, автоматизація виробництва, знання фізики напівпровідників стає потребою не тільки фахівців у даній галузі, але і більш широкого кола людей. Вимоги промисловості та техніки стимулюють у наш час розвиток науки і фізики напівпровідників зокрема. За п’ятдесят років свого розвитку фізика напівпровідників та промисловість із нею пов’язана, пройшла великий шлях, від перших діодів до мікросхем. У мікросхемі 1965 року випуску було 30 транзисторів, тоді як сьогодні чип Radeon HD 3870 містить 660 мільйонів транзисторів.

Для створення напівпровідникових виробів потрібно мати розвинуту промисловість, адже потрібно виготовляти чисті кристали кремнію та германію, вміст домішок у яких буде надзвичайно малим ( до 10^-10 ). Довгий час це було неможливо. Потрібно вміти вводити в кристали кремнію точно дозовані кількості домішок, тощо. Але все це було б неможливим без знання внутрішньої будови напівпровідників. Фізика напівпровідників саме і вивчає будову напівпровідників, вона встановила певні агальні принципи їх функціонування, тощо.

Завданням даної роботи буде встановити внутрішню будову напівпровідників та пояснити на основі внутрішньої будови їх властивості.

Розділ 1. Поняття напівпровідників

Всі речовини в природі по електрофізичних властивостях можуть бути розділені на три великі класи: метали, напівпровідники і діелектрики. Найпростіше, здавалося б, класифікувати речовини по питомому електричному опору. У металів він знаходиться в межах 10^-6 – 10^-4 Ом∙см (наприклад, питомий опір срібла при кімнатній температурі складає 1,58∙10^-6 Ом∙см, сплав ніхром має питомий опір 1,05∙10^-4 Ом∙см). Речовини з питомим опором від 10^-4 до 10¹⁰ Ом∙см були віднесені до напівпровідників (наприклад, питомий опір сірчистого кадмію при кімнатній температурі залежно від технології його виготовлення лежить в межах від 10^-3 до 10¹² Ом∙см, а германію – від 10^-4 до 47 Ом∙см). Нарешті, речовини з питомим опором більше 10¹⁰ Ом∙см вважаються діелектриками (наприклад, при 200°С питомий опір слюди залежно від її складу має 10¹³ – 10¹⁶Ом∙см, скла – 10 ⁸ – 10¹⁵ Ом∙см).

З наведених прикладів видно, що при переході від одного класу речовини до іншого значення питомого опору перекриваються. Тому питомий опір не може служити як однозначний критерій для класифікації речовин. Однак при знятті температурних залежностей питомого опору розходження між металами й напівпровідниками часто проявляється досить чітко.

Для напівпровідників характер температурної залежності питомого опору і провідності інший. Для деякого інтервалу температур ці залежності мають вигляд:

(1.1),

(1.3),

де  - деякі постійні для даного інтервалу температур величини, характерні для кожної напівпровідникової речовини.

Такі залежності питомого опору і провідності від температури мають так звані не вироджені напівпровідники. Для них, як видно з графіка температурної залежності питомої провідності, наведеного на рисунку 1.1. характерна наявність позитивного температурного коефіцієнта питомої провідності, тобто:

>0, (1.3)

Рис. 1.1. Зміна питомого опору кремнію залежно від температури.

Отже, напівпровідники – це такі речовини, які при кімнатній температурі мають питому провідність в інтервалі від 10^-10 до 10⁴ См (Ом ^-1∙см ^-1), залежну в значній мірі від структури речовини, вигляду і кількості домішок і від зовнішніх умов: температури, тиску, освітлення, опромінювання ядерними частинками, електричного і магнітного полів.

Згідно цьому визначенню між напівпровідниками і діелектриками не існує принципової якісної відмінності, бо вони володіють провідністю тільки унаслідок теплового збудження носіїв заряду. Більш різні за своєю природою метали і напівпровідники. У металів провідність слабо залежить від присутності домішок, зовнішніх умов і при будь-якій температурі концентрація вільних електронів залишається постійною і складає величину порядку 10²² см^-3. Відмінність між металами і напівпровідниками виявляється і в тому, що при проходженні струму через ланцюг, що складається з двох напівпровідників, сила струму нелінійно залежить від прикладеної до ланцюга різниці потенціалів.

