Навигация
По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины
30511
знаков
5
таблиц
2
изображения
1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.
2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А1.
3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии a2.
4. Концы отрезков обозначаются для a11-b11, a12-b21, a22-b22 , a21-b12 и проводятся две прямые линии b11b12 и b21b22.
5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна g. Абсцисса точки с равна р2 (р1 = 1 – р2).
Рис. 1.1. Оптимальная смешанная стратегия
Данный метод имеет достаточно широкую область приложения. Это основано на общем свойстве игр т´п, состоящем в том, что в любой игре т´п каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которой число чистых стратегий не больше, чем min(m, n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2´п и т´2 каждая оптимальная стратегия 
и 
содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2´п и т´2 может быть сведена к игре 2´2. Следовательно, игры 2´п и т´2 можно решить графически. Если матрица конечной игры имеет размерность т´п, где т > 2 и п > 2, то для определения оптимальных смешанных стратегий используется линейное программирование.
1.2.2 Мажорирование (доминирование) стратегий
Мажорирование представляет отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы:
(1.27)
Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преимущество его третьей стратегии перед второй, поскольку при первой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -2 (вторая стратегия) и -0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее можно исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:
(1.28)
С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду: (0 0,5).
Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается в проигрыше (0,5 - выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка.
Мажорирование можно распространить и на смешанные стратегии. Если элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов других строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных комбинаций соответствующих элементов других строк, то эту стратегию можно исключить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистых стратегий.
В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим матрицу игры:
(1.29)
Для первых двух чистых стратегий игрока 1 возьмем частоты их применения (вероятности) равными 0,25 и 0,75.
Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклой комбинацией первой и второй чистых стратегий, взятых с частотами 0,25 и 0,75 соответственно, т.е. смешанной стратегией:
24 × 0,25 + 0 × 0,75 = 6 > 4; (1.30)
0 × 0,25 + 8 × 0,75 = 6 > 5. (1.31)
Поэтому третью стратегию игрока 1 можно исключить, используя вместо нее указанную выше смешанную стратегию.
Аналогично, если каждый элемент некоторого столбца больше или равен некоторой выпуклой линейной комбинации соответствующих элементов некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть из матрицы). Например, для матрицы
(1.32)
третья стратегия игрока 2 мажорируется смешанной стратегией из первой и второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и 0,5:
10 × 0,5 + 0×0,5 = 5 < 6; (1.33)
0 × 0,5 + 10 × 0,5 = 5 < 7. (1.34)
Таким образом, исходная матрица игры эквивалентна матрице следующего вида:
(1.35)
Как видно, возможности мажорирования смешанными стратегиями в отличие от чистых значительно менее прозрачны (нужно должным образом подобрать частоты применения чистых стратегий), но такие возможности есть, и ими полезно уметь пользоваться.
Похожие работы
... на конкретные факты. Таким образом, интерес к процессу, способу решения превращается в интерес к теории, к основанию знания. Глава 2. Эмпирическое исследование влияния сюжетно-ролевой игры на мотивацию дошкольников 2.1 Цели, задачи, методы, база исследования и организация практической работы по изучению мотивации старших дошкольников Мотивационная готовность предполагает наличие у ...
... теорий мотивации имело явно эволюционный, а не революционный характер. Они эффективно используются в решении ежедневно возникающих задач побуждения людей к эффективному труду. 1.3.1. Теории содержания мотивации Содержательные теории мотивации в первую очередь стараются определить потребности и факторы, побуждающие людей к действию, особенно при определении объема и содержания работы. При ...
... которыми оно пользуется в своем воздействии на людей, - это видимость и обман»33. Как видим, именно через такое воззрение на искусство мы можем определить отношение одного из представителей немецкой классической философии к категории игры. Итак, Гегель определяет искусство как «приятную игру». В этом прямая перекличка с Кантом - отнесение игры к сфере незаинтересованного удовольствия. Теперь ...
... различные качества и особый общественно-культурный смысл. Многие исследователи игры связывают ее происхождение с религиозной культурой, к примеру, народные и праздничные игры, сохранившиеся в духовной жизни людей, возникшие из языческих религиозных обрядов. П.Лавров, — русский философ, социолог, публицист (1823-1900), в работе "Переживания доисторического периода" указывает на прямую связь забав с ...
0 комментариев