Основные черты математического аппарата квантовой механики

1.3. Основные черты математического аппарата квантовой механики

1.3.1. Обсудим важнейшие черты операторного уравнения (1.1). Оно предписывает общую алгебраическую схему описания физических свойств стационарных систем в микромире. Эта схема требует, чтобы в качестве операторов физических величин  использовались только такие действия или комбинации действий, которые преобразуют волновые функции сами в себя с точностью до постоянного множителя. Соответственно, в качестве волновых функций могут применяться только такие функции, которые способны к подобному преобразованию. Их называют собственными функциями оператора. Множители  в уравнении (1.1) являются собственными числами или собственными значениями соответствующего оператора.

1.3.2. Хорошо известно, что простейшее математическое описание периодических процессов достигается с применением алгебры комплексных чисел. Комплексное число С и комплексно-сопряженное с ним С* состоят из одинаковых действительных частей (Rе) и различаются по знаку мнимых частей (Im),

, где

Произведение  называется квадратом модуля комплексного числа

Экспоненциальные функции с комплексными показателями имеют тесную связь с тригонометрическими функциями и широко распространены в описании пространственных и временных периодических процессов. Рассмотрим для примера сопряженные функции:

(1.2)

(1.3)

Легко видеть, что квадрат их модуля, равный их произведению, единичен:

Периодичность есть характерная черта стационарных движений в микросистемах, поэтому в квантовой механике широко используется комплексное представление волновых функций, особенно при описании движений, включая вращательную составляющую.

1.3.3. В то время как волновые функции и операторы могут иметь комплексную форму, это недопустимо для собственных чисел операторов в уравнении (1.1), которые изображают измеримые величины и поэтому должны быть только действительными. Из этого вытекает жесткое требование к математической конструкции операторов квантовой механики, сформулировать которое мы сможем несколько ниже.

Очень важно, что не существует никаких математических или физических соображений, которые отдавали бы предпочтение числу или функции перец комплексно-сопряженным двойником. Они равноправны во всех расчетах, так как в конечном итоге приложения комплексных чисел и функций всегда связаны с их модулем. По этой причине уравнение (1.1) и ему комплексно-сопряженное выражение (1.4) физически эквивалентны:

(1.4)

Величина  должна быть действительной и равной , т.е.  Такому требованию отвечают собственные числа так называемых эрмитовых или самосопряженных операторов (Шарль Эрмит – французский математик).

1.3.4. Сформулируем условие самосопряженности операторов. Выделим из операторных уравнений (1.1) и (1.4) собственные значения  и , не нарушая равенств. Учтем, что символ оператора означает преобразование функции, записанной справа от него.* Поэтому, чтобы не нарушить смысла преобразования, влекущего за собой нарушение равенств (1.1) и (1.4), домножим слева первое из них на , а второе на. Затем следует справа домножить каждую из частей (правую и левую) обоих уравнений на произведение дифференциалов всех координат и результат проинтегрировать во всем пространстве изменения аргументов. Сравним ход этих преобразований:

, ;

, ;

, ;

, .

Вообще говоря, это дело вкуса и удобства. Важно далее всюду соблюдать оговоренные однажды правила математического синтаксиса.

Правые части этих последних равенств равны:

 и

Поэтому равны и левые, т. е. получаем равенство (1.5), которое выражает условие самосопряженности операторов, имеющих действительные собственные значения.

(1.5)

1.3.5. В формуле (1.5) представлена функция  и ее комплексно-сопряженный "двойник" , а в общем виде эрмитов оператор  связывает две разные функции f и g аналогичной формулой:

 (1.6)

Обратим внимание читателя на то, что процедура комплексного сопряжения оператора и перевод его в  связана с тем, что мнимая единица в качестве численного параметра входит в конструкцию оператора.

1.3.6. Запись уравнений типа .(1,5) и (1.6) можно упростить и одновременно придать им дополнительный смысл, используя символы-скобки и , предложенные Дираком и называемые бра- и кет-символами соответственно (от англ. brасkets – скобки). Итак, вместо знаков интеграла, функций и дифференциалов переменных, образующих вместе операцию интегрирования, запишем эквивалентные символы:

 и

где называется бра-вектором, а – кет-вектором. В таком случае интеграл от произведения двух функций приобретает вид скалярного произведения

(1.7)

Если в интеграл введем оператор, то получаем также символическое скалярное произведение

, (1.8)

в котором вектор  преобразован оператором в новую волновую функцию-вектор, равный .

Таким образом, в этой записи очень многие важные интегралы квантовой механики оказываются просто скалярными произведениями различных бра- и кет-векторов. Формула (1.6) в бракет-символах приобретает вид:

= (1.9)

1.3.7. Из условия (1.6) или (1.9) вытекает чрезвычайно важное свойство собственных функций эрмитова оператора, называемое свойством ортогональности. Поясним смысл этого определения. Для этого рассмотрим две разные собственные функции эрмитова оператора, например, f и g, которым отвечают разные ненулевые собственные числа  и  соответственно, т.е. справедливы операторные равенства

 и  (1.10)

Образуем скалярные произведения

и  (1.11)

Из первого скалярного произведения вычтем произведение, комплексно-сопряженное второму, и с учетом (1.11) получим:

 (1.12)

По определению эрмитова оператора получаем:

, ,

откуда следует:

(1.13)

Поскольку, то уравнение (1.13) справедливо, если

, или (1.14)

Функции g и f, удовлетворяющие условию (1.14), называются ортогональными во всей области определения переменных по аналогии с ортогональными векторами, скалярное произведение которых равно нулю.

1.3.8. Ортогональный набор функций, эрмитова оператора очень удобен тем, что функцию, определенную на тех же переменных, можно разложить в ряд по набору. Таким образом, он может рассматриваться в качестве базисного набора, аналогичного набору ортогональных базисных векторов.

1.3.9. Такое разложение представляется всегда в виде линейной комбинации. Например, если ортогональный набор включает функции (f1, f2, f3,... fn,...), , то строгое разложение произвольной функции F примет вид бесконечного ряда:

(1.15)

Если выбираемый ортогональный набор ограничен, то ряд состоит из конечного числа слагаемых.

Ортонормированные наборы собственных функций эрмитовых операторов представляют собой естественную основу для конструирования математических образов дискретных состояний физических систем.

1.3.10. Второе важное требование, которое предъявляется к операторам квантовой механики – это линейность. Линейным называют оператор, обладающий следующими свойствами:

(1.16)

где  и – произвольные функции и а – произвольная постоянная. Можно подумать, что это слишком простые требования, но дело в том, что сравнительно узкий круг математических преобразований удовлетворяет им. Например, операция взятия синуса или возведения в степень не линейны и не могут служить основой для конструирования квантово-механических операторов:

Это негативные примеры. Напротив, операции умножения на некоторую функцию или число, дифференцирование и интегрирование отвечают линейности, т.е. подчиняются уравнениям

[1] Следует различать исследуемый образец, также приготовленный в макроскопической форме и изучаемую микросистему, одну из огромного множества в его составе. Возможность выделения отдельных микросистем – атомов, молекул и элементарных частиц достижима в современных экспериментах, но прибор довести до микроуровня нельзя, хотя современная микроэлектроника сделала серьезные шаги в этом направлении.