Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Контрольная работа

по высшей математике

по теме:

Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Выполнила:

Студентка II курса

Экономического факультета

Очного отделения

2007г

I. у″ - 4y′ + 4y = соs4х

у = U + у(_) - общ. реш. н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k² - 4k + 4 = 0

k_{1; 2} = 2

1) U =?

U = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х

2) у(_) =? у(_) = Acos4x + Bsin4xy(_)′ = - 4Asin4x + 4Bcos4x

y″ = - 16Acos4x - 16Bsin4x

16Acos4x - 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =

= cos4x + 0 ∙ sin4x

12Acos4x - 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x

12A + 16A = 016B - 12B = 0

4A = 04B = 0

A = 4 B = 4

y(_) = 4cos4x + 4sin4x

y = C₁e^2x + C₂e^2x · x + 4cos4x + 4sin4x - общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2С₁e^2x + 2C₂e^2x · x - 16sin4x + 16cos4x

1 = C₁ + C₂ + 4С₁ + С₂ = 3 С₁ + 13 = 3

0 = 2C₁ + 2C₂ + 162С₁ + 2С₂ = 16

С₁ + С₂ = 13

С₁ = - 10С₂ = 13

у = - 10е^2х + 13е^2х· x + 4cos4x + 4sin4x - частное решение при заданных условиях

II. у″ - 4y′ + 4y = 5х² + 3х + 1

у = U + у(_) - общее решение н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k² - 4k + 4 = 0

k_{1; 2} = 2

1) U =?

U = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х

2) у(_) =? у(_) = Ах² + Вх + Сy(_)′ = 2Ах + В

у″ = 2А

2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х² + 3х + 1

4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4

8А + 4В = 3

2А - 4В + 4С = 1

у(_) = 5/4х² + 3 + 1/4

у = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х + 5/4х² + 3 + 1/4 - общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2С₁e^2x + 2C₂e^2x + 5/2х - 1/8

1 = C₁ + C₂ + 5/4 C₁ + C₂ = 1/4

0 = 2C₁ + 2C₂ + 5/22C₁ + 2C₂ = 5/2

C₁ + С₂ = 9/4

C₁ = - 2С₂ = 9/4

у = - 2e^2x + 9/4е^2х ∙ х + 5/4х² + 3 + 1/4 - частное решение при заданных условиях.

III. у″ - 4у′ + 4у = 2е^5х

у = U + у(_) - общее решение н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k² - 4k + 4 = 0

k_{1; 2} = 2

1) U =?

U = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х

2) у(_) =? у(_) = Ае^5х y(_)′ = 5А^5х

у″ = 25Ае^5х

25Ае^5х - 20Ае^5х + 4А^5х = 2е^5х

9А^5х = 2е^5х

А = 2/9 у(_) = 2/9е^5х

у = C₁e^2x + С₂е^2х ∙ х + 2/9е^{5х -} общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2C₁e^2x + 2С₂е^2х ∙ х + 10/9е^5х

1 = C₁ + С₂ + 2/9C₁ + С₂ = 7/9

0 = 2C₁+ 2С₂+ 10/92C₁+ 2С₂ = 10/9

C₁ + С₂ = 1/3

C₁ + 1/3 = 7/9

С₁ = 4/9 С₂ = 1/3

у = 4/9e^2x + 1/3е^2х ∙ х + 2/9е^{5х -} частное решение при заданных условиях.

Комплексные числа

Ö - 1 = i - мнимое число

 (Ö - 1) ² = i ² i ² = - 1

i ³ = i ² ∙ i = - 1 ∙ i = - i

i ⁴ = i ² ∙ i ² = ( - 1) ∙ ( - 1) = 1

а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R

Геометрический смысл комплексного числа:

 в

. (а; в)

ρ в ρ = Ö а 2 + в 2 = çа + вiú

) d а

а  d = arctg в/а –

аргумент комплексного числа

 (находится с учетом четверти)

tg

нет

d	0 0	П/6	П/4	П/3	П/2
tg	0	Ö 3/ 3	1	Ö 3	---

- +

0 0

+ -

нет

cosd = a / ρ a = ρcosd

sind = в / ρ в = ρsind

а + вi = ρcosd + i ρsind

а + вi = ρ (cosd + i sind) –

комплексное число в тригонометрической форме

Действия с комплексными числами:

Сложение:

а₁ + в₁i + а₂ + в₂i = а₁ + а₂ + (в₁ + в₂) i

Умножение:

