Зависимость между деформациями и напряжениями при плоском и объемном напряженных состояниях

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛНЕКТРОНИКИ

Кафедра инженерной графики

РЕФЕРАТ на тему:

«ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ ПРИ ПЛОСКОМ И ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ»

МИНСК, 2008

Определим деформации ε₁ и ε₂ в направлениях главных напряжений при плоском напряженном состоянии (рис. 1). Для этого используем закон Гука для одноосного напряженного состояния, а также зависимость между продольной и поперечной деформациями и принцип независимости действия сил (принцип сложения деформаций).

От действия одного напряжения σ₁ относительное удлинение по вертикали равно

и одновременно в горизонтальном направлении относительное сужение равно

От действия одного только σ₂ имели бы в горизонтальном направлении удлинение  и в вертикальном на-

правлении сужение Суммируя деформации, получаем:

 (1)

Эти формулы выражают обобщенный закон Гука для плоского напряженного состояния. Если известны деформации ε₁ и ε ₂, то, решая уравнения [1] относительно напряжений σ₁ и σ₂, получим следующие формулы:

(2)

Аналогично для объемного (пространственного) напряженного состояния, когда все три главных напряжения σ₁, σ₂ и σ₃отличны от нуля, получим:

(3)

Уравнения (3) представляют собой обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния. Деформации ε₁, ε₂ и ε₃ в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Зная ε₁, ε₂ и ε₃, можно вычислить изменение объема при деформации. Возьмем кубик 1x1x1 см. Объем его до деформации равен V₀ = 1 см³. Объем после деформации равен

(произведениями , как величинами, малыми по сравнению с самими , .пренебрегаем).

Относительное изменение объема _v

 (4)

Подставив сюда значения ε₁, ε₂ и ε₃ из уравнений (2.40), получим

 (5)

Из формулы (5) следует, что коэффициент Пуассона μ не может быть больше 0,5. Действительно, при трехосном растяжении, очевидно, объем элемента уменьшиться не может, т. е. ε_v положительно, а это возможно лишь при условии 1—2 μ≥0, так как главные напряжения в этом случае положительны (σ₁≥σ₂≥σ₃>0).

Формулы [2] — [5] выражают зависимость не только между главными деформациями и напряжениями, но и между любыми (неглавными) значениями этих величин, т. е. они остаются справедливыми и тогда, когда на площадках действуют также касательные напряжения.

Это следует из того, что линейные деформации (в направлениях, перпендикулярных т) не зависят от касательных напряжений.

РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ). ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ

 

При растяжении (сжатии) внешние силы совершают работу вследствие перемещения точек их приложения (рис. 2, а).

Вычислим работу статически приложенной внешней силы, т. е. такой силы, величина которой растет в процессе деформации от нуля до своего конечного значения с весьма небольшой скоростью.

Элементарная работа dA внешней силы Р наперемещении dδ равна

 (6)

Но между δ и Р существует зависимость (закон Гука)

,

откуда

Подставляя это значение в формулу (2.43), получаем

Полную работу силы получим, интегрируя это выражение в пределах от нуля до окончательного значения перемещения δ₁

Таким образом,

  (7)

т. е. работа внешней статически приложенной силы равна половине произведения окончательной величины силы на окончательную величину соответствующего перемещения.

Графически работа силы Р выражается (с учетом масштабов) площадью ОАВ диаграммы, построенной в координатах δ — Р (рис. 2, б).

Отметим, что работа силы Р₁, неизменной по величине, на перемещении δ₁, равна  т. е. в два раза больше, чем при статическом действии.

При деформации совершают работу не только внешние силы, но и внутренние (силы упругости).

Работу внутренних сил при растяжении (сжатии) можно вычислить следующим образом.

На рис. 3 показан элемент dz стержня, на который действуют нормальные напряжения σ, являющиеся для этого элемента внешними силами.

Внутренние силы, очевидно, будут направлены в противоположную сторону, т. е. в сторону, противоположную перемещению. Поэтому работа внутренних сил при нагружении всегда отрицательна.

Элементарная работа внутренних сил (для элемента dz) вычисляется по формуле, аналогичнойформуле [7]

 (8)

где N — внутреннее усилие (продольная сила);

Δ(dz) — удлинение элемента.

Но, согласно закону Гука, имеем

Следовательно,

 (9) рис. 3

Полную работу внутренних сил получим, интегрируя обе части формулы по длине всего стержня l

 (10)

Если N, Е и F постоянны, то

где Δl = δ =— удлинение стержня.

Величина, равная работе внутренних сил, но имеющая противоположный знак, называется потенциальной энергией деформации. Она представляет собой энергию, накапливаемую телом при деформации.

Таким образом, для стержня постоянного сечения при продольной силе, имеющей одно и то же значение во всех поперечных сечениях, потенциальная энергия при растяжении (сжатии) определяется по формуле

 (11)

Потенциальная энергия, отнесенная к единице объема материала, называется удельной потенциальной энергией:

или

 (так как σ=Еε),

или

  (12)

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия получится как сумма трех слагаемых (на основании принципа независимости действия сил)

  (13)

Используя обобщенный закон Гука, получаем

  (14)

Из этой формулы, как частный случай, полагая одно из главных напряжений равным нулю, легко получить формулу для плоского напряженного состояния.

СВОЙСТВА МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Отметим два важных свойства механической энергии, которые широко используются в современных методах расчета конструкций при любых деформациях: растяжении, кручении, изгибе и т. д.