Напівпровідникові речовини також можуть бути як електронними, так і іонними.

До електронних напівпровідників відноситься величезна кількість самих різних речовин. Напівпровідниками є як прості речовини: бор В, вуглець С, кремній Si, фосфор Р, сірка α-S, германій Ge, миш'як As, сіре олово α-Sn, сурма β-Sb, селен Se (червоний), теллур Тe, йод J, так і багато складних хімічних сполук.

Окрім неорганічних речовин напівпровідниковими властивостями володіють також і деякі органічні речовини, такі, як фталоцианіни і поліциклічні ароматичні вуглеводні (наприклад, бензол, нафталін, антрацен, нафтацен і ін.).

Розділ 2. Рівняння Шредінгера для кристала

Тверде тіло, як відомо, складається з атомів, тобто з ядер атомів і електронів. Ядра атомів утворюють кристалічну решітку, яка володіє властивістю просторової періодичності. При накладанні зовнішнього електричного поля решітка практично не деформуються, хоча ядра атомів і заряджені. Це відбувається тому, що сили, що утримують ядра атомів у вузлах кристалічної решітки, звичайні значно більше тих сил, які створюються зовнішніми електричними полями. Ті з електронів, які не знаходяться близько до ядра атома і тому до нього не дуже сильно притягуються, можуть пересуватися по твердому тілу, створюючи електричний струм. Проте при кількісному описі цього явища виникають серйозні труднощі. Вони пов'язані з тим, що електрони є зарядженими частинками і при своєму русі по твердому тілу зустрічаються з іншими електронами. Але оскільки між електронами діють електричні сили відштовхування, той рух електрона виявляється залежним від руху електронів, що оточують його. Іншими словами, в даному випадку треба вирішувати не одноелектронну, а багатоелектронну задачу. Тому для визначення стаціонарних станів і енергетичного спектру сукупності більшого числа атомних ядер і електронів в кристалі потрібно розвязати рівняння Шредінгера:

ĤΨ=- ЕΨ (2.1),

де Ĥ – гамільтоніан  кристала; Ψ - власна хвилева функція гамільтоніана; Е - енергія кристала.

Значення хвилевої функції кристала залежать від координат всіх електронів г_i і всіх атомних ядер Rα:

Ψ = Ψ(г₁, г₂ . . ., г_n, R₁,R₂ . . ., R_N). (2.2)

З урахуванням цих складових гамільтоніана рівняння Шредінгера прийме вигляд:

Число незалежних змінних в рівнянні визначається повним числом частинок в кристалі, які в 1 см³ речовини складають величину порядка 10²³. Таке завдання в даний час не може бути вирішена в загальному вигляді. Можливе лише наближене рішення задачі, яке досягається за допомогою ряду послідовних наближень.

Розділ 3. Зонний характер енергетичних спектрів електронів в кристалі. Адіабатичне та одноелектронне наближення. Наближення сильнозв’язаних електронів.

Розділимо всю систему частинок на легкі (електрони) і важкі (атомні ядра). У рівноважному стані середні значення кінетичної енергії цих частинок одного порядку. Оскільки маса ядра набагато більше маси електрона, тобто  М_α >> m₀, то швидкості руху електронів набагато перевершують швидкості ядер (приблизно на два порядки). При кожній зміні положення атомних ядер практично миттєво встановлюється просторовий розподіл електронів, відповідний новому положенню ядер. Це дозволяє в першому наближенні розглядати рух електронів в потенційному полі фіксованих ядер. В цьому випадку хвилева функція і енергія електронів будуть деякими функціями, адіабатично змінними із зміною розташування ядер, координати яких входитимуть в ці функції як параметри. При вивченні руху ядер, навпаки, слід враховувати не миттєве положення електронів, а поле, що створюється їх середнім просторовим розподілом. Такий наближений розгляд називається адіабатичним, або наближенням Борна - Оппенгеймера. Скористаємося найбільш грубим наближенням, вважаючи, що ядра нерухомі. Для цього випадку координати ядер R₁,…, R_N вже незмінні координати вузлів кристалічної решітки. Для випадку ядер, що нерухомі, коли R_α = R_αо, кінетична енергія ядер обертається в нуль, а енергія їх взаємодії V_o приймає постійне значення. Вибором початку відліку енергії її можна перевести в нуль. З урахуванням цього рівняння спрощується і тепер описує рух електронів в полі ядер, які нерухомі. В результаті рівняння Шредінгера для електронів, рухомих в полі ядер, запишеться у вигляді:

(3.1)

Для подальшого скорочення числа змінних в рівнянні використовується валентна апроксимація. Приймається, що всі електрони атома, окрім валентних, разом з ядром утворюють нерухомий атомний залишок (іон). При цьому рівняння записується тільки для валентних електронів, рухомих в потенціальному полі фіксованих іонів.

Не дивлячись на проведені спрощення, рівняння (3.1) не може бути вирішене в загальному вигляді: як і раніше ми маємо справу із завданням багатьох частинок, непіддатливим безпосередньому рішенню.

Одним з найбільш поширених методів рішення багатоелектронної задачі для кристалів є метод Хартрі-Фока, що дозволяє багатоелектронне завдання звести до одноелектронного. Його ідея полягає в тому, що енергія попарної взаємодії електронів замінюється взаємодією кожного електрона з усередненим полем решти всіх електронів. Нехай потенційна енергія 1-го електрона в цьому полі буде Ω. Вона залежить не тільки від руху решти всіх електронів, але залежить і від руху даного електрона, оскільки його рух впливає на рух решти електронів. Оскільки поле визначає не тільки рух даного електрона, але і само залежить від його руху, то це поле отримало назву самоузгодженого. Введення самоузгодженого поля дозволяє в рівнянні подвійну суму ½ замінити сумою , кожен член якої залежить від координат одного електрона, тобто:

(3.2)

В цьому випадку Q(t) є потенційна енергія 1-ro електрона в полі решти всіх електронів. Аналогічно потенційну енергію взаємодії електронів з ядрами можна також представити у вигляді суми

(3.3)

де U_i(r_i) - потенційна енергія i-ro електрона в полі всіх ядер. Тому остаточно рівняння (3.1) модна записати у вигляді:

(3.4)

Із співвідношення видно, що гамільтоніан кристала є сумою гамільтоніанів, кожен з яких залежить від координат однієї частинки. Для цього випадку хвильова функція системи частинок може бути представлена як добуток хвильових функцій, що описують стан окремих частинок системи:

(3.5)

що означає, що електрони поводяться незалежно один від одного (як би не взаємодіючи), а повна енергія системи частинок рівна сумі енергії окремих електронів:

Е_е = Е₁ + Е₂ + ….+Е_п = (3.5)

Таким чином, введення самоузгодженого поля дозволяє розглядати електрони в кристалі як частинки, що не взаємодіють, тобто що рухаються незалежно один від одного. Це і є підставою для уявлення електронів провідності у вигляді ідеального газу.

Введення самоузгодженого поля дозволяє завдання багатьох частинок звести до завдання для одного електрона:

ĤΨ=- ЕΨ (3.6)

Якщо ввести позначення для потенційної енергії електрона в кристалі через функцію V (г), рівну: , то рівняння Шредінгера для електрона кристала запишеться у вигляді:

(3.7)

Отже, стаціонарна хвилева функція електрона в періодичному полі кристала залежить від хвильового вектора до і має вигляд:

 (3.8)

де  є плоскою хвилею, що біжить у напрямі вектора k, а U(r) - деяка функція координат, залежна від хвильового вектора k і має періодичність кристалічної гратки. Вираз для  носить назву хвилі (або функції) Блоха.

Якщо функцію Блоха підставити в рівняння, то матимемо:

(3.9)

З рівності виходить, що енергія електрона в кристалі повинна залежати від хвилевого вектора до, тобто Е = Е (k).

Отже, вирішенням рівняння Шредінгера для електрона в періодичному полі кристала є плоска хвиля, що біжить, модулюється з періодичністю решітки, а енергія електрона залежить від хвилевого вектора k.

Якби отримані результати на основі введення самоузгодженого поля залежали від чисельного значення потенціалу періодичного поля V (г), то в даний час, мабуть, не існувало б такої теорії твердого тіла, оскільки поля ці невідомі і не можуть бути визначені ні теоретично, ні експериментально. Проте для того, щоб отримати фундаментальні результати теорії, немає необхідності знати чисельні значення силових полів, достатньо лише знати, що це поле періодичне в просторі і що його періоди співпадають з періодами решітки.

Розглянемо, що відбувається з енергетичними рівнями при взаємодії великого числа атомів, утворюючих кристал. Рівні енергії внутрішніх електронів, розташованих ближче до ядра, при цьому майже не змінюються. Про це можна судити по рентгенівських характеристичних спектрах, вид яких майже не залежить від сполуки або агрегатного стану речовини. Проте оптичний спектр, обумовлений переходом самих зовнішніх еквівалентних електронів, різко змінюється.

Якщо вважати, що кінетична енергія електронів значно більше просторових змін його потенційній енергії, то періодичний потенціал V (r) можна розглядати як мале збурення вільного руху електронів. Такий підхід, що отримав назву наближення майже вільних електронів, дає більш менш задовільні результати при вирішенні деяких завдань для металів.

Аналіз фізичних властивостей напівпровідників наочніший в наближенні сильно зв'язаних електронів, в якому вважають, що розміщення електрона в кристалі мало відрізняється від розміщення його в ізольованому атомі. Але такий підхід застосовний тільки для електронів, що знаходяться на глибоких енергетичних рівнях атомів, тобто він застосовний для електронів, які слабо взаємодіють з атомами інших вузлів гратки. Тому наближення ні слабо, ні сильно зв'язаних електронів не дозволяють кількісно описати розміщення валентних електронів в кристалі. Іншими словами, ці наближення не можуть бути використані для кількісних розрахунків енергетичного спектру електронів конкретної речовини, але вони добре ілюструють загальні закономірності руху електрона в періодичному полі кристала. Тому хвилеву функцію електрона в кристалі можна представити у вигляді лінійної комбінації атомних хвилевих функцій :

 (3.10)

Тому вираз для енергії електрона в періодичному полі простої кубічної решітки прийме вигляд:

(3.11)

Аналіз даного виразу дозволяє зробити ряд висновків щодо енергетичного спектру електронів в кристалах.

1. Рівень Е_α ізольованого атома при утворенні кристалічної решітки в результаті взаємодії атомів зміщується на величину С. Направлення зміщення рівня залежить від знаку величини С.

2. Атомний рівень в кристалічній решітці розщеплюється в смугу або зону, усередині якої енергія електрона періодично залежить від компонент хвильового вектора k.

3. Екстремальне значення виразу, яке має місце при cos k_ia = ± 1(i=x, y, z), будуть

Е_макс=E_a+ C + 6A;

Е_мін=E_a+ C - 6A.

Отже, для простої кубічної решітки ширина енергетичної зони рівна:

Е_макс - Е_мін = 12А, тобто залежить від величини обмінного інтеграла.

4. Кожен енергетичний рівень ізольованого атома в кристалі розщеплюється в зону. Оскільки величина обмінного інтеграла визначається перекриттям електронних хмар сусідніх атомів, то, чим сильніше перекриваються хвильові функції атомів, тим більше величина А а, отже, і ширина енергетичної зони. Через це для вищих атомних рівнів із-за більшого перекриття хвильових функцій утворюється ширша енергетична зона (мал. 2-3).

5. Енергетичні зони в загальному випадку розділені забороненими інтервалами енергії E_g, званими забороненими зонами (рис. 3.1).

6. Із зростанням енергії ширина енергетичних зон збільшується, а ширина заборонених зон зменшується (рис. 3.1).

7. Рівень Е_а в ізольованому атомі може бути виродженим. У кристалічній решітці виродження може бути часткове або повне. При цьому атомний рівень розщеплюється на декілька зон, число яких відповідає ступеню виродження. Наприклад, для р - стану чинник звиродніння g = 3, оскільки g = 2І+1, де І – азимутне квантове число, яке для р - стану дорівнює 1. Отже, з атомного р - стану в кристалі можливе утворення трьох зон.