(а₁ + в₁i) (а₂ + в₂i) = а₁а₂ +в₁в₂i ² + а₁в₂i

а₁а_{2 -} в₁в₂ + (в₁а₂ + а₂в₂) i

Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:

е ^iу = cosу + isinу z = ρе ^{i φ}

Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:

1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i ² + 9i + 49i = 58i

(7 + 3i) = Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ^{ln Ö 58 ×}е ^{arctg 3/7} = е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}

ρ₁ = Ö 58

φ₁ = arctg 3/ 7

(3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ^{ln Ö 58 ×}е ^{arctg 7/ 3} = е ^{ln Ö 58 + i arctg 7/ 3}

ρ₂ = Ö 58

φ₂ = arctg 7/ 3

Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =

= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =

= е ^{ln 58 ×}е ^{i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} = е ^{ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)}

При решении примера использовали формулу:

ρ₁ (cosφ₁ + isinφ₁) ρ₂ (cosφ₂ + isinφ₂) = ρ₁ ρ₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i (sin (φ₁ +φ₂))

Проверка:

е ^{ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} = е ^{ln 58 ×}е ^{i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} =58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -

sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7) = 1/ (Ö 1 + tg² (arctg 3/ 7)) = 1/ Ö 1 + (9/49) = 7/Ö 58

cos (arctg 7/ 3) = 3/Ö 58

sin (arctg 3/ 7) = Ö 1 - cos²arctg 3/ 7 = Ö 1 - (7/Ö 58) ² = Ö 9/ 58 = 3/Ö 58 sin (arctg 7/3) = Ö 1 - cos²arctg 7/ 3 = 7/Ö 58

cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/Ö 58 × 3/Ö 58 - 3/Ö 58 × 7/Ö 58 = 0

sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/Ö 58× 3/Ö 58 × 3/Ö 58× 3/Ö 58 = 0

Возведение в степень:

(7 + 3i) (3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}

(7 + 3i) ² = 49 + 42i + 9i² = 40 + 42i

 (Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) ² = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =

= е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}

Проверка:

е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7} = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)

cos2arctg 3/ 7 = 2cos²arctg 3/7 - 1 = 2 × (7/Ö 58) ² - 1 = 40/58

sin2arctg 3/ 7 = 2sin²arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/Ö 58) ∙ (7/Ö 58) = 42/58

58 (40/58 + 42/58 × i) = 40 + 42i

При решении примера применяли следующие формулы:

(ρ (cosd + i sind)) ^п = ρ^п (cosпd + i sinпd) п є N

е ^{х + iу} = е ^х (cosу + isinу)

2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i ² + 16i + 9i = 25i

(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ^{ln 5 ×}е ^{arctg 4/ 3} = е ^{ln 5 + i arctg 4/ 3}

ρ₁ = Ö 25 = 5

φ₁ = arctg 4/ 3

(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ^{ln 5 ×}е ^{arctg 3/ 4} = е ^{ln 5 + i arctg 3/ 4}

ρ₂ = 5

φ₂ = arctg 3/ 4

5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =

= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =

= е ^{ln 25×}е ^{i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} = е ^{ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)}

При решении примера использовали формулу:

ρ₁ (cosφ₁ + isinφ₁) ρ₂ (cosφ₂ + isinφ₂) = ρ₁ ρ₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i (sin (φ₁ +φ₂))

Проверка:

е ^{ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} = е ^{ln 25 ×}е ^{i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} =25 (cos (arctg 4/ 3 +

+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))

cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -

sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)

cos (arctg 4/ 3) = 1/ (Ö 1 + tg² (arctg 4/ 3)) = 1/ Ö 1 + (16/ 9) = 3/ 5

cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5

sin (arctg 4/ 3) = Ö 1 - cos²arctg 4/ 3 = Ö 1 - 9/ 5 = 4/5

sin (arctg 3/ 4) = Ö 1 - cos²arctg 3/ 4 = 3/ 5

cos (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 3/ 5 × 4/5 - 3/ 5 × 4/5 = 0

sin (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 4/ 5 × 3/5 - 4/ 5 × 3/5 = 0

Извлечение корня третий степени из комплексного числа:

Применяем формулу:

 ^пÖ ρ (cosd + i sind) = ^пÖ ρ (cos d + 2Пк / п + i sin d + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п - 1)

³Ö 3 +4i = ³Ö 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)

z₁ = ⁶Ö 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0

z₂ = ⁶Ö 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1

z₃ = ⁶Ö 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2