Принятие решений
Определение игры
Классификация игр
Матричные игры
Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач
Примеры матричных игр в чистой и смешанной стратегиях Уменьшение порядка платёжной матрицы
Решим обе задачи с использованием симплекс-метода, применяя программный комплекс "Линейная оптимизация"
Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной хЕ и хI в целевую функцию прямо пропорционален этим переменным
Математический аппарат теории игр и его применение к решению прикладных задач
Навигация
Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач
Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях
98743
знака
23
таблицы
11
изображений
2.1 Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач
Используя теорему о минимаксе, можно утверждать, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии.
Теорема: пусть А – матричная игра и строки 
данной матрицы являются доминирующими. Тогда игрок 1 имеет такую оптимальную стратегию х, что 
; кроме того, любая оптимальная стратегия для игры, получающаяся в результате удаления доминирующих строк, будет также оптимальной для первоначальной игры.
Пример 1. Игра доминирования
Рассмотрим игру с матрицей 
. Здесь второй столбец доминирует 4 и игрок 2 соответственно не будет использовать 4 стратегию. Поэтому можно рассмотреть матрицу следующего вида 
. В этой матрице третья строка доминирует первую. При удалении получается матрица 
. А в этой матрице третий столбец доминируется вторым. Следовательно, исходная матрица сводится к следующей матрице 
.
Пример 2. Игра на уклонение.
Предполагается, что игроки выбирают целые числа i и j между 1 и n, а игрок 1 выигрывает величину 
, т.е. расстояние между i и j. Пусть первый игрок придерживается стратегии 
, тогда 
для всех 
((
- значение игры).
· Пусть 
нечётно, тогда игрок 2 имеет чистую стратегию 
для всех 
· Предположим, что 
чётно, тогда игрок 2 имеет такую стратегию 
где 
, 
, 
, 
, 
, 
для всех 
. Теперь используя теорему можно убедиться, что значение игры 
. Игрок 1 имеет оптимальную стратегию 
, а оптимальная стратегия игрока 2 равна 
, если и 
если
Приведём теорему, по которой решалась эта игра. Теорема: для того, чтобы ситуация 
была равновесной в игре 
, а число - значение игры , необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства. Для всех 
и 
: 
).
Ситуация называется ситуацией равновесия в чистых стратегиях, если для любых 
выполнено двойное неравенство 
(*). Если каждый из игроков стремится достичь ситуации равновесия, то принцип, которому они следуют, называют принципом равновесия. Для игры, заданной матрицей 
равенство 
(т.е. верхнее значение игры равно нижнему значению) записывается в виде 
, а неравенство (*) – в виде 
, где 
чистые максиминная и минимаксная стратегии соответственно игроков I и I I.
Пример 3. Игра «Дуэль».
Два дуэлянта (игроки А и В) начинают сходиться в момент времени t=0. Встреча произойдёт в момент времени t=1. У каждого есть возможность выстрелить в любой момент времени. Если одному из них удастся выстрелить раньше соперника, то он становится победителем. Если же оба выстрелят одновременно, то дуэль закончится вничью. Если игрок А произведёт выстрел в момент времени x (
) то его выстрел будет успешным с вероятностью р(x). Подобным образом будет вероятным выстрел игрока В в момент времени y (
) c вероятностью q(y). При условии 
игрок А выиграет с вероятностью р(x), а проиграет с вероятностью (1- р(x)) q(y). Тем самым его средний выигрыш при будет равен 
. С другой стороны, если x> y, то его средний выигрыш будет равен 
. При x= y средний выигрыш 
. Таким образом, функция H(x,y) игрока А имеет вид
и антагонистическая игра задана. В частности, если игроки стреляют без промаха,
, 
Похожие работы
... смешанными стратегиями игроков 1 и 2 называются такие наборы хо, уо соответственно, которые удовлетворяют равенству Е (А, х, y) = Е (А, х, y) = Е (А, хо, уо). Величина Е (А, хо ,уо) называется при этом ценой игры и обозначается через u. Имеется и другое определение оптимальных смешанных стратегий: хо, уо называются оптимальными смешанными стратегиями соответственно игроков 1 и 2, если они ...
... входить в его оптимальную стратегию с положительной вероятностью, если для них выполняется равенство М(х, yo) = V. Такие чистые стратегии х называются существенными. Теорема 5. Пусть дана бесконечная антагонистическая игра с непрерывной и дифференцируемой по y на единичном квадрате при любом х функцией выигрышей М(х, y), с оптимальной чистой стратегией yo игрока 2 и ценой игры V, тогда : 1) ...
... игроков не только на максимизацию своего выигрыша, сколько на минимизацию выигрыша противника. С другой стороны, естественно также рассматривать подходящим поведение игроков в конечных бескоалиционных играх, направленное на максимизацию своего выигрыша с учётом максимального противодействия игрока, т.е. подходящей стратегией игрока 1 считать оптимальную смешанную стратегию игрока 1 в матричной ...
... общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры. Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценить количественно. Игрок - одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока - его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. ...
0 комментариев