Критерий совместности общей системы линейных уравнений

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (2) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу

 

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

 

которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (13)

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

 

которую назовем расширенной матрицей системы (2).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c₁, c₂,..., с_п – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

 а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n = b₁;

а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n = b₂;

_. ……………………………………

а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с₁, с₂,..., с_п. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z,..., с_п — решение системы уравнении (2), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n;

b₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n;

_. …………………………………

b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n

где c₁, c₂,..., с_п — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x₁ = c₁,..., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

Пример 1. Рассмотрим систему

5x₁ – x₂ + 2x₃ + x₄ = 7;

2x₁ + x₂ – 4x₃ – 2x₄ = 1;

x₁ – 3x₂ + 6x₃ – 5x₄ = 0.

 

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Используя критерий Кронекера – Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

 a₁x + b₁y = c₁,

a₂x + b₂y = c₂. (13)

Основная матрица этой системы

 a₁ b₁

a₂ b₂

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

a₁ b₁ с₁

a₂ b₂ с₂

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда:

1.         Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13).

2.         Если r = 0, R = 1, т.е. a₁ = a₂ = b₁ = b₂ = 0 и c + c ≠ 0, то система (13) не имеет решений.

3.         Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

4.         Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений.

5.         Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

1.         Если система (13) имеет единственное решение, то r = R =2.

2.         Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0.

3.         Если система (13) не имеет решений, то r ≠ R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

a₁x + b₁y – c₁ = 0,

a₂x + b₂y – c₂ = 0, (14)

где a + b ≠ 0, a + b ≠ 0.

1.         Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

2.         Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

3.         Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий.

1.         Если r = R = 2, то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

2.         Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

3.         Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a₁ b₁ = 0, c₁ b₁ = 0, a₁ c₁ = 0.

a₂ b₂ c₂ b₂ a₂ c₂

Эти условия можно переписать так:

a₁b₂ = b₁a₂, (15)

c₁b₂ = b₁c₂, (16)

a₁c₂ = c₁a₂. (17)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а₁ = 0, то b₁ ≠ 0, так как a₁ + b₁ ≠ 0. Тогда из (15) следует, что а₂ = 0, а так как a₂ + b₂ ≠ 0, то b₂ ≠ 0. Тогда из (16) находим, что c₁/b₁ = c₂/b₂ = α и при этом уравнения прямых примут вид

b₁(y – α) = 0, b₂(y – α) = 0. Поскольку b₁ ≠ 0, b₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0.

б) Если b₁ = 0, то а₁ ≠ 0, а из (15) тогда следует, что b₂ = 0(причем

а₂ ≠ 0). Тогда из (17) имеем c₁/a₁ = c₂/a₂ = β, и поэтому уравнения прямых примут вид а₁(x – β) = 0, а₂(x – β) = 0. Поскольку

а₁ ≠ 0, а₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0.

в) Если а₁ ≠ 0 и b₁ ≠ 0, то из (15) вытекает, что а₂/a₁ = b₂/b₁ = γ, а из (16) и (17) вытекает, что с₂ = b₂c₁/b₁ = a₂c₁/a₁. Т.е. получаем, что

а₂ = γа₁, b₂ = γb₁, c₂ = γc₁, и поэтому уравнения прямых примут вид

a₁x + b₁y – c₁ = 0, γ(a₁x + b₁y – c₁)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = R = 2.

2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Заключение

 

В данной работе я изучила пути решения систем линейных уравнений наиболее простые и быстрые, также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Список литературы

 

1.   А. Дадаян. Алгебра и геометрия. / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко.

2.   Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р. Гантмахер.

3.   Математический энциклопедический словарь.

4.   Л. Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений”. / Л. Андреева.

5.   Д.К. Фадеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К. Фадеев, И.С. Саминский