Равенство самому себе

3.    Равенство самому себе.

ПОНЯТИЕ ТОЖДЕСТВА

В современной математике существует знак бинарной операции тождества (º), кото­рый редко употребляется из-за отсутствия точного определения. Имеет смысл и предло­жение º А поскольку существует универсальное свойство объектов – время.

В Булевой алгебре тождественная функция есть унарная операция вида (º х) = х, озна­чающая, согласно Джорджу Булю, отсутствие или пустой (Æ) операции, эквивалентная двойному отрицанию (ØØ) и понятиям только и именно. Операция отрицания, обозначае­мая Ø x или , первоначально определенная для логических переменных, имеет смысл для любых предикатов – в том числе для объектов – и означает все кроме или все за ис­ключением.

К сожалению, согласно определению словаря С.И. Ожегова а также в математике и в физике понятие тождества применяется, в качестве синонима равенства. Например, в методических материалах по курсу элементарной математики для школ а также на вступительных экзаменах можно встретить задания типа нижеследующего.

 Доказать тождество:

(sinx + cos(2y - x))/(cosx - sin(2y - x)) = 1/cos2y + tg2y.

Выражения стоящие правой и левой части уравнения эквивалентны по признаку равенства при всех х и у по совокупности алгебраических и тригонометрических свойств формул; они же тождественны своему классу, а также между собой, если второе получатся из первого в результате соответствующего преобразования (идентификация).

Представляется проблемной и фраза: «...в процессе рассуждения каждое осмысленное выражение (понятие, суждение) должно употребляться в одном и том же смысле» (Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. - 4-е изд.-М.: Политиздат, 1981. - 445 с.). Здесь необходимо уточнить два вопроса:

1.    термин «рассуждение» можно было бы конкретизировать такими аналогами, как фраза, монолог, леция, статья, книга, теория, документ – любой логически связанный набор данных, который является объектом и включает «понятия и сужде­ния» в число своих свойств, а также располагает набором соответствующих методов, их ре­ализуюших;

2.    понятие «в одном итом же смысле» соответствует определению эквивалентности, как равенства;

3.    в приведенном выше примере понятие демьянова уха имеет два конкретных значения – пищевой продукт и название литературного произведения.

Есть и такое определение тождества: «Два объекта считаются тождественными, если при данных условиях замена одного из них другим не изменяет состояние системы. Соответственно, обьекты тождественные в одних условиях могут быть не тождественны в других». Согласно нему тождественными оказываются оригинал, копия, подделка а также плагиат, если замена не приведет к немедленным событиям – или, если ее никто не заметит – что, на самом деле, есть частный случай эквивалентности. Кроме того, замена объек­тов – элементов системы – означает вообще говоря другую систему и предполагает возникновение дополнительного различия.

Понятия являются тождественными в исходном контексте, если их замена приводит обобщению, конкретизации или не изменяет его смысл.

Такое определение не противоречит закону тождества поскольку не может быть двух понятий одновременно тождественных во всех допустимых контекстах. Под контекстом понимается любое логически связное рассуждение, которое, вместе со своими структурными элементами, возможно идентифицировать. Известные контексты – это: известные языки, точные науки, полные собрания сочинений и др.  

Закон тождества запрещает существование двух одинаковых понятий, не имеющих никаких отличий, равно как и двух разных – не имеющих ничего общего, кроме того, он  говорит о том, что вводя новое понятие нужно сформулировать определение через существующие, а также указать индивидуальное отличие от них; он постулирует принципиальную возможность отождествления любых языковых понятий в некотором правильном контексте.

Аристотель писал, что невозможно ничего мыслить, «если не мыслишь что-нибудь одно» (тут слово одно имеет смысл конкретное), т.е мышление оказывается невозможным, если отрицать все существующие понятия – что есть преемственность.

 Условные обозначения