Навигация
Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций – уравнения аннигиляции
7069
знаков
2
таблицы
2
изображения
4.3.8.3. Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций – уравнения аннигиляции
(4.111)
На основании формул (4.50) и (3.28) функцию можно 
представить в виде
(4.112)
С учётом этого уравнение (4.111) в сферических координатах: запишется в форме
. (4.113)
Совершим очень несложные преобразования, приводя к дифференциальному уравнению для функции
:
откуда следует 
(4.114)
4.3.8.4. Разделяя переменные, получаем
(4.115)
Учтём что 
,
(4.116)
Интегрирование уравнения (4.116) даёт
(4.117)
где
– постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Окончательно получаем формулу для функции
(4.118)
4.3.8.5.Формула (4.118) дает лишь предельные выражения волновых функций 
, отвечающие максимальному и минимальному значениям квантового числа m, а именно 
и 
, или что то же самое 
. Все волновые функции, соответствующие промежуточным значениям 
очень просто получаются последовательным действием операторов 
с точностью до нормировочных множителей, которые могут быть рассчитаны в каждом конкретном случае
4.3.8.6.Отметим, что мы не ставим перед собой и перед читателем задачу вывода общей формулы сферических волновых функций. Это связано, с одной стороны, с тем, что она обязательно покажется слишком перегруженной индексами и коэффициентами, к которым удобнее привыкать постепенно. С другой стороны, для практических целей редко требуются функции с большими значениями квантового числа l. В химическом обиходе встречается состояния с l = 0, 1, 2, 3, поэтому ограничимся этими значениями, (их символы см. в табл. 4.5 ).
4.3.8.7. Итак, нас будут интересовать s–, p–, d–, f– орбитали жесткого ротатора. Запишем соответствующие исходные функции 
и 
, с точностью до постоянного множителя:
для s-состояния 
и 
для p- состояния 
и 
для d- состояния 
и 
для f- состояния 
и 
4.3.8.8. Орбиталь s –типа – лишь одна и волновая пункция 
требует только нормировки. Поскольку сомножитель 
уже нормирован, достаточно пронормировать функцию 
. Выделяя из элемента конфигурационного пространства 
(см. рис 4.3) все сомножители, определенные на переменной 
, получаем
и, соответственно, нормировочное соотношение имеет вид
(4.119)
Во всех дальнейших преобразованиях следующих двух разделов будем опускать постоянные численные коэффициенты перед волновыми функциями, получающимися в результате операций сдвигов состояний над исходными функциями – степенями синусоиды 
.
4.3.8.9. Квантовое число l=1 порождает три р-функции с m=1, 0, -1 т.е. орбитали с 
Двум из них с 
отвечает 
Нормировочный множитель находим из соотношения
.
Откуда следует: 
(4.120)
Функцию 
, необходимую для полного набора р-орбиталей, можно найти, сдвигая 
вниз или 
вверх на одно состояние
Определим нормировочный множитель 
для
Интегрируя с помощью подстановки 
и, следовательно полагая, 
получаем
, т.е. 
4.3.8.10. Далее получим последовательно d-орбитали, отвечающие набору 
. Соответственно
(4.121)
(4.121)
(4.122)
Отсюда получаются d-функции
;
.
Величины 
;
;
представлены в таблице 4.6.
Похожие работы
... лишь угловую часть лапласиана и имеет вид: . (6.23) Уравнение Лежандра, встречается в нескольких фундаментальных задачах: 1) в задаче о квантовых состояниях и энергетических уровнях ротатора - линейной молекулы, свободно вращающейся вокруг центра массы. 2) в уравнении Шрёдингера для атома H и водородоподобных ионов. 6.7.3. Уравнение Лежандра это вполне типичное операторное уравнение на
... решения выберем в виде комплексных экспонент , (3.29) По физическим соображениям можно волновой функции придать вид лишь одного из частных решений. Это связано со свойствами момента импульса в стационарном вращательном движении, которые мы рассмотрим в рамках соответствующего операторного уравнения , т.е. , (3.30) откуда следует, что собственная волновая ...
... калькуляции представлены в табл.4.2. Ленточный график работ 5. Безопасность жизнедеятельности и охрана труда Дипломная работа посвящена анализу погрешностей волоконно-оптического гироскопа. В ходе ее выполнения были проведены необходимые расчеты и сделаны выводы, которые могут послужить материалом для ...
0 комментариев