Расширение кольца с помощью полутела

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Расширение кольца с помощью полутела

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лукин Михаил Александрович

_____________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Вечтомов Евгений Михайлович

_____________________

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии

Чермных Василий Владимирович

_____________________

Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров – 2005
Содержание

Введение........................................................................................ 3

§1. Допустимые кольца и решетки.............................................. 6

§2. Допустимые полутела.......................................................... 10

§3. О единственности расширения............................................ 12

Заключение................................................................................. 14

Библиографический список........................................................ 15

Введение

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос. Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура áS; +, ×, 0ñ, что áS; +, 0ñ - коммутативный моноид с нулем 0, áS, ñ - полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру áS; +, ñ, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 Þ a=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+c Þ b=c называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция s, что K@[0]_s - изоморфно нулевому ядру - и S/s@T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция r, для которой K@[1]_r- изоморфно единичному ядру - и S/r@T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R(S) множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что R(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a+bÎR(S) Þ a, bÎR(S)).

Пусть S/R(S) – фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S): s конгруэнтно t Û s+a=t+b для некоторых a, bÎR(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aÎS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S каждого уравнения axa=a.

Справедливы следующие утверждения.

1. Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [1].

3. Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abÎR(S) влечет aÎR(S) или bÎR(S)).

4. Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].

5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца T необходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp-полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/r, где r - конгруэнция на S, такая, что arb означает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].

Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца K и полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция r, что [0]_ρ@K, [1]_r@L и S/r@T.

Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,P ,L> будем называть допустимой.

§1. Допустимые кольца и решётки

Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.

Обозначим через D двухэлементную цепь.

Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией r, для которой [0]_r@R, [1]_r@P, F/r@D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим PR. Ясно, что "pÎP,"rÎR,p×rÎR,p+rÎP.

С другой стороны, если любой элемент полукольца S с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S будет дизъюнктным объединением кольца R(S) и полутела U(S). При этом разбиение {R(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию r на S.

Предложение. В UR справедливы следующие утверждения а) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умножения  определён единственным образом.

Доказательство. а) Пусть , тогда ,  ч.т.д.

б) Пусть мультипликативная операция задана. Если , то . Умножив равенство на  справа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтому  есть элемент, складывая который  раз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство.  есть решение уравнения  в кольце .

Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:

1)   существует допустимая тройка áR, U, Lñ, где L – любая дистрибутивная решетка с 1¹0;

2)   существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U;

3)   R – радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.

Доказательство.

1Þ2. Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо S и конгруэнцию r. Поскольку D - подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединения можно взять подполукольцо [1]_rÈ[0]_r в S.

2Þ1. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того L\I - дуальный идеал.

Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i,r),iÎI,rÎRÈ(l,p),lÎL/I,pÎP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]_r@R, [1]_r@P, F/r@L₂. Если в качестве конгруэнции g выбрать отношение равенства первых координат, то [0]_g@R, [1]_g@P, S/g@L₂, что завершает доказательство.

Лемма. Пусть в кольце R "r $r¢ "tÎR,(r+r¢r+r¢)t=0Ù,(r+rr¢+r¢)t=0, тогда "r $r² ,r+r²r+r²=0Ùr+r²r+r²=0.

Доказательство. Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим r²=-r-r¢r. Имеем

r+r²r+r² = r+(- r - r¢r)r - r - r¢r = (r+r¢r+r¢)(-r)=0

r+rr²+r² = r+r (- r - r¢r) - r - r¢r = (r+rr¢+r¢)(-r)=0.

Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» r°s = r+s+rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента r существует единственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.

2)Þ3). P содержит Q⁺, иначе 1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rÛr=0 – противоречие. Таким образом, R – полумодуль над Q⁺ и, значит, модуль над Q. Поэтому <R,+> - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).

Множество T= Q⁺+R является подполутелом в U, поскольку

q₁+r₁+q₂+r₂ = (q₁+q₂)+(r₁+r₂);

(q₁+r₁)(q₂+r₂) = (q₁q₂+q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) = q₁q₂+(q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂);

t=q+rÞ1=qt ^-1+rt ^-1Þt ^-1=q ^-1- q ^-1r t ^-1Î Q⁺ + R.

Следовательно, для любого элемента 1+r,rÎR найдётся, 1+r¢,r¢ÎR что (1+r)(1+r¢) = (1+r¢)(1+r) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r+rr¢+r¢ = 1+r+r¢r+r¢ = 1. Умножая последнее равенство на любое tÎR, имеем (r+r¢r+r¢)t=0Ù(r+rr¢+r¢)t=0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.

3)Þ2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q⁺´R с операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂)  = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂)

является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S@(Q⁺È{0})´R с теми же операциями совпадает с (Q⁺´R)({0}´R) = (Q⁺´R)R.

 

Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.

Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R, порождённое одним элементом e.

Пусть e - образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1, p_iÎQ, n - наименьшая нулевая степень e, T R - в точности совпадает с одним из двух полуколец.

(q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^n-1,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1)qÎQ⁺,q_i,p_iÎQ или

(q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^n-2,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1)qÎQ⁺,q_i,p_iÎQ

c операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) =  (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂).

2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R@m(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. "aÎm(0), a+x+ax = 0Ûx = (-a)/(1+a)Îm(0)

Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^l,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^m)qÎQ⁺,q_i,p_iÎ

Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).

Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.

§2. Допустимые полутела

Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P , что PR.

Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R, тогда множество элементов M = {mÎR, "rÎR|r∙m = m∙r =0} образует в нём подкольцо.