Основная фигура задачи - пятиугольник

1.2.1. Основная фигура задачи - пятиугольник.

1.2.2. Дано: т.В1, В2, В3, В4, В5.

Найти: т. А1, А2, А3, А4, А5.

Решение:

 Для наглядности начертим на плоскости пятиугольник и отметим середины сторон, как если бы задача была решена. Проведем в пятиугольнике диагональ и получим две фигуры: четырехугольник и треугольник, середины сторон четырех-

угольника являются вершинами параллелограмма. Соединив точки В2, В3, В4, получим треугольник и достроим его до параллелограмма и найдем середину диагонали, которая параллельна прямой В1 В5 (по теореме о средних линиях треугольника). Таким образом, можно легко построить точки А1, А2 и А5, а зная их и А3, А4, при помощи параллелограмма.

1.2.3. Пусть будет не пятиугольник, семиугольник. Для этого нужно взять не пять, а семь точек, любые три из которых не лежат на одной прямой. В результате получается довольно трудная задача: " На плоскости отмечены семь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Постройте семиугольник, для которого эти точки являются серединами сторон". ( Составлена самостоятельно).

1.3. Перевод задачи с геометрического языка на алгебраический.

В результате таких преобразований обычно получаются красивые и интересные задачи, которые имеют сложное решение. Этот способ перефразировки иллюстрирует тесное взаимодействие алгебры и геометрии. Конечно, перевод возможен не только с геометричес- кого языка на алгебраический, но и наоборот, хотя решение алгебраических задач на гео- метрическом языке встречается гораздо реже, ввиду сложности и характерности решения, присущего таким задачам.

Алгоритм конструирования:

1.3.1. Выбор условий, которые можно заменить алгебраическими выражениями.

1.3.2. Решение задачи.

1.3.3. Изменение условий.

1.3.4. Редактирование формулировки.

1.3.5. Решение полученной задачи.

Пример 3:

Задача: "Если треугольник вписан в окружность, то любая его сторона будет равна произведению двух радиусов этой окружности на синус угла, противоположного этой стороне". ("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)

1.3.1. В данном случае перефразировки обычно берутся не отдельные фразы или термины, а части фигур (стороны, углы, диагонали и т.д.).

Условия для перевода: сторона СВ треугольника АВС, сторона АК треугольника АВК, ÐВАС, ÐАВК, радиус и диаметр.

1.3.2. Решение этой задачи приведено в пункте 1.1.2.

1.3.3. Пусть СВ=а, АК=в, ÐВАС=a, ÐАВК=b, ВК=х, ОН (радиус)=у.

1.3.4. Конечная формулировка выглядит так: “Найти отношение а к в системе:

а= sinaх

в= sinbу, на основании теоремы синусов”. (Составлена самостоятельно).

1.3.5. Решение: по теореме синусов, а=2 Rsina , тогда выражения а= sinaх, в= sinbу будут частными случаями теоремы, в этом случае sin a =Ö3/2, sinb=1/2, а х и у - диаметр и радиус соответственно, х=2у,Þв=у, Þа=2×Ö3в/2, Þа/в=1/Ö3.

Ответ: а/в=1/Ö3.

 

1.4. Переход от прямого утверждения к обратному.

Некоторые задачи и теоремы имеют одну интересную особенность: они верны, если их решать от начала до конца, и если логическая цепочка выводов движется в обратном направлении, т.е. данные и искомые величины могут меняться местами.

Алгоритм составления:

1.4.1. Выявление данных и искомых величин.

1.4.2. Решение задачи или доказательство теоремы.

1.4.3. Переход данных величин в искомые и наоборот.

1.4.4. Повторное решение в обратном направлении.

1.4.5. Точная формулировка задачи.

Хочется отметить, что далеко не каждая задача имеет обратный перевод.

Пример 4:

Задача: "Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм" ("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)

1.4.1. Данное: диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, искомое: параллелограмм.

1.4.2. Дано: АС^ВК, ВО=ОК, АО=ОС.

Доказать: АВСК - параллелограмм.

 Доказательство:

ВО=ОК (по условию), АО=ОС (по условию), ÐВОС=ÐАОК (вертикальные), то ВОС= АОК, ÞАК= ВС, ÐОАК=ÐВСО, а т.к. это внутренние накрест лежащие, то АК½½ВС, аналогично АВ=СК и АВ½½СК,Þ АВСК - параллелограмм.

1.4.3. Данные: параллелограмм; искомые: диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1.4.4. Повторное решение: АК½½ВС,ÞÐКАО=ÐВСО, ÐАКО=ÐСВО и АК=ВС, Þ АОК= СОВ и АО=ОС, а ВО=ОК.

1.4.5. Формулировка задачи: "Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам". (Составлена самостоятельно).

 

2. КОНСТРУКЦИЯ.

В задачах этого типа выстраивается сооружение, в качестве деталей которого берутся задачи или теоремы, но данный способ конструирования имеет и обратный переход: чаще всего сложную задачу можно разложить на более простые составляющие, что применяется для решения сложных задач и называется "Частный случай", который рассматривается в следующем пункте.

Преобразование задач одного типа в задачи другого типа – одно из простейших творческих упражнений и часто рекомендуется для самостоятельной работы.

Некоторые задачи конструируются авторами под понравившуюся идею решения. Так же можно сконструировать задачу "под ответ".

 Алгоритм конструирования:

 2.1. Выбор задачи, утверждений решений или результатов для создания конструкции.

2.2. Решение задач или доказательство утверждений (если задача конструируется под ответ или способ решения этот пункт можно исключить).

 2.3. Выбор "деталей" для будущей конструкции (данный пункт также необходим лишь в том случае, когда используются задачи или теоремы).

 2.4. Соединение или корректировка выбранных данных.

 2.5. Уточнение формулировки.

 2.6. Решение получившейся задачи.

Пример 5:

В качестве иллюстрации этого способа конструирования выбрана довольно редко встречающаяся задача-ловушка, которая будет сконструирована под специально подобранные данные.

2.1. В данном случае основой задачи выступает выпуклый четырехугольник с заданными сторонами, две из которых равны одному числу, а две оставшиеся - другому.

2.4. Пусть этот четырехугольник будет иметь длины сторон 6 и 10, и лежать в основании четырехугольной пирамиды, высота которой равна 7, а грани наклонены к плоскости под углом 60°.

2.5. Уточнение формулировки: "В основании четырехугольной пирамиды лежит выпуклый четырехугольник, две стороны которого равны 6 , а две оставшиеся - 10, высота пирамиды равна 7, боковые грани наклонены к плоскости под углом 60°. Найдите объем пирамиды", (ж. “Квант